النظرية الأساسية في الحساب: البرهان ، التطبيقات ، التمارين - رياضيات - 2026

و النظرية الأساسية في الحسابية ينص على أن أي عدد أكبر من الطبيعي 1 يمكن أن تتحلل كمنتج من الأعداد الأولية - البعض يمكن أن تتكرر - وهذا النموذج هي فريدة من نوعها لهذا العدد، على الرغم من أن ترتيب العوامل قد تكون مختلفة.

تذكر أن عددًا أوليًا p هو رقم يقبل نفسه فقط و 1 كمقسوم موجب ، والأرقام التالية هي أعداد أولية: 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 وهكذا ، نظرًا لوجود عدد لا نهائي. لا يعتبر الرقم 1 عددًا أوليًا لأنه يحتوي على قاسم واحد فقط.

الشكل 1. أثبت إقليدس (على اليسار) النظرية الأساسية للحساب في كتابه العناصر (350 قبل الميلاد) ، وأول دليل كامل يرجع إلى كارل إف جاوس (1777-1855) (يمين). المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

من جانبها ، تسمى الأرقام التي لا تتوافق مع ما سبق أرقامًا مركبة ، مثل 4 ، 6 ، 8 ، 9 ، 10 ، 12 ، 14… لنأخذ الرقم 10 على سبيل المثال ، ونرى على الفور أنه يمكن تحللها كمنتج لـ 2 و 5:

10 = 2 × 5

كل من 2 و 5 أعداد أولية. تنص النظرية على أن هذا ممكن لأي رقم ن:

حيث p ₁ ، p ₂ ، p ₃ … p _r أعداد أولية و k ₁ ، k ₂ ، k ₃ ،… k _r أعداد طبيعية. لذا فإن الأعداد الأولية تعمل بمثابة اللبنات الأساسية التي تُبنى منها الأعداد الطبيعية عن طريق الضرب.

إثبات النظرية الأساسية في الحساب

نبدأ بإظهار أن كل رقم يمكن أن يتحلل إلى عوامل أولية. يجب أن يكون عددًا طبيعيًا n> 1 ، أولي أو مركب.

على سبيل المثال ، إذا كان n = 2 ، فيمكن التعبير عنه على النحو التالي: 2 = 1 × 2 ، وهو عدد أولي. بالطريقة نفسها ، تابع الأرقام التالية:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

نستمر على هذا النحو ، ونحلل كل الأعداد الطبيعية حتى نصل إلى العدد ن -1. دعنا نرى ما إذا كان يمكننا القيام بذلك بالرقم التالي: n.

إذا كان n عددًا أوليًا ، فيمكننا تحليله على أنه n = 1 × n ، لكن نفترض أن n مركب وله قاسم d ، منطقيًا أقل من n:

1 <د <ن.

إذا كان n / d = p ₁ ، مع p ₁ عدد أولي ، فسيتم كتابة n على النحو التالي:

ن = ص ₁ د

إذا كان d عددًا أوليًا ، فلا يوجد شيء آخر يجب القيام به ، ولكن إذا لم يكن كذلك ، فهناك رقم n ₂ مقسوم على d وأقل من هذا: n ₂ <d ، لذلك يمكن كتابة d على أنه حاصل ضرب n ₂ بواسطة آخر العدد الأولي ص ₂:

د = ص ₂ ن ₂

أنه عند الاستبدال بالرقم الأصلي ، سيعطي n:

ن = ص ₁. ف ₂.N ₂

لنفترض الآن أن n ₂ ليس عددًا أوليًا أيضًا ونكتبه على أنه حاصل ضرب عدد أولي ص ₃ ، بواسطة مقسومه n ₃ ، مثل n ₃ <n ₂ <n ₁ <n:

ن ₂ = ص _3. ن ₃ → ن = ص ₁ ص ₂ ص _3. ن ₃

نكرر هذا الإجراء عددًا محدودًا من المرات حتى نحصل على:

ن = ص ₁. ف ₂. ف ₃… ع _ص

هذا يعني أنه من الممكن تحليل جميع الأعداد الصحيحة من 2 إلى العدد n ، كمنتج للأعداد الأولية.

تفرد العوامل الأولية

الآن دعونا نتحقق من أن هذا التحلل فريد من نوعه باستثناء ترتيب العوامل. افترض أنه يمكن كتابة n بطريقتين:

n = p ₁.p ₂.p ₃… p _r = q _1. q ₂.q ₃…..q _s (مع r ≤ s)

بالطبع q ₁ ، q ₂ ، q ₃… هي أعداد أولية أيضًا. نظرًا لأن p ₁ يقسم (q _1. q ₂.q ₃…..q _s) ، فإن p ₁ يساوي أيًا من "q" ، فلا يهم أيهما ، لذلك يمكننا القول أن p ₁ = q ₁. نقسم n على p ₁ ونحصل على:

ص ₂. ف ₃… ع _ص = . ف ₂.q ₃…..q _الصورة

نكرر الإجراء حتى نقسم كل شيء على p _r ، ثم نحصل على:

1 = _{ص ص + 1}… س _ث

لكن ليس من الممكن الوصول إلى q _{r + 1} … q _s = 1 عندما r <s ، فقط إذا كانت r = s. على الرغم من الاعتراف بأن r = s ، فمن المسلم به أيضًا أن "p" و "q" متماثلان. لذلك فإن التحلل فريد من نوعه.

