و توزيع ذي الحدين هو التوزيع الاحتمالي الذي يحسب احتمال وقوع الأحداث، شريطة أن تتم من خلال طريقتين: النجاح أو الفشل.
هذه التسميات (نجاح أو فشل) اعتباطية تمامًا ، لأنها لا تعني بالضرورة أشياء جيدة أو سيئة. خلال هذه المقالة سوف نشير إلى الشكل الرياضي للتوزيع ذي الحدين ومن ثم سيتم شرح معنى كل مصطلح بالتفصيل.
الشكل 1. لفة النرد هي ظاهرة يمكن نمذجتها باستخدام التوزيع ذي الحدين. المصدر: Pixabay.
معادلة
المعادلة كالتالي:
مع x = 0 ، 1 ، 2 ، 3….n ، حيث:
- P (x) هو احتمال نجاح x بالضبط بين n محاولات أو محاولات.
- x هو المتغير الذي يصف ظاهرة الاهتمام ، ويتوافق مع عدد النجاحات.
- ن عدد المحاولات
- p هو احتمال النجاح في محاولة واحدة
- q هو احتمال الفشل في محاولة واحدة ، لذلك q = 1 - p
علامة التعجب "!" يستخدم للترميز المضروب ، لذلك:
0! = 1
واحد! = 1
اثنان! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
وما إلى ذلك وهلم جرا.
مفهوم
التوزيع ذو الحدين مناسب جدًا لوصف المواقف التي يحدث فيها حدث أو لا يحدث. إذا حدث فهو نجاح وإذا لم يحدث فهو فشل. علاوة على ذلك ، يجب أن يظل احتمال النجاح ثابتًا دائمًا.
هناك ظواهر تناسب هذه الظروف ، على سبيل المثال رمي عملة معدنية. في هذه الحالة ، يمكننا القول إن "النجاح" هو الحصول على وجه. الاحتمال ½ ولا يتغير ، بغض النظر عن عدد المرات التي يتم فيها رمي العملة.
إن لفة النرد الصادق هي مثال جيد آخر ، بالإضافة إلى تصنيف إنتاج معين إلى قطع جيدة وقطع معيبة والحصول على اللون الأحمر بدلاً من الأسود عند تدوير عجلة الروليت.
مميزات
يمكننا تلخيص خصائص التوزيع ذي الحدين على النحو التالي:
- أي حدث أو ملاحظة يتم استخلاصها من مجموعة لا نهائية بدون استبدال أو من مجموعة محدودة مع إحلال.
- يتم النظر في خيارين فقط ، متعارضين: النجاح أو الفشل ، كما هو موضح في البداية.
- يجب أن يكون احتمال النجاح ثابتًا في أي ملاحظة يتم إجراؤها.
- تكون نتيجة أي حدث مستقلة عن أي حدث آخر.
- متوسط التوزيع ذي الحدين هو np
- الانحراف المعياري هو:
مثال تطبيقى
لنأخذ حدثًا بسيطًا ، قد يكون الحصول على رأسين 5 من خلال رمي نرد صادق 3 مرات. ما هو احتمال الحصول على رأسين من 5 في 3 رميات؟
هناك عدة طرق لتحقيق ذلك ، على سبيل المثال:
- عمليات الإطلاق الأولى والثانية هي 5 والأخيرة ليست كذلك.
- الأول والأخير 5 لكن ليس الوسط.
- الرميتان الأخيرتان هما 5 والأولى ليست كذلك.
لنأخذ التسلسل الأول الموصوف كمثال ونحسب احتمال حدوثه. احتمال الحصول على 5 رؤوس في اللفة الأولى هو 1/6 ، وكذلك في الثانية ، لأنها أحداث مستقلة.
احتمال الحصول على رأس آخر بخلاف 5 في آخر لفة هو 1 - 1/6 = 5/6. لذلك ، فإن احتمال ظهور هذا التسلسل هو حاصل ضرب الاحتمالات:
(1/6). (1/6). (5/6) = 5/216 = 0.023
ماذا عن التسلسلين الآخرين؟ لديهم نفس الاحتمال: 0.023.
وبما أن لدينا إجمالي 3 متواليات ناجحة ، فإن الاحتمال الكلي سيكون:
مثال 2
تزعم إحدى الجامعات أن 80٪ من الطلاب في فريق كرة السلة بالكلية يتخرجون. يقوم تحقيق بفحص السجل الأكاديمي لـ 20 طالبًا ينتمون إلى فريق كرة السلة المذكور الذين التحقوا بالجامعة منذ فترة.
من بين هؤلاء الطلاب العشرين ، أنهى 11 طالبًا دراستهم وانقطع 9.
الشكل 2. يتخرج جميع الطلاب الذين يلعبون لفريق الكلية تقريبًا. المصدر: Pixabay.
إذا كان بيان الجامعة صحيحًا ، فإن عدد الطلاب الذين يلعبون كرة السلة ويتخرجون ، من أصل 20 ، يجب أن يكون لهم توزيع ذو حدين مع n = 20 و p = 0.8. ما هو احتمال تخريج 11 لاعباً من أصل 20؟
المحلول
في التوزيع ذي الحدين:
مثال 3
أجرى الباحثون دراسة لتحديد ما إذا كانت هناك فروق ذات دلالة إحصائية في معدلات التخرج بين طلاب الطب المقبولين من خلال برامج خاصة وطلاب الطب المقبولين من خلال معايير القبول المنتظمة.
تم العثور على معدل التخرج بنسبة 94 ٪ للأطباء الطلاب المقبولين من خلال برامج خاصة (بناءً على بيانات من مجلة الجمعية الطبية الأمريكية).
إذا تم اختيار 10 طلاب من البرامج الخاصة بشكل عشوائي ، فابحث عن احتمال تخرج 9 منهم على الأقل.
ب) هل سيكون من غير المعتاد اختيار 10 طلاب بشكل عشوائي من برامج خاصة واكتشاف أن 7 منهم فقط قد تخرجوا؟
المحلول
احتمال تخريج طالب تم قبوله من خلال برنامج خاص هو 94/100 = 0.94. نختار n = 10 طلاب من البرامج الخاصة ونريد معرفة احتمالية تخرج 9 منهم على الأقل.
ثم يتم استبدال القيم التالية في التوزيع ذي الحدين:
ب)
المراجع
- Berenson، M. 1985. إحصائيات للإدارة والاقتصاد. Interamericana SA
- ماثووركس. توزيع ثنائي. تم الاسترجاع من: es.mathworks.com
- Mendenhall، W. 1981. إحصائيات للإدارة والاقتصاد. الثالث. الإصدار. Grupo الافتتاحية Iberoamérica.
- مور ، د. 2005. الإحصاء الأساسي التطبيقي. الثاني. الإصدار.
- تريولا ، إم. 2012. إحصائيات أولية. الحادي عشر. إد. بيرسون التعليم.
- ويكيبيديا. توزيع ثنائي. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org