ثابت التكامل: المعنى والحساب والأمثلة - رياضيات - 2025

يعد ثابت التكامل قيمة مضافة إلى حساب المشتقات العكسية أو التكاملات ، فهو يعمل على تمثيل الحلول التي تشكل بدائية دالة. إنه يعبر عن غموض متأصل حيث تحتوي أي وظيفة على عدد لا حصر له من الأوليات.

على سبيل المثال ، إذا أخذنا الوظيفة: f (x) = 2x + 1 وحصلنا على مشتقها العكسي:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C ؛ حيث C هو ثابت التكامل ويمثل بيانياً الترجمة الرأسية بين الاحتمالات اللانهائية للبدائية. فمن الصحيح أن نقول إن (س ² + س) هو واحد من الأوليات و (خ).

المصدر: المؤلف

وبالمثل ، يمكننا تعريف (x ² + x + C) على أنها أولية لـ f (x).

الملكية العكسية

يمكن ملاحظة أنه عند اشتقاق التعبير (x ² + x) يتم الحصول على الوظيفة f (x) = 2x + 1. ويرجع ذلك إلى الخاصية العكسية الموجودة بين اشتقاق وتكامل الوظائف. تسمح هذه الخاصية بالحصول على صيغ التكامل بدءًا من التفاضل. مما يسمح بالتحقق من التكاملات من خلال نفس المشتقات.

المصدر: المؤلف

لكن (x ² + x) ليست الوظيفة الوحيدة التي مشتقها يساوي (2x + 1).

1. د (س ² + س) / د س = 2 س + 1
2. د (س ² + س + 1) / د س = 2 س + 1
3. د (س ² + س + 2) / د س = 2 س + 1
4. د (س ² + س + 3) / د س = 2 س + 1
5. د (س ² + س + ج) / د س = 2 س + 1

حيث تمثل 1 و 2 و 3 و 4 بدائل معينة لـ f (x) = 2x + 1. بينما تمثل 5 التكامل غير المحدد أو الأولي لـ f (x) = 2x + 1.

المصدر: المؤلف

تتحقق بدائل الوظيفة من خلال عملية منع أو عملية تكاملية. حيث ستكون F بدائية لـ f إذا كان ما يلي صحيحًا

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C ؛ C = ثابت التكامل
• F '(x) = f (x)

يمكن ملاحظة أن الوظيفة لها مشتق واحد ، على عكس بدائلها اللانهائية الناتجة عن التكامل.

التكامل غير المحدود

∫ f (x) dx = F (x) + C

إنه يتوافق مع عائلة منحنيات لها نفس النمط ، والتي تعاني من تناقض في قيمة الصور لكل نقطة (س ، ص). ستكون كل دالة تحقق هذا النمط بدائية فردية وتعرف مجموعة جميع الوظائف بأنها تكامل غير محدد.

ستكون قيمة ثابت التكامل هي التي تميز كل وظيفة في الممارسة العملية.

يشير ثابت التكامل إلى حدوث تحول رأسي في جميع الرسوم البيانية التي تمثل العناصر الأولية للدالة. حيث يتم ملاحظة التوازي بينهما ، وحقيقة أن C هي قيمة الإزاحة.

وفقًا للممارسات الشائعة ، يُرمز إلى ثابت التكامل بالحرف "C" بعد الإضافة ، على الرغم من أنه من غير المبالاة عمليًا ما إذا كان الثابت يضاف أو يطرح. يمكن العثور على قيمتها الحقيقية بطرق مختلفة في ظل ظروف أولية مختلفة.

معاني أخرى لثابت التكامل

لقد تمت مناقشة كيفية تطبيق ثابت التكامل في فرع حساب التفاضل والتكامل ؛ تمثل عائلة من المنحنيات التي تحدد التكامل غير المحدود. لكن العديد من العلوم والفروع الأخرى خصصت قيمًا مثيرة للاهتمام وعملية للغاية لثابت التكامل ، والتي سهلت تطوير دراسات متعددة.

في الفيزياء ، يمكن أن يأخذ ثابت التكامل قيمًا متعددة اعتمادًا على طبيعة البيانات. من الأمثلة الشائعة جدًا معرفة الوظيفة V (t) التي تمثل سرعة الجسيم مقابل الوقت t. من المعروف أنه عند حساب بدائي لـ V (t) يتم الحصول على الوظيفة R (t) التي تمثل موضع الجسيم مقابل الوقت.

و سوف ثابت التكامل تمثل قيمة الموقف المبدئي، وهذا هو، في الوقت t = 0.