التطبيقات

كما قلنا من قبل ، فإن الأعداد الأولية تمثل ، إذا أردت ، ذرات الأرقام ومكوناتها الأساسية. لذا فإن للنظرية الأساسية في الحساب تطبيقات عديدة ، وأكثرها وضوحًا: يمكننا العمل مع الأعداد الكبيرة بسهولة أكبر إذا عبرنا عنها على أنها حاصل ضرب أعداد أصغر.

بالطريقة نفسها ، يمكننا إيجاد المضاعف المشترك الأكبر (LCM) والمقسوم المشترك الأكبر (GCF) ، وهو الإجراء الذي يساعدنا في إضافة الكسور بسهولة أكبر ، أو العثور على جذور أعداد كبيرة ، أو العمل مع الجذور ، والترشيد والحل مشاكل التطبيق ذات الطبيعة المتنوعة للغاية.

علاوة على ذلك ، فإن الأعداد الأولية غامضة للغاية. لم يتم التعرف على نمط في نفوسهم ولا يمكن معرفة أي واحد سيكون التالي. تم العثور على أكبر عدد حتى الآن بواسطة أجهزة الكمبيوتر ويحتوي على 24862048 رقمًا ، على الرغم من أن الأعداد الأولية الجديدة تظهر بشكل أقل تكرارًا في كل مرة.

الأعداد الأولية في الطبيعة

تظهر السيكادا أو السيكادا أو السيكادا التي تعيش في الشمال الشرقي للولايات المتحدة في دورات من 13 أو 17 عامًا. كلاهما أعداد أولية.

وبهذه الطريقة ، تتجنب السيكادا التزامن مع الحيوانات المفترسة أو المنافسين الذين لديهم فترات ولادة أخرى ، كما لا تتنافس الأنواع المختلفة من السيكادا مع بعضها البعض ، لأنها لا تتزامن خلال نفس العام.

الشكل 2. تظهر الزيز Magicicada في شرق الولايات المتحدة كل 13 إلى 17 عامًا. المصدر: Pxfuel.

الأعداد الأولية والتسوق عبر الإنترنت

تُستخدم الأرقام الأولية في التشفير للحفاظ على سرية تفاصيل بطاقة الائتمان عند إجراء عمليات شراء عبر الإنترنت. وبهذه الطريقة ، تصل البيانات التي يصل إليها المشتري إلى المتجر بدقة دون أن يضيع أو يقع في أيدي أشخاص عديمي الضمير.

كيف؟ يتم ترميز البيانات الموجودة على البطاقات برقم N يمكن التعبير عنه كمنتج للأعداد الأولية. هذه الأرقام الأولية هي المفتاح الذي تكشف عنه البيانات ، لكنها غير معروفة للجمهور ، ولا يمكن فك تشفيرها إلا على الويب التي يتم توجيهها إليها.

يعد تحليل الرقم إلى عوامل مهمة سهلة إذا كانت الأرقام صغيرة (انظر التدريبات التي تم حلها) ، ولكن في هذه الحالة يتم استخدام الأعداد الأولية المكونة من 100 رقم كمفتاح ، والتي عند ضربها تعطي أرقامًا أكبر بكثير ، والتي ينطوي تحليلها التفصيلي على مهمة ضخمة.

تمارين محلولة

- التمرين 1

قسّم 1029 إلى العوامل الأولية.

المحلول

1029 قابل للقسمة على 3. وهو معروف لأنه عند جمع أرقامه يكون المجموع مضاعفًا لـ 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12. نظرًا لأن ترتيب العوامل لا يغير المنتج ، يمكننا البدء من هناك:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

ومن ناحية أخرى 343 = 7 ³ ، ثم:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

وبما أن كلا من 3 و 7 عددان أوليان ، فهذا تحلل 1029.

- تمرين 2

حلل ثلاثي الحدود إلى عوامل x ² + 42x + 432.

المحلول

تتم إعادة كتابة ثلاثي الحدود بالصيغة (x + a). (x + b) وعلينا إيجاد قيم a و b ، مثل:

أ + ب = 42 ؛ أب = 432

يتحلل الرقم 432 إلى عوامل أولية ومن هناك يتم اختيار التركيبة المناسبة عن طريق التجربة والخطأ بحيث تعطي العوامل المضافة 42.

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 =…

من هنا توجد عدة احتمالات لكتابة 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72…

ويمكن إيجاد كل شيء من خلال الجمع بين حاصل الضرب بين العوامل الأولية ، ولكن لحل التمرين المقترح ، فإن التركيبة المناسبة الوحيدة هي: 432 = 24 × 18 منذ 24 + 18 = 42 ، ثم:

× ² + 42 × + 432 = (س + 24). (x +18)

المراجع

1. بالدور ، أ. 1986. الحساب النظري العملي. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
2. بي بي سي وورلد. قانون الطبيعة الخفي. تم الاسترجاع من: bbc.com.
3. دي ليون ، مانويل. الأعداد الأولية: حراس الإنترنت. تم الاسترجاع من: blogs.20minutos.es.
4. UNAM. نظرية الأعداد الأولى: النظرية الأساسية في الحساب. تم الاسترجاع من: teoriadenumeros.wikidot.com.
5. ويكيبيديا. النظرية الأساسية في الحساب. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.