التفكير الجبري (مع تمارين محلولة) - رياضيات - 2024

يتكون التفكير الجبري أساسًا من حجة رياضية تتواصل من خلال لغة خاصة ، مما يجعلها متغيرات أكثر صرامة وعامة باستخدام العمليات الجبرية المحددة وبعضها البعض. من سمات الرياضيات الصرامة المنطقية والميل المجرد المستخدم في حججه.

وهذا يتطلب معرفة "القواعد" الصحيحة لاستخدامها في هذه الكتابة. علاوة على ذلك ، يتجنب التفكير الجبري الغموض في تبرير الحجة الرياضية ، وهو أمر ضروري لإثبات أي نتيجة في الرياضيات.

المتغيرات الجبرية

المتغير الجبري هو ببساطة متغير (حرف أو رمز) يمثل كائنًا رياضيًا معينًا.

على سبيل المثال ، غالبًا ما تُستخدم الأحرف x و y و z لتمثيل الأرقام التي تحقق معادلة معينة ؛ الأحرف p ، qr ، لتمثيل الصيغ المقترحة (أو الأحرف الكبيرة الخاصة بكل منها لتمثيل مقترحات محددة) ؛ والحروف A ، B ، X ، إلخ ، لتمثيل المجموعات.

يؤكد مصطلح "متغير" على أن الكائن المعني ليس ثابتًا ، ولكنه يختلف. هذه هي حالة المعادلة ، حيث يتم استخدام المتغيرات لتحديد الحلول غير المعروفة من حيث المبدأ.

بشكل عام ، يمكن اعتبار المتغير الجبري حرفًا يمثل كائنًا ما ، سواء كان ثابتًا أم لا.

مثلما تُستخدم المتغيرات الجبرية لتمثيل كائنات رياضية ، يمكننا أيضًا اعتبار الرموز لتمثيل العمليات الرياضية.

على سبيل المثال ، يمثل الرمز "+" عملية "الإضافة". الأمثلة الأخرى هي الرموز الرمزية المختلفة للوصلات المنطقية في حالة الافتراضات والمجموعات.

تعبيرات جبرية

التعبير الجبري هو مزيج من المتغيرات الجبرية عن طريق عمليات محددة مسبقًا. ومن الأمثلة على ذلك العمليات الأساسية للجمع والطرح والضرب والقسمة بين الأرقام ، أو الوصلات المنطقية في الافتراضات والمجموعات.

الاستدلال الجبري مسؤول عن التعبير عن التفكير أو الحجة الرياضية من خلال التعبيرات الجبرية.

يساعد هذا الشكل من التعبير على تبسيط الكتابة واختصارها ، لأنه يستخدم الرموز الرمزية ويسمح بفهم أفضل للاستدلال ، وتقديمه بطريقة أوضح وأكثر دقة.

أمثلة

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة التي توضح كيفية استخدام التفكير الجبري. يتم استخدامه بانتظام لحل مشاكل المنطق والاستدلال ، كما سنرى بعد قليل.

ضع في اعتبارك الاقتراح الرياضي المعروف "مجموع رقمين تبادلي". دعونا نرى كيف يمكننا التعبير عن هذا الافتراض جبريًا: بالنظر إلى رقمين "أ" و "ب" ، ما يعنيه هذا الاقتراح هو أن أ + ب = ب + أ.

المنطق المستخدم لتفسير البيان الأولي والتعبير عنه بمصطلحات جبرية هو التفكير الجبري.

يمكننا أيضًا أن نذكر التعبير الشهير "ترتيب العوامل لا يغير المنتج" ، والذي يشير إلى حقيقة أن حاصل ضرب عددين هو أيضًا تبادلي ، ويتم التعبير عنه جبريًا بالرمز axb = bxa.

وبالمثل ، يمكن التعبير عن الخصائص الترابطية والتوزيعية للإضافة والمنتج ، حيث يتم تضمين الطرح والقسمة ، (ويتم التعبير عنها) جبريًا.

يشمل هذا النوع من التفكير لغة واسعة جدًا ويستخدم في العديد من السياقات المختلفة. اعتمادًا على كل حالة ، في هذه السياقات ، من الضروري التعرف على الأنماط وتفسير الجمل وتعميم وإضفاء الطابع الرسمي على تعبيرها بمصطلحات جبرية ، مما يوفر تفكيرًا صحيحًا ومتسلسلًا.

