المشتق العكسي: الصيغ والمعادلات ، الأمثلة ، التمارين - رياضيات - 2025

و مشتق عكسي يسمى F (خ) وظيفة و (خ) أيضا البدائي أو ببساطة لا يتجزأ إلى أجل غير مسمى وظيفة قال، إذا كان في I فترة معينة، ويتحقق أن F'(س) = و (خ)

على سبيل المثال ، لنأخذ الوظيفة التالية:

و (س) = 4x ³

المشتق العكسي لهذه الدالة هو F (x) = x ⁴ ، لأنه عند اشتقاق F (x) باستخدام قاعدة الاشتقاق للقوى:

نحصل بالضبط على f (x) = 4x ³.

ومع ذلك ، فهذه ليست سوى واحدة من العديد من المشتقات العكسية لـ f (x) ، لأن هذه الوظيفة الأخرى: G (x) = x ⁴ + 2 هي أيضًا ، لأنه عند التفريق بين G (x) بالنسبة إلى x ، يتم الحصول على نفس الشيء ظهر f (x).

دعونا التحقق من ذلك:

تذكر أن مشتق الثابت هو 0. لذلك ، يمكننا إضافة أي ثابت للحد x ⁴ ومشتقته ستبقى 4x ³.

نخلص إلى أن أي دالة للصيغة العامة F (x) = x ⁴ + C ، حيث C هو ثابت حقيقي ، تعمل كمشتق عكسي لـ f (x).

يمكن التعبير عن المثال التوضيحي أعلاه على النحو التالي:

dF (x) = 4x ³ dx

يتم التعبير عن التكامل العكسي أو غير المحدود بالرمز ∫ ، لذلك:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

حيث تسمى الدالة f (x) = 4x ³ التكامل ، و C هي ثابت التكامل.

أمثلة على المشتقات العكسية

الشكل 1. المشتقة العكسية ليست أكثر من تكامل غير محدد. المصدر: Pixabay.

يكون العثور على المشتق العكسي للدالة أمرًا سهلاً في بعض الحالات التي تكون فيها المشتقات معروفة جيدًا. على سبيل المثال ، دع الدالة f (x) = sin x ، المشتق العكسي لها هي دالة أخرى F (x) ، بحيث نحصل على f (x) عند التفريق بينها.

يمكن أن تكون هذه الوظيفة:

F (x) = - cos x

دعنا نتحقق من صحة ذلك:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

لذلك يمكننا أن نكتب:

∫sen x dx = -cos x + C.

بالإضافة إلى معرفة المشتقات ، توجد بعض قواعد التكامل الأساسية والبسيطة لإيجاد المشتق العكسي أو التكامل غير المحدد.

لنفترض أن k ثابتًا حقيقيًا ، ثم:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

إذا كان من الممكن التعبير عن دالة h (x) على أنها إضافة أو طرح وظيفتين ، فإن تكاملها غير المحدد هو:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

هذه هي خاصية الخطية.

يمكن تأسيس قاعدة قوى التكاملات بهذه الطريقة:

بالنسبة لحالة n = -1 ، يتم استخدام القاعدة التالية:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C.

من السهل إظهار أن مشتق ln x هو بالضبط x ^-1.

المعادلات التفاضلية

المعادلة التفاضلية هي المعادلة التي يوجد فيها المجهول كمشتق.

الآن ، من التحليل السابق ، من السهل أن ندرك أن العملية العكسية للمشتق هي المشتق العكسي أو التكامل غير المحدد.

دع f (x) = y´ (x) ، أي مشتق دالة معينة. يمكننا استخدام الترميز التالي للإشارة إلى هذا المشتق:

يتبع على الفور ما يلي:

المجهول في المعادلة التفاضلية هو الدالة y (x) ، مشتقها f (x). لحلها ، تم دمج التعبير السابق على كلا الجانبين ، وهو ما يعادل تطبيق المشتق العكسي:

يتم حل التكامل الأيسر بواسطة قاعدة التكامل 1 ، مع k = 1 ، وبالتالي حل المجهول المطلوب:

وبما أن C ثابت حقيقي ، لمعرفة أي واحد مناسب في كل حالة ، يجب أن تحتوي العبارة على معلومات إضافية كافية لحساب قيمة C. وهذا يسمى الشرط الأولي.

