ما هو الترتيب في الإحصاء؟ (مع أمثلة) - دوداس - 2026

في مجموعة ، مجموعة أو السعة، في الإحصاءات، هو الفرق (الطرح) بين قيمة الحد الأقصى والحد الأدنى لقيمة مجموعة من البيانات من عينة أو السكان. إذا تم تمثيل النطاق بالحرف R وتم تمثيل البيانات بواسطة x ، فإن صيغة النطاق هي ببساطة:

R = x _max - x _min

حيث x _max هي القيمة القصوى للبيانات و x _min هي الحد الأدنى.

الشكل 1. مجموعة من البيانات المقابلة لسكان قادس في القرنين الماضيين. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

يعد هذا المفهوم مفيدًا جدًا كمقياس بسيط للتشتت لتقدير تقلب البيانات بسرعة ، لأنه يشير إلى امتداد أو طول الفاصل الزمني حيث توجد هذه البيانات.

على سبيل المثال ، افترض أنه تم قياس ارتفاع مجموعة مكونة من 25 طالبًا من طلاب السنة الأولى في الهندسة في إحدى الجامعات. يبلغ أطول طالب في المجموعة 1.93 مترًا وأقصره 1.67 مترًا. هذه هي القيم القصوى لبيانات العينة ، وبالتالي فإن مسارها هو:

R = 1.93 - 1.67 م = 0.26 م أو 26 سم.

يتم توزيع ارتفاع الطلاب في هذه المجموعة على طول هذا النطاق.

المميزات والعيوب

النطاق ، كما قلنا من قبل ، مقياس لمدى انتشار البيانات. يشير النطاق الصغير إلى أن البيانات قريبة إلى حد ما وأن السبريد منخفض. من ناحية أخرى ، يشير النطاق الأكبر إلى أن البيانات أكثر تشتتًا.

مزايا حساب النطاق واضحة: من السهل جدًا وسريع العثور عليها ، لأنه فرق بسيط.

كما أن لديها نفس وحدات البيانات التي تعمل بها ، ومن السهل جدًا تفسير المفهوم لأي مراقب.

في مثال ارتفاع طلاب الهندسة ، إذا كان النطاق 5 سم ، فيمكننا القول إن الطلاب جميعًا بنفس الحجم تقريبًا. ولكن مع مدى 26 سم ، نفترض على الفور أن هناك طلابًا من جميع الارتفاعات المتوسطة في العينة. هل هذا الافتراض صحيح دائما؟

مساوئ النطاق كمقياس للتشتت

إذا نظرنا بعناية ، فقد يكون في عينتنا المكونة من 25 طالب هندسة ، واحد منهم فقط يقيس 1.93 والباقي 24 له ارتفاعات قريبة من 1.67 متر.

ومع ذلك ، يظل النطاق كما هو ، على الرغم من أن العكس ممكن تمامًا: أن ارتفاع الأغلبية يبلغ حوالي 1.90 مترًا وأن واحدًا فقط يبلغ 1.67 مترًا.

في كلتا الحالتين ، يختلف توزيع البيانات تمامًا.

تتمثل عيوب النطاق كمقياس للتشتت في أنه يستخدم القيم القصوى فقط ويتجاهل جميع القيم الأخرى. نظرًا لأن معظم المعلومات مفقودة ، فليس لديك فكرة عن كيفية توزيع بيانات العينة.

ومن الخصائص المهمة الأخرى أن نطاق العينة لا يتناقص أبدًا. إذا أضفنا مزيدًا من المعلومات ، أي أننا نأخذ في الاعتبار المزيد من البيانات ، فإن النطاق يزيد أو يظل كما هو.

وعلى أي حال ، فهو مفيد فقط عند العمل مع عينات صغيرة ، ولا يوصى باستخدامه الوحيد كمقياس للتشتت في العينات الكبيرة.

ما يجب القيام به هو استكماله بحساب مقاييس التشتت الأخرى التي تأخذ في الاعتبار المعلومات المقدمة من البيانات الإجمالية: المدى الربيعي ، والتباين ، والانحراف المعياري ، ومعامل التباين.

المدى الربيعي ، والربيعيات والمثال العملي

لقد أدركنا أن ضعف النطاق كمقياس للتشتت هو أنه يستخدم فقط القيم القصوى لتوزيع البيانات ، مع حذف القيم الأخرى.

لتجنب هذا الإزعاج ، يتم استخدام الربعية: ثلاث قيم تعرف باسم مقاييس الموضع.

يوزعون البيانات غير المبوبة إلى أربعة أجزاء (مقاييس الموضع الأخرى المستخدمة على نطاق واسع هي الفئات العشرية والنسب المئوية). هذه هي خصائصها:

- الربع الأول Q ₁ هو قيمة البيانات بحيث يكون 25٪ منها أقل من Q ₁.

- الربع الثاني Q ₂ هو متوسط ​​التوزيع أي أن نصف (50٪) البيانات أقل من هذه القيمة.

- أخيرًا ، يشير الربع الثالث Q ₃ إلى أن 75٪ من البيانات أقل من Q ₃.

