الاحتمال الشرطي: الصيغة والمعادلات ، الخصائص ، الأمثلة - دوداس - 2025

و الاحتمال الشرطي هو احتمال وقوع حدث معين، بالنظر إلى أن يحدث أخرى كشرط. هذه المعلومات الإضافية قد (أو لا) تعدل التصور بأن شيئًا ما سيحدث.

على سبيل المثال ، يمكننا أن نسأل أنفسنا: "ما هو احتمال أن تمطر اليوم ، مع العلم أنها لم تمطر لمدة يومين؟" الحدث الذي نريد أن نعرف احتمالية حدوثه هو هطول الأمطار اليوم ، والمعلومات الإضافية التي من شأنها أن تحدد الإجابة هي أنه "لم تمطر منذ يومين".

الشكل 1. احتمال هطول المطر اليوم بالنظر إلى هطول الأمطار بالأمس هو أيضًا مثال على الاحتمال الشرطي. المصدر: Pixabay.

دع فضاء الاحتمال يتكون من Ω (مساحة العينة) ، ℬ (الأحداث العشوائية) و P (احتمال كل حدث) ، بالإضافة إلى الأحداث A و B التي تنتمي إلى ℬ.

يتم تعريف الاحتمال الشرطي لحدوث A ، بالنظر إلى حدوث B ، والذي يُشار إليه على أنه P (A│B) ، على النحو التالي:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A و B) / P (B)

حيث: P (A) هو احتمال حدوث A ، P (B) هو احتمال وقوع الحدث B ويختلف عن 0 ، و P (A∩B) هو احتمال التقاطع بين A و B ، أي ، ، احتمال وقوع كلا الحدثين (احتمال مشترك).

هذا تعبير عن نظرية بايز المطبقة على حدثين ، تم اقتراحهما في عام 1763 من قبل عالم اللاهوت وعالم الرياضيات الإنجليزي توماس بايز.

الخصائص

- كل الاحتمالات الشرطية بين 0 و 1:

0 ≤ الفوسفور (A│B) ≤ 1

- من الواضح أن احتمال وقوع الحدث A ، بالنظر إلى وقوع الحدث المذكور ، هو 1:

الفوسفور (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

-إذا كان حدثان حصريان ، أي حدثان لا يمكن أن يحدثا في وقت واحد ، فإن الاحتمال الشرطي لحدوث أحدهما هو 0 ، لأن التقاطع فارغ:

الفوسفور (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

- إذا كانت B مجموعة فرعية من A ، فإن الاحتمال الشرطي هو أيضًا 1:

الفوسفور (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

مهم

لا تساوي P (A│B) بشكل عام P (B│A) ، لذلك يجب أن نكون حريصين على عدم تبادل الأحداث عند إيجاد الاحتمال الشرطي.

قاعدة عامة في الضرب

في كثير من الأحيان تريد إيجاد الاحتمال المشترك P (A∩B) ، بدلاً من الاحتمال الشرطي. ثم من خلال النظرية التالية لدينا:

P (A∩B) = P (A و B) = P (A│B). ف (ب)

يمكن تمديد النظرية لثلاثة أحداث A و B و C:

الفوسفور (A∩B∩C) = الفوسفور (A و B و C) = الفوسفور (A) الفوسفور (B│A) الفوسفور (C│A∩B)

وأيضًا بالنسبة للأحداث المختلفة ، مثل A ₁ و A ₂ و A ₃ وأكثر ، يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

الفوسفور (ا ₁ ∩ ا ₂ ∩ ا ₃… ا _ن) = ف (ا ₁). ف (أ ₂ │ أ ₁). الفوسفور (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂)… P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1)

عندما تكون حالة الأحداث التي تحدث في تسلسل وعبر مراحل مختلفة ، فمن الملائم تنظيم البيانات في رسم تخطيطي أو جدول. هذا يجعل من السهل تصور خيارات الوصول إلى الاحتمال المطلوب.

الأمثلة هي مخطط الشجرة وجدول الطوارئ. من أحدهم يمكنك بناء الآخر.

أمثلة على الاحتمال الشرطي

لنلقِ نظرة على بعض المواقف التي يتم فيها تغيير احتمالات حدث ما بسبب حدوث حدث آخر:

- مثال 1

يُباع نوعان من الكعك في محل حلويات: الفراولة والشوكولاتة. بتسجيل تفضيلات 50 عميلاً من كلا الجنسين تم تحديد القيم التالية:

- 27 امرأة يفضل 11 منهن كعكة الفراولة و 16 شوكولاتة.

-23 رجلاً: 15 يختارون الشوكولاتة و 8 فراولة.

يمكن تحديد احتمال أن يختار العميل كعكة الشوكولاتة من خلال تطبيق قاعدة لابلاس ، والتي وفقًا لها يكون احتمال حدوث أي حدث:

P = عدد الأحداث المواتية / إجمالي عدد الأحداث

في هذه الحالة ، من بين 50 عميلًا ، يفضل 31 عميلًا الشوكولاتة ، لذا فإن الاحتمال سيكون P = 31/50 = 0.62. أي أن 62٪ من العملاء يفضلون كعكة الشوكولاتة.

لكن هل سيكون الأمر مختلفًا إذا كان العميل امرأة؟ هذه حالة من الاحتمال الشرطي.

