خصائص المساواة - رياضيات - 2025

تشير خصائص المساواة إلى العلاقة بين كائنين رياضيين ، سواء أكانوا أرقامًا أم متغيرات. يُشار إليه بالرمز "=" ، والذي يتنقل دائمًا بين هذين الكائنين. يستخدم هذا التعبير لإثبات أن كائنين رياضيين يمثلان نفس الشيء ؛ بمعنى آخر ، أن الكائنين هما نفس الشيء.

هناك حالات يكون فيها استخدام المساواة أمرًا بسيطًا. على سبيل المثال ، من الواضح أن 2 = 2. ومع ذلك ، عندما يتعلق الأمر بالمتغيرات ، فإنها لم تعد تافهة ولها استخدامات محددة. على سبيل المثال ، إذا كان لدينا y = x ومن ناحية أخرى x = 7 ، فيمكننا استنتاج أن y = 7 أيضًا.

المثال أعلاه يعتمد على إحدى خصائص المساواة ، كما سترى قريبًا. هذه الخصائص ضرورية لحل المعادلات (المساواة التي تتضمن متغيرات) ، والتي تشكل جزءًا مهمًا جدًا من الرياضيات.

ما هي خصائص المساواة؟

خاصية عاكسة

الخاصية الانعكاسية ، في حالة المساواة ، تنص على أن كل رقم يساوي نفسه ويتم التعبير عنه ب = ب لأي رقم حقيقي ب.

في حالة المساواة الخاصة ، تبدو هذه الخاصية واضحة ، لكنها ليست كذلك في أنواع أخرى من العلاقات بين الأرقام. بمعنى آخر ، ليست كل علاقة رقم حقيقي تلبي هذه الخاصية. على سبيل المثال ، مثل هذه الحالة من العلاقة "أقل من" (<) ؛ لا يوجد رقم أقل من نفسه.

خاصية متماثلة

تقول الخاصية المتماثلة للمساواة أنه إذا كانت أ = ب ، فإن ب = أ. بغض النظر عن الترتيب المستخدم في المتغيرات ، سيتم الحفاظ عليه من خلال علاقة المساواة.

يمكن ملاحظة تشابه معين لهذه الخاصية مع الخاصية التبادلية في حالة الإضافة. على سبيل المثال ، بسبب هذه الخاصية يكافئ كتابة y = 4 أو 4 = y.

خاصية متعدية

تنص الخاصية متعدية على المساواة على أنه إذا كانت أ = ب و ب = ج ، فإن أ = ج. على سبيل المثال ، 2 + 7 = 9 و 9 = 6 + 3 ؛ لذلك ، من خلال الخاصية متعدية ، لدينا 2 + 7 = 6 + 3.

تطبيق بسيط كالتالي: لنفترض أن جوليان يبلغ من العمر 14 عامًا وأن ماريو في نفس عمر روزا. إذا كانت روزا في نفس عمر جوليان ، فكم عمر ماريو؟

وراء هذا السيناريو ، يتم استخدام الخاصية متعدية مرتين. رياضيا يتم تفسيرها على النحو التالي: دعونا يكون "أ" عصر ماريو ، "ب" عصر روزا و "ج" عصر جوليان. من المعروف أن ب = ج وأن ج = 14.

من خلال الخاصية متعدية لدينا أن ب = 14 ؛ أي أن روزا تبلغ من العمر 14 عامًا. بما أن أ = ب و ب = 14 ، باستخدام خاصية متعدية مرة أخرى ، لدينا أن أ = 14 ؛ أي أن عمر ماريو يبلغ 14 عامًا أيضًا.

الملكية الموحدة

الخاصية الموحدة هي أنه إذا تمت إضافة جانبي المساواة أو ضربهما بنفس المقدار ، فسيتم الحفاظ على المساواة. على سبيل المثال ، إذا كان 2 = 2 ، إذن 2 + 3 = 2 + 3 ، وهذا واضح ، لأن 5 = 5. هذه الخاصية مفيدة للغاية عند محاولة حل معادلة.