بنفس الطريقة ، إذا كانت الوظيفة A (t) التي تمثل تسارع الجسيم مقابل الوقت معروفة. سينتج عن بدائية A (t) الدالة V (t) ، حيث سيكون ثابت التكامل هو قيمة السرعة الابتدائية V ₀.

في علم الاقتصاد ، بالحصول على بدائية دالة التكلفة بالتكامل. و سوف ثابت التكامل تمثل التكاليف الثابتة. والعديد من التطبيقات الأخرى التي تستحق حساب التفاضل والتكامل.

كيف يتم حساب ثابت التكامل؟

لحساب ثابت التكامل ، سيكون من الضروري دائمًا معرفة الشروط الأولية. المسؤولون عن تحديد أي من الأوليات المحتملة هو المقابل.

في العديد من التطبيقات يتم التعامل معها كمتغير مستقل في الوقت (t) ، حيث يأخذ الثابت C القيم التي تحدد الشروط الأولية للحالة المعينة.

إذا أخذنا المثال الأولي: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

يمكن أن يكون الشرط الأولي الصالح هو اشتراط مرور الرسم البياني عبر إحداثي معين. على سبيل المثال ، نعلم أن العنصر البدائي (x ² + x + C) يمر بالنقطة (1 ، 2)

و (س) = س ² + س + ج ؛ هذا هو الحل العام

و (1) = 2

نستبدل الحل العام في هذه المساواة

و (1) = (1) ² + (1) + ج = 2

من حيث يتبع بسهولة أن C = 0

بهذه الطريقة فإن البدائية المقابلة لهذه الحالة هي F (x) = x ² + x

هناك عدة أنواع من التمارين العددية التي تعمل مع ثوابت التكامل. في الواقع ، لا يتوقف تطبيق حساب التفاضل والتكامل التفاضلي في التحقيقات الحالية. في المستويات الأكاديمية المختلفة يمكن العثور عليها ؛ من الحساب الأولي ، من خلال الفيزياء والكيمياء والبيولوجيا والاقتصاد ، من بين أمور أخرى.

يتم تقديره أيضًا في دراسة المعادلات التفاضلية ، حيث يمكن أن يأخذ ثابت التكامل قيمًا وحلولًا مختلفة ، ويرجع ذلك إلى الاشتقاقات والتكاملات المتعددة التي يتم إجراؤها في هذا الأمر.

أمثلة

مثال 1

1. مدفع يقع على ارتفاع 30 مترًا يطلق قذيفة رأسياً لأعلى. من المعروف أن السرعة الابتدائية للقذيفة 25 م / ث. قرر:

• الوظيفة التي تحدد موضع المقذوف فيما يتعلق بالوقت.
• وقت الرحلة أو لحظة الوقت عندما يصطدم الجسيم بالأرض.

من المعروف أنه في حركة مستقيمة متغيرة بشكل موحد ، يكون التسارع قيمة ثابتة. هذه هي حالة إطلاق القذيفة ، حيث سيكون التسارع هو الجاذبية

ز = - 10 م / ث ²

ومن المعروف أيضًا أن التسارع هو المشتق الثاني للموضع ، مما يشير إلى تكامل مزدوج في دقة التمرين ، وبالتالي الحصول على ثابتين تكامل.

أ (ر) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

تشير الشروط الأولية للتمرين إلى أن السرعة الابتدائية هي V ₀ = 25 م / ث. هذه هي السرعة في اللحظة الزمنية t = 0. بهذه الطريقة يقتنع بما يلي:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ و C ₁ = 25

مع تحديد وظيفة السرعة

V (t) = -10t + 25 ؛ يمكن ملاحظة التشابه مع صيغة MRUV (V _f = V ₀ + axt)

بطريقة متماثلة ، ننتقل إلى دمج دالة السرعة للحصول على التعبير الذي يحدد الموضع:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (موضع بدائي)

الموضع الأولي R (0) = 30 م معروف. ثم يتم حساب البدائية الخاصة للقذيفة.