طاولة الطوارئ

باستخدام جدول الطوارئ مثل هذا ، يتم عرض الإجماليات بسهولة:

ثم يتم ملاحظة الحالات المواتية ويتم تطبيق قاعدة لابلاس ، ولكن أولاً نحدد الأحداث:

-B هو حدث "الزبون الإناث".

-A هو حدث "تفضل كعكة الشوكولاتة" كامرأة.

ننتقل إلى العمود المسمى "النساء" وهناك نرى أن المجموع هو 27.

ثم يتم البحث عن الحالة الملائمة في صف "الشوكولاتة". هناك 16 من هذه الأحداث ، وبالتالي فإن الاحتمال المنشود هو ، مباشرة:

الفوسفور (A│B) = 16/27 = 0.5924

59.24٪ من العملاء يفضلون كعكة الشوكولاتة.

تتطابق هذه القيمة عندما نقارنها بالتعريف المعطى في البداية للاحتمال الشرطي:

الفوسفور (A│B) = الفوسفور (A∩B) / الفوسفور (ب)

نتأكد من استخدام قاعدة لابلاس وقيم الجدول:

الفوسفور (ب) = 27/50

الفوسفور (أ و ب) = 16/50

حيث P (A و B) هو احتمال أن العميل يفضل الشوكولاتة وأن تكون امرأة. الآن يتم استبدال القيم:

P (A│B) = P (A و B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924.

وثبت أن النتيجة واحدة.

- المثال 2

في هذا المثال تنطبق قاعدة الضرب. لنفترض أن هناك سراويل بثلاثة أحجام معروضة في أحد المتاجر: صغيرة ومتوسطة وكبيرة.

في الكثير مع إجمالي 24 سروالًا ، منها 8 من كل مقاس وكلها مختلطة ، ما هو احتمال استخراج اثنين منهم وأن كلاهما صغير؟

من الواضح أن احتمال خلع سروال صغير في المحاولة الأولى هو 8/24 = 1/3. الآن ، الاستخراج الثاني مشروط بالحدث الأول ، لأنه عند إزالة زوج من البنطال ، لم يعد هناك 24 ، ولكن 23. وإذا تمت إزالة البنطال الصغير ، فسيكون هناك 7 بدلاً من 8.

الحدث "أ" هو سحب بنطال صغير ، وسحب سروالًا آخر في المحاولة الأولى. والحدث B هو الذي يرتدي البنطال الصغير أول مرة. هكذا:

الفوسفور (ب) = 1/3 ؛ الفوسفور (A│B) = 7/24

أخيرًا ، باستخدام قاعدة الضرب:

الفوسفور (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0.097

تمرين حل

في دراسة الالتزام بالمواعيد على الرحلات الجوية التجارية ، تتوفر البيانات التالية:

-P (B) = 0.83 ، هو احتمال إقلاع الطائرة في الوقت المحدد.

-P (A) = 0.81 ، هو احتمال الهبوط في الوقت المحدد.

-P (B∩A) = 0.78 هو احتمال وصول الرحلة في الوقت المحدد للإقلاع في الوقت المحدد.

يطلب حساب:

أ) ما هو احتمال أن تهبط الطائرة في الوقت المحدد إذا أقلعت في الوقت المحدد؟

ب) هل الاحتمال أعلاه هو نفس الاحتمال الذي تركته في الوقت المحدد إذا تمكنت من الهبوط في الوقت المحدد؟

ج) وأخيرًا: ما هو احتمال وصولها في الوقت المحدد لأنها لم تغادر في الوقت المحدد؟

الشكل 2. الالتزام بالمواعيد على الرحلات التجارية أمر مهم ، لأن التأخير يولد خسائر بملايين الدولارات. المصدر: Pixabay.

الاجابه على

للإجابة على السؤال ، يتم استخدام تعريف الاحتمال الشرطي:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A و B) / P (B) = 0.78 /0.83 = 0.9398

الحل ب

في هذه الحالة يتم تبادل الأحداث الواردة في التعريف:

الفوسفور (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A و B) / P (A) = 0.78 /0.81 = 0.9630

لاحظ أن هذا الاحتمال يختلف قليلاً عن السابق كما أشرنا سابقاً.

الحل ج

احتمالية عدم المغادرة في الوقت المحدد هي 1 - P (B) = 1 - 0.83 = 0.17 ، سوف نسميها P (B ^C) ، لأنه حدث تكميلي ينطلق في الوقت المحدد. الاحتمال الشرطي المنشود هو:

P (A│B ^C) = P (A∩B ^C) / P (B ^C) = P (A و B ^C) / P (B ^C)

من ناحية أخرى:

P (A∩B ^C) = P (الهبوط في الوقت المحدد) - P (الهبوط في الوقت المحدد والإقلاع في الوقت المحدد) = 0.81-0.78 = 0.03

في هذه الحالة ، يكون الاحتمال الشرطي المنشود هو:

الفوسفور (A│B ^C) = 0.03 / 0.17 = 0.1765

المراجع

1. Canavos، G. 1988. الاحتمالية والإحصاء: التطبيقات والأساليب. ماكجرو هيل.
2. Devore، J. 2012. الاحتمالية والإحصاء للهندسة والعلوم. الثامن. الإصدار. سينجاج.
3. Lipschutz، S. 1991. سلسلة Schaum: الاحتمالية. ماكجرو هيل.
4. Obregón، I. 1989. نظرية الاحتمال. التحرير ليموزا.
5. والبول ، ر. 2007. الاحتمالات والإحصاء للهندسة والعلوم. بيرسون.
6. ويكيبيديا. احتمال مشروط. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.