تحويل فورييه المنفصل: الخصائص والتطبيقات والأمثلة - رياضيات - 2025

و منفصلة تحويل فورييه هو طريقة عددية تستخدم لتحديد العينات اشارة الى الترددات الطيفية التي تشكل إشارة. يدرس الوظائف الدورية في معلمات مغلقة ، مما ينتج عنه إشارة منفصلة أخرى.

من أجل الحصول على تحويل فورييه المنفصل لنقاط N ، على إشارة منفصلة ، يجب استيفاء الشرطين التاليين على تسلسل x

TDF

يمكن تعريف تحويل فورييه المنفصل على أنه أخذ عينات من نقطة N من تحويل فورييه.

تفسير تحويل فورييه المنفصل

المصدر: Pexels

هناك وجهتا نظر يمكن من خلالها تفسير النتائج التي تم الحصول عليها على تسلسل x _s من خلال تحويل فورييه المنفصل.

- الأول يتوافق مع المعاملات الطيفية ، المعروفة بالفعل من سلسلة فورييه. لوحظ في إشارات دورية منفصلة ، مع عينات متزامنة مع تسلسل x _s.

-الثاني يتعامل مع طيف إشارة غير دورية منفصلة ، مع عينات مطابقة للتسلسل x _s.

التحويل المنفصل هو تقريب لطيف الإشارة التناظرية الأصلية. تعتمد مرحلتها على لحظات أخذ العينات ، بينما يعتمد حجمها على فترة أخذ العينات.

الخصائص

تشكل الأسس الجبرية للهيكل الأساس المنطقي للأقسام التالية.

الخطية

ج. S _n → C. F؛ إذا تم ضرب تسلسل في عدد ، فسيكون تحويله أيضًا.

T _n + V _n = F + F ؛ تحويل المجموع يساوي مجموع التحويلات.

الازدواجية

F → (1 / N) S _{-k ؛} إذا تمت إعادة حساب تحويل فورييه المنفصل إلى تعبير تم تحويله بالفعل ، فسيتم الحصول على نفس التعبير ، ومقياسه في N وعكسه فيما يتعلق بالمحور الرأسي.

التفاف

السعي لتحقيق أهداف مماثلة كما في تحويل لابلاس ، يشير التفاف الوظائف إلى المنتج بين تحويلات فورييه. ينطبق الالتواء أيضًا على الأوقات المنفصلة وهو مسؤول عن العديد من الإجراءات الحديثة.

X _n * R _n → F.F ؛ إن تحويل الالتواء يساوي ناتج التحويلات.

X _ن. R _n → F * F ؛ تحويل المنتج يساوي التفاف التحويلات.

الإزاحة

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) كم} ؛ إذا تأخر التسلسل بواسطة عينات m ، فسيكون تأثيره على التحويل المنفصل بمثابة تعديل للزاوية المحددة بواسطة (2π / N) km.

تناظر

X _t = X * _t = X _t

تعديل

W ^-nm _N. س ↔ X _ر

المنتج

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

تناظر

X ↔ X _t = X * _t

المترافقة

س * ↔ X * _ر

معادلة بارسيفال

فيما يتعلق بتحويل فورييه التقليدي ، فإن له العديد من أوجه التشابه والاختلاف. يحول تحويل فورييه التسلسل إلى خط متصل. بهذه الطريقة يُقال أن نتيجة متغير فورييه هي دالة معقدة لمتغير حقيقي.

على عكس تحويل فورييه المنفصل ، يتلقى إشارة منفصلة ويحولها إلى إشارة منفصلة أخرى ، أي تسلسل.

ما هو تحويل فورييه المنفصل؟

إنها تعمل بشكل أساسي على تبسيط المعادلات بشكل كبير ، مع تحويل التعبيرات المشتقة إلى عناصر قوة. دلالة التعبيرات التفاضلية في أشكال كثيرة الحدود قابلة للتكامل

في تحسين النتائج وتعديلها ونمذجةها ، تعمل كتعبير موحد ، كونها موردًا متكررًا للهندسة بعد عدة أجيال.

المصدر: pixabay

التاريخ

تم تقديم هذا المفهوم الرياضي من قبل جوزيف ب. فورييه في عام 1811 ، أثناء تطوير أطروحة حول انتشار الحرارة. تم تبنيها بسرعة من قبل مختلف فروع العلوم والهندسة.

تم تأسيسها كأداة العمل الرئيسية في دراسة المعادلات ذات المشتقات الجزئية ، حتى مقارنتها بعلاقة العمل الحالية بين تحويل لابلاس والمعادلات التفاضلية العادية.

يجب أن تكون كل دالة يمكن العمل بها مع تحويل فورييه خالية خارج معلمة محددة.

تحويل فورييه المنفصل وعكسه

يتم الحصول على التحويل المنفصل من خلال التعبير:

بعد إعطاء تسلسل منفصل X

يتم تعريف معكوس تحويل فورييه المنفصل من خلال التعبير:

عكس PTO

بمجرد تحقيق التحويل المنفصل ، فإنه يسمح بتحديد التسلسل في المجال الزمني X.

مجنح

تكمن عملية البارامترات المقابلة لتحويل فورييه المنفصل في النافذة. لعمل التحويل يجب أن نحد من التسلسل الزمني. في كثير من الحالات ، لا تحتوي الإشارات المعنية على هذه القيود.

يمكن ضرب التسلسل الذي لا يفي بمعايير الحجم لتطبيقه على التحويل المنفصل بواسطة وظيفة "نافذة" V ، والتي تحدد سلوك التسلسل في معلمة مضبوطة.