على سبيل المثال ، افترض أنه طُلب منك حل المعادلة x-2 = 1. من الملائم تذكر أن حل المعادلة يتكون من التحديد الصريح للمتغير (أو المتغيرات) المعنية ، بناءً على رقم محدد أو متغير محدد مسبقًا.

بالعودة إلى المعادلة x-2 = 1 ، ما عليك فعله هو إيجاد قيمة x بشكل صريح. للقيام بذلك ، يجب مسح المتغير.

تم تعليمه خطأ أنه في هذه الحالة ، نظرًا لأن الرقم 2 سلبي ، فإنه ينتقل إلى الجانب الآخر من المساواة بعلامة إيجابية. لكن ليس من الصحيح قول ذلك بهذه الطريقة.

ما تقوم به في الأساس هو تطبيق خاصية الزي الموحد ، كما سنرى أدناه. الفكرة هي مسح "x" ؛ أي ، اتركها بمفردها في جانب واحد من المعادلة. عادة ما يتم تركه على الجانب الأيسر.

لهذا الغرض ، فإن الرقم المطلوب "حذفه" هو -2. طريقة القيام بذلك ستكون عن طريق جمع 2 ، بما أن -2 + 2 = 0 و x + 0 = 0. من أجل القيام بذلك دون تغيير المساواة ، يجب تطبيق نفس العملية على الجانب الآخر.

هذا يسمح لنا بإدراك الخاصية الموحدة: بما أن x-2 = 1 ، إذا تمت إضافة الرقم 2 على كلا جانبي المساواة ، فإن الخاصية الموحدة تقول أنه لم يتم تغييرها. ثم لدينا x-2 + 2 = 1 + 2 ، وهو ما يعادل القول بأن x = 3. بهذا تحل المعادلة.

وبالمثل ، إذا كنت تريد حل المعادلة (1/5) y-1 = 9 ، فيمكنك المتابعة باستخدام الخاصية الموحدة كما يلي:

بشكل عام ، يمكن الإدلاء بالبيانات التالية:

- إذا كان ab = cb ، فإن a = c.

- إذا كانت xb = y ، فإن x = y + b.

- إذا كان (1 / أ) z = b ، إذن z = a ×

- إذا (1 / ج) أ = (1 / ج) ب ، إذن أ = ب.

خاصية الإلغاء

خاصية الإلغاء هي حالة خاصة للخاصية الموحدة ، لا سيما بالنظر إلى حالة الطرح والقسمة (والتي تتوافق أيضًا بشكل أساسي مع الجمع والضرب). هذه الخاصية تعالج هذه الحالة بشكل منفصل.

على سبيل المثال ، إذا كان 7 + 2 = 9 ، فإن 7 = 9-2. أو إذا كانت 2y = 6 ، فإن y = 3 (القسمة على اثنين على كلا الجانبين).

على غرار الحالة السابقة ، يمكن إنشاء البيانات التالية من خلال خاصية الإلغاء:

- إذا كان أ + ب = ج + ب ، إذن أ = ج.

- إذا كانت x + b = y ، فإن x = yb.

- إذا كان az = b ، إذن z = b / a.

- إذا كان ca = cb ، فإن a = b.

خاصية الاستبدال

إذا عرفنا قيمة كائن رياضي ، فإن خاصية الاستبدال تنص على أنه يمكن استبدال هذه القيمة في أي معادلة أو تعبير. على سبيل المثال ، إذا كانت b = 5 و a = bx ، فعند استبدال قيمة "b" في المساواة الثانية ، لدينا أن a = 5x.

مثال آخر هو ما يلي: إذا كان "m" يقسم "n" وأيضًا "n" يقسم "m" ، فيجب أن يكون لدينا m = n.

في الواقع ، أن نقول أن "m" يقسم "n" (أو بشكل مكافئ ، أن "m" مقسوم على "n") يعني أن القسمة m ÷ n دقيقة ؛ وهذا يعني أن قسمة "m" على "n" ينتج عنها عدد صحيح ، وليس عددًا عشريًا. يمكن التعبير عن هذا بالقول أن هناك عددًا صحيحًا "ك" مثل م = ك × ن.