سنرى أمثلة لتطبيق كل هذا في القسم التالي.

تمارين عكسية

- التمرين 1

طبق قواعد التكامل للحصول على المشتقات العكسية التالية أو التكاملات غير المحددة للدوال المعينة ، مما يبسط النتائج قدر الإمكان. من الملائم التحقق من النتيجة بالاشتقاق.

الشكل 2. تمارين المشتقات العكسية أو التكاملات المحددة. المصدر: Pixabay.

الاجابه على

نطبق القاعدة 3 أولاً ، لأن التكامل هو مجموع حدين:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

بالنسبة للتكامل الأول ، يتم تطبيق قاعدة القوة:

∫ DX = (س ² /2) + C ₁

في القاعدة التكاملية الثانية يتم تطبيق 1 ، حيث k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

والآن يتم إضافة النتائج. يتم تجميع الثابتين في واحد يسمى بشكل عام C:

∫ (س + 7) DX = (س ² /2) + 7X + C

الحل ب

عن طريق الخطية ، يتحلل هذا التكامل إلى ثلاثة تكاملات أبسط ، والتي سيتم تطبيق قاعدة القوة عليها:

∫ (x ^3/2 + x ² + 6) dx = ∫x ^3/2 dx + ∫x ² dx + ∫6 dx =

لاحظ أن ثابت التكامل يظهر لكل متكامل ، لكنهما يجتمعان في مكالمة واحدة C.

الحل ج

في هذه الحالة ، من الملائم تطبيق خاصية التوزيع الخاصة بالضرب لتطوير التكامل. ثم يتم استخدام قاعدة القوة لإيجاد كل متكامل على حدة ، كما في التمرين السابق.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

سيلاحظ القارئ الدقيق أن المصطلحين المركزيين متشابهان ، وبالتالي يتم تقليلهما قبل الدمج:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

الحل ه

تتمثل إحدى طرق حل التكامل في تطوير القوة ، كما حدث في المثال د. ومع ذلك ، نظرًا لأن الأس أعلى ، فمن المستحسن تغيير المتغير ، حتى لا تضطر إلى القيام بهذا التطوير الطويل.

تغيير المتغير كما يلي:

ش = س + 7

اشتقاق هذا التعبير لكلا الجانبين:

du = dx

يتم تحويل التكامل إلى أبسط باستخدام المتغير الجديد ، والذي يتم حله باستخدام قاعدة الأس:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

أخيرًا ، يعود التغيير للعودة إلى المتغير الأصلي:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- تمرين 2

يكون الجسيم في حالة سكون مبدئيًا ويتحرك على طول المحور السيني. يتم الحصول على تسارعها من أجل t> 0 من خلال الدالة a (t) = cos t. من المعروف أنه عند t = 0 ، يكون الموضع هو x = 3 ، كل ذلك بوحدات النظام الدولي. مطلوب إيجاد السرعة v (t) والموضع x (t) للجسيم.

المحلول

بما أن التسارع هو أول مشتق للسرعة بالنسبة للوقت ، فلدينا المعادلة التفاضلية التالية:

أ (ر) = v (ر) = كوس تي

إنه يتبع هذا:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

من ناحية أخرى ، نعلم أن السرعة بدورها مشتق من الموضع ، لذلك نعيد التكامل:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁) dt = ∫sen t dt + C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

يتم تحديد ثوابت التكامل من المعلومات الواردة في البيان. في المقام الأول ، تقول أن الجسيم كان في حالة سكون في البداية ، لذلك v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

ج ₁ = 0

ثم لدينا x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

وظائف السرعة والموضع هي بالتأكيد مثل هذا:

ت (ر) = الخطيئة ر

x (t) = - cos t + 4

المراجع

1. Engler، A. 2019. حساب التكامل. جامعة ليتورال الوطنية.
2. لارسون ، ر. 2010. حساب متغير. 9. الإصدار. ماكجرو هيل.
3. نصوص الرياضيات الحرة. المشتقات العكسية. تم الاسترجاع من: math.liibretexts.org.
4. ويكيبيديا. مضاد. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org.
5. ويكيبيديا. تكامل غير محدد. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.