X. الخامس

يعتمد عرض الطيف على عرض النافذة. كلما زاد عرض النافذة ، سيصبح التحويل المحسوب أضيق.

التطبيقات

حساب الحل الأساسي

يعتبر تحويل فورييه المنفصل أداة قوية في دراسة التسلسلات المنفصلة.

يحول فورييه المنفصل وظيفة متغيرة مستمرة إلى تحويل متغير منفصل.

تقدم مشكلة كوشي الخاصة بمعادلة الحرارة مجالًا متكررًا لتطبيق تحويل فورييه المنفصل . حيث يتم إنشاء الوظيفة الأساسية للحرارة أو نواة Dirichlet ، والتي تنطبق على قيم أخذ العينات في معلمة محددة.

نظرية الإشارة

يرجع السبب العام لتطبيق تحويل فورييه المنفصل في هذا الفرع أساسًا إلى التحلل المميز للإشارة كتراكب غير محدود لإشارات يمكن علاجها بسهولة أكبر.

يمكن أن تكون موجة صوتية أو موجة كهرومغناطيسية ، يعبر عنها تحويل فورييه المنفصل في تراكب موجات بسيطة. هذا التمثيل شائع جدًا في الهندسة الكهربائية.

سلسلة فورييه

وهي سلسلة محددة من حيث جيب التمام والجيب. أنها تعمل على تسهيل العمل مع الوظائف الدورية العامة. عند تطبيقها ، فهي جزء من تقنيات حل المعادلات التفاضلية العادية والجزئية.

تعتبر سلسلة فورييه أكثر عمومية من سلسلة تايلور ، لأنها تطور وظائف دورية متقطعة لا تحتوي على تمثيل متسلسل تايلور.

أشكال أخرى من سلسلة فورييه

لفهم تحويل فورييه تحليليًا ، من المهم مراجعة الطرق الأخرى التي يمكن من خلالها إيجاد سلسلة فورييه ، حتى نتمكن من تحديد سلسلة فورييه في تدوينها المعقد.

- سلسلة فورييه على دالة الفترة 2L:

يتم أخذ الفاصل الزمني في الاعتبار ، والذي يوفر مزايا عند الاستفادة من الخصائص المتماثلة للوظائف.

إذا كانت f تساوي ، فإن سلسلة فورييه تؤسس كسلسلة من جيب التمام.

إذا كانت f فردية ، يتم إنشاء سلسلة فورييه كسلسلة من الجيب.

- التدوين المركب لسلسلة فورييه

إذا كانت لدينا دالة f (t) ، والتي تلبي جميع متطلبات سلسلة فورييه ، فمن الممكن الإشارة إليها في الفترة باستخدام تدوينها المعقد:

أمثلة

فيما يتعلق بحساب الحل الأساسي ، يتم تقديم الأمثلة التالية:

من ناحية أخرى ، فيما يلي أمثلة على تطبيق تحويل فورييه المنفصل في مجال نظرية الإشارة:

-مشاكل تحديد النظام. أنشئت و و ز

- مشكلة في تناسق إشارة الخرج

-مشاكل تصفية الإشارة

تمارين

التمرين 1

احسب تحويل فورييه المنفصل للتسلسل التالي.

يمكنك تعريف PTO لـ x على النحو التالي:

X _t = {4، -j2، 0، j2} لـ k = 0 ، 1 ، 2 ، 3

تمرين 2

نريد تحديد الإشارة الطيفية المحددة بالتعبير x (t) = e ^{-t من} خلال خوارزمية رقمية. حيث يكون الحد الأقصى لمعامل طلب التردد f _m = 1Hz. يتوافق التوافقي مع f = 0.3 هرتز ، ويقتصر الخطأ على أقل من 5٪. احسب f _s و D و N.

مع الأخذ في الاعتبار نظرية أخذ العينات f _s = 2f _m = 2 Hz

يتم اختيار دقة تردد f ₀ = 0.1 هرتز ، والتي نحصل منها على D = 1 / 0.1 = 10s

0.3 هرتز هو التردد المقابل للدليل k = 3 ، حيث N = 3 × 8 = 24 عينة. مشيرا إلى أن f _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2

نظرًا لأن الهدف هو الحصول على أقل قيمة ممكنة لـ N ، يمكن اعتبار القيم التالية كحل:

f ₀ = 0.3 هرتز

د = 1 / 0.3 = 3.33 ثانية

ك = 1

العدد = 1 × 8 = 8

المراجع

1. إتقان تحويل فورييه المنفصل بأبعاد واحدة أو ثنائية أو متعددة: المزالق والتحف. إسحاق عميدرور. Springer Science & Business Media ، 19 يوليو. 2013
2. DFT: دليل المالكين لتحويل فورييه المنفصل. وليام بريجز ، فان إمدن هنسون. SIAM ، 1 يناير. تسعة عشر خمسة وتسعين
3. معالجة الإشارات الرقمية: النظرية والتطبيق. D. Sundararajan. العالم العلمي ، 2003
4. التحولات والخوارزميات السريعة لتحليل الإشارات والتمثيلات. جوان بي ، يونغهونغ تسنغ. Springer Science & Business Media ، 6 ديسمبر. 2012
5. تحولات فورييه المنفصلة والمستمرة: التحليل والتطبيقات والخوارزميات السريعة. إليانور تشو. مطبعة CRC ، مارس 19. 2008