نظرًا لأن "n" تقسم أيضًا "m" ، فهناك عدد صحيح "p" مثل أن n = p × m. بسبب خاصية الاستبدال ، لدينا n = p × k × n ، ولكي يحدث هذا هناك احتمالان: n = 0 ، وفي هذه الحالة سيكون لدينا الهوية 0 = 0 ؛ op × k = 1 ، ومن ثم الهوية n = n.

افترض أن "n" ليست صفرية. ثم بالضرورة ص × ك = 1 ؛ لذلك ، p = 1 و k = 1. باستخدام خاصية الاستبدال مرة أخرى ، بالتعويض عن k = 1 في المساواة m = k × n (أو على نحو مكافئ ، p = 1 في n = p × m) ، نحصل أخيرًا على m = n ، وهو ما أردنا إثباته.

ملكية السلطة على قدم المساواة

تمامًا كما رأينا سابقًا أنه إذا تم إجراء عملية مثل الجمع أو الضرب أو الطرح أو القسمة في كلا شروط المساواة ، يتم الاحتفاظ بها ، بنفس الطريقة التي يمكن بها تطبيق العمليات الأخرى التي لا تغير المساواة.

المفتاح هو إجراء ذلك دائمًا على جانبي المساواة والتأكد مسبقًا من إمكانية إجراء العملية. هذه هي حالة التمكين ؛ أي ، إذا تم رفع كلا طرفي المعادلة إلى نفس القوة ، فلا يزال لدينا مساواة.

على سبيل المثال ، بما أن 3 = 3 ، فإن 3 ² = 3 ² (9 = 9). بشكل عام ، عند إعطاء عدد صحيح "n" ، إذا كانت x = y ، فإن x ⁿ = y ⁿ.

خاصية الجذر في المساواة

هذه حالة خاصة من التمكين ويتم تطبيقها عندما تكون القوة عددًا منطقيًا غير صحيح ، مثل ½ ، والتي تمثل الجذر التربيعي. تنص هذه الخاصية على أنه إذا تم تطبيق نفس الجذر على كلا جانبي المساواة (كلما أمكن ذلك) ، يتم الحفاظ على المساواة.

على عكس الحالة السابقة ، يجب توخي الحذر هنا مع تكافؤ الجذر المراد تطبيقه ، لأنه من المعروف جيدًا أن الجذر الزوجي لرقم سالب غير محدد جيدًا.

في حالة أن الراديكالي متساو فلا مشكلة. على سبيل المثال ، إذا كانت x ³ = -8 ، على الرغم من أنها تساوي ، لا يمكنك تطبيق جذر تربيعي على كلا الجانبين ، على سبيل المثال. ومع ذلك ، إذا كان بإمكانك تطبيق جذر تكعيبي (وهو أكثر ملاءمة إذا كنت تريد أن تعرف بوضوح قيمة x) ، وبالتالي تحصل على x = -2.

المراجع

1. آيلوين ، سي يو (2011). المنطق والمجموعات والأرقام. ميريدا - فنزويلا: مجلس المطبوعات ، جامعة لوس أنديس.
2. Jiménez، J.، Rofríguez، M.، & Estrada، R. (2005). الرياضيات 1 سبتمبر. عتبة.
3. ليرا ، ML (1994). سيمون والرياضيات: نص رياضيات للصف الثاني: كتاب الطالب. أندريس بيلو.
4. بريسيادو ، كونيتيكت (2005). دورة الرياضيات الثالثة. المقدمة الافتتاحية.
5. سيغوفيا ، BR (2012). أنشطة وألعاب رياضية مع ميغيل ولوسيا. بالدوميرو روبيو سيغوفيا.
6. Toral، C.، & Preciado، M. (1985). دورة الرياضيات الثانية. المقدمة الافتتاحية.