R (0) = 30m = -5 (0) ² + 25 (0) + C ₂. حيث C ₂ = 30

مثال 2

1. أوجد f (x) البدائي الذي يلبي الشروط الأولية:

• و '' (س) = 4 ؛ و '(2) = 2 ؛ و (0) = 7

مع معلومات المشتق الثاني f '' (x) = 4 تبدأ عملية التراجع

f '(x) = f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

بعد ذلك ، بمعرفة الشرط f '(2) = 2 ، نتابع:

4 (2) + ج ₁ = 2

C ₁ = -6 و f '(x) = 4x - 8

نتقدم بنفس الطريقة مع ثابت التكامل الثاني

و (س) = ∫f "(خ) DX

∫ (4X - 8) DX = 2X ² - 8X + C ₂

الشرط الأولي f (0) = 7 معروف وننتقل:

2 (0) ² - (8 0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 و و (س) = 2X ² - 8X + 7

• f '' (x) = x ² ؛ و '(0) = 6 ؛ و (0) = 3

بطريقة مشابهة للمسألة السابقة ، نحدد المشتقات الأولى والوظيفة الأصلية من الشروط الأولية.

f '(x) = f' '(x) dx

∫ (س ²) DX = (س ³ /3) + C ₁

مع الشرط f '(0) = 6 نتابع:

(0 ^3/3) + C ₁ = 6 ؛ حيث C ₁ = 6 و f '(س) = (س ³ /3) + 6

ثم الثابت الثاني للتكامل

f (x) = f '(x) dx

∫ DX = (س ⁴ /12) + 6X + C ₂

الشرط الأولي f (0) = 3 معروف وننتقل:

+ 6 (0) + ج ₂ = 3 ؛ حيث C ₂ = 3

وهكذا نحصل على الخاص البدائي

و (س) = (س ⁴ /12) + 6X + 3

مثال 3

1. عرّف الدوال البدائية بمعرفة المشتقات ونقطة على الرسم البياني:

• dy / dx = 2x - 2 الذي يمر بالنقطة (3 ، 2)

من المهم أن نتذكر أن المشتقات تشير إلى ميل الخط المماس للمنحنى عند نقطة معينة. حيث ليس من الصحيح افتراض أن الرسم البياني للمشتق يلامس النقطة المشار إليها ، لأن هذا ينتمي إلى الرسم البياني للوظيفة البدائية.

بهذه الطريقة نعبر عن المعادلة التفاضلية على النحو التالي:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

تطبيق الشرط الأولي:

2 = (3) ² - 2 (3) + ج

ج = -1

يتم الحصول عليها: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ^2-1 الذي يمر بالنقطة (0، 2)

نعبر عن المعادلة التفاضلية على النحو التالي:

تطبيق الشرط الأولي:

2 = (0) ² - 2 (0) + ج

ج = 2

نحصل على: f (x) = x ³ - x + 2

تمارين مقترحة

التمرين 1

1. أوجد f (x) البدائي الذي يلبي الشروط الأولية:

• و '' (س) = س ؛ و '(3) = 1 ؛ و (2) = 5
• و '' (س) = س + 1 ؛ و '(2) = 2 ؛ و (0) = 1
• و '' (س) = 1 ؛ و '(2) = 3 ؛ و (1) = 10
• و '' (س) = -x ؛ و '(5) = 1 ؛ و (1) = -8

تمرين 2

1. يسقط بالون يصعد بسرعة 16 قدمًا / ثانية كيسًا من الرمل من ارتفاع 64 قدمًا فوق مستوى الأرض.

• حدد وقت الرحلة
• ماذا سيكون المتجه V _f عندما يصطدم بالأرض؟

التمرين 3

1. يوضح الشكل الرسم البياني لوقت التسارع لسيارة تتحرك في الاتجاه الإيجابي للمحور x. كانت السيارة تسير بسرعة ثابتة تبلغ 54 كم / ساعة عندما استخدم السائق الفرامل للتوقف في غضون 10 ثوانٍ. تحديد:

• التسارع الأولي للسيارة
• سرعة السيارة عند t = 5s
• إزاحة السيارة أثناء الكبح

المصدر: المؤلف

التمرين 4

1. عرّف الدوال البدائية بمعرفة المشتقات ونقطة على الرسم البياني:

• dy / dx = x الذي يمر بالنقطة (-1 ، 4)
• dy / dx = -x ² + 1 الذي يمر بالنقطة (0 ، 0)
• dy / dx = -x + 1 الذي يمر بالنقطة (-2، 2)

المراجع

1. حساب التكامل. طرق التكامل والتكامل غير المحدود. ويلسون ، فيلاسكيز باستيداس. جامعة ماجدالينا 2014
2. ستيوارت ، ج. (2001). حساب المتغير. التجاوزات المبكرة. المكسيك: طومسون ليرنينج.
3. جيمينيز ، ر. (2011). الرياضيات السادس. حساب التكامل. المكسيك: تعليم بيرسون.
4. الفيزياء أنا ماك جراو هيل