بعد ذلك ، يُعرَّف النطاق الربيعي أو النطاق الربيعي على أنه الفرق بين الربع الثالث Q ₃ والربيع الأول Q ₁ من البيانات:

المدى الربيعي = R _Q = Q ₃ - Q ₁

بهذه الطريقة ، لا تتأثر قيمة النطاق R _Q بالقيم القصوى. لهذا السبب ، يُنصح باستخدامه عند التعامل مع توزيعات منحرفة ، مثل تلك الخاصة بطلاب طويل القامة جدًا أو قصير القامة جدًا كما هو موضح أعلاه.

- حساب الأرباع

هناك عدة طرق لحسابها ، هنا سنقترح واحدة ، ولكن على أي حال من الضروري معرفة رقم الطلب "N _o " ، وهو المكان الذي يحتله الربع المعني في التوزيع.

أي ، على سبيل المثال ، إذا كان المصطلح الذي يتوافق مع Q ₁ هو الثاني أو الثالث أو الرابع وما إلى ذلك من التوزيع.

الربع الأول

N _أو (Q ₁) = (N + 1) / 4

الربع الثاني أو الوسيط

N _أو (Q ₂) = (N + 1) / 2

الربع الثالث

N _أو (Q ₃) = 3 (N + 1) / 4

حيث N هو عدد البيانات.

الوسيط هو القيمة الموجودة في منتصف التوزيع. إذا كان عدد البيانات فرديًا ، فلا توجد مشكلة في العثور عليه ، ولكن إذا كان عددًا زوجيًا ، فسيتم حساب متوسط ​​القيمتين المركزيتين ليصبحا واحدًا.

بمجرد حساب رقم الطلب ، يتم اتباع إحدى هذه القواعد الثلاثة:

- في حالة عدم وجود كسور عشرية ، يتم البحث في البيانات المشار إليها في التوزيع وسيكون هذا هو الربع المطلوب.

-عندما يكون رقم الطلب في منتصف المسافة بين رقمين ، يتم حساب متوسط ​​البيانات المشار إليها بواسطة الجزء الصحيح مع البيانات التالية ، وتكون النتيجة هي الربع المقابل.

- في أي حالة أخرى ، يتم تقريبه إلى أقرب عدد صحيح وسيكون هذا هو موضع الربع.

عمل مثال

على مقياس من 0 إلى 20 ، حصلت مجموعة مكونة من 16 طالبًا في الرياضيات على العلامات (النقاط) التالية في امتحان منتصف الفصل الدراسي:

16 ، 10 ، 12 ، 8 ، 9 ، 15 ، 18 ، 20 ، 9 ، 11 ، 1 ، 13 ، 17 ، 9 ، 10 ، 14

تجد:

أ) نطاق أو نطاق البيانات.

ب) قيم الربيعين Q ₁ و Q ₃

ج) المدى الربيعي.

الشكل 2. هل الدرجات في هذا الاختبار لها هذا القدر من التباين؟ المصدر: Pixabay.

الاجابه على

أول شيء يجب فعله للعثور على المسار هو ترتيب البيانات بترتيب تصاعدي أو تنازلي. على سبيل المثال في الترتيب المتزايد لديك:

1 ، 8 ، 9 ، 9 ، 9 ، 10 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، 17 ، 18 ، 20

باستخدام الصيغة الواردة في البداية: R = x _max - x _min

R = 20-1 نقطة = 19 نقطة.

وفقًا للنتيجة ، فإن هذه التصنيفات لها تشتت كبير.

الحل ب

العدد = 16

N _أو (Q ₁) = (N + 1) / 4 = (16 + 1) / 4 = 17/4 = 4.25

إنه رقم به كسور عشرية ، الجزء الصحيح هو 4. ثم ننتقل إلى التوزيع ، ونبحث عن البيانات التي تحتل المرتبة الرابعة وقيمتها متوسّطة مع الموضع الخامس. نظرًا لأن كلاهما 9 ، فإن المتوسط ​​هو 9 أيضًا وهكذا:

س ₁ = 9

الآن نكرر الإجراء لإيجاد س ₃:

N _أو (Q ₃) = 3 (N + 1) / 4 = 3 (16 +1) / 4 = 12.75

مرة أخرى هو رقم عشري ، ولكن نظرًا لأنه ليس في منتصف الطريق ، يتم تقريبه إلى 13. يحتل الربع المطلوب المركز الثالث عشر وهو:

س ₃ = 16

الحل ج

R _Q = Q ₃ - Q ₁ = 16-9 = 7 نقاط.

والتي ، كما نرى ، أصغر بكثير من نطاق البيانات المحسوب في القسم أ) ، لأن الحد الأدنى من النقاط كان نقطة واحدة ، وهي قيمة أبعد بكثير عن البقية.

المراجع

1. Berenson، M. 1985. إحصائيات للإدارة والاقتصاد. Interamericana SA
2. Canavos، G. 1988. الاحتمالية والإحصاء: التطبيقات والأساليب. ماكجرو هيل.
3. Devore، J. 2012. الاحتمالية والإحصاء للهندسة والعلوم. الثامن. الإصدار. سينجاج.
4. أمثلة على الشرائح الربعية. تم الاسترجاع من: matematicas10.net.
5. ليفين ، ر. 1988. إحصائيات للمسؤولين. الثاني. الإصدار. برنتيس هول.
6. والبول ، ر. 2007. الاحتمالات والإحصاء للهندسة والعلوم. بيرسون.