تمارين محلولة

فيما يلي بعض المسائل المنطقية التي سنحلها باستخدام التفكير الجبري:

التمرين الأول

ما هو الرقم الذي إذا أخذ نصفه منه يساوي واحدًا؟

المحلول

لحل هذا النوع من التمارين ، من المفيد جدًا تمثيل القيمة التي نريد تحديدها بواسطة متغير. في هذه الحالة ، نريد إيجاد رقم ينتج عنه الرقم واحد عند أخذ نصفه. دعونا نشير إلى x الرقم المطلوب.

"أخذ نصف" رقم يعني تقسيمه على 2. لذلك يمكن التعبير عن ما سبق جبريًا كـ x / 2 = 1 ، وتتلخص المشكلة في حل معادلة ، وهي في هذه الحالة خطية ويسهل حلها. بإيجاد قيمة x نجد أن الحل هو x = 2.

في الختام ، 2 هو الرقم الذي عند أخذ النصف يساوي 1.

التمرين الثاني

كم دقيقة حتى منتصف الليل إذا قبل 10 دقائق 5/3 مما تبقى الآن؟

المحلول

دعونا نشير بعلامة "z" عدد الدقائق حتى منتصف الليل (يمكن استخدام أي حرف آخر). وهذا يعني أنه يوجد الآن دقائق "z" حتى منتصف الليل. هذا يعني أنه منذ 10 دقائق ، كانت "z + 10" دقائق مفقودة لمنتصف الليل ، وهذا يتوافق مع 5/3 مما هو مفقود الآن ؛ أي (5/3) ض.

ثم تتلخص المسألة في حل المعادلة z + 10 = (5/3) z. بضرب طرفي المساواة في 3 ، نحصل على المعادلة 3z + 30 = 5z.

الآن ، عند تجميع المتغير "z" على جانب واحد من المساواة ، نحصل على 2z = 15 ، مما يعني أن z = 15.

إذاً 15 دقيقة حتى منتصف الليل.

التمرين الثالث

في القبيلة التي تمارس المقايضة ، توجد هذه المعادلات:

- يتم استبدال رمح وقلادة بدرع.

- الرمح يعادل السكين والقلادة.

- يتم استبدال درعين بثلاث وحدات سكاكين.

كم عدد العقود التي تعادل الرمح؟

المحلول

شون:

شارك = قلادة

L = رمح

ه = درع

النحاس = سكين

لذلك لدينا العلاقات التالية:

Co + L = E.

L = Co + Cu

2E = 3Cu

لذا تتلخص المشكلة في حل نظام من المعادلات. على الرغم من وجود عدد أكبر من المجهول من المعادلات ، يمكن حل هذا النظام ، نظرًا لأنها لا تطلب منا حلاً معينًا ولكن أحد المتغيرات كدالة للآخر. ما يتعين علينا القيام به هو التعبير عن "Co" من حيث "L" حصريًا.

من المعادلة الثانية نحصل على Cu = L - Co. بالتعويض في المعادلة الثالثة نحصل على E = (3L - 3Co) / 2. أخيرًا ، الاستبدال في المعادلة الأولى وتبسيطها نحصل على أن 5Co = L ؛ أي أن الرمح يساوي خمسة قلادات.

المراجع

1. بيلشتاين ، ر. ، ليبسكيند ، س ، ولوت ، جي دبليو (2013). الرياضيات: نهج حل مشكلة لمعلمي التعليم الابتدائي. محرري لوبيز ماتيوس.
2. فوينتيس ، أ. (2016). الرياضيات الأساسية. مقدمة في حساب التفاضل والتكامل. Lulu.com.
3. García Rua، J.، & Martínez Sánchez، JM (1997). الرياضيات الأساسية الابتدائية. وزارة التعليم.
4. ريس ، بي كيه (1986). الجبر. العودة.
5. روك ، نيو مكسيكو (2006). أنا الجبر سهل! سهل جدا. صحافة فريق روك.
6. سميث ، سا (2000). الجبر. تعليم بيرسون.
7. Szecsei ، D. (2006). الرياضيات الأساسية وما قبل الجبر (يتضح الصورة). الصحافة المهنية.