المشتقات الجزئية: التدوين والأمثلة والتمارين المحلولة - رياضيات - 2026

و المشتقات الجزئية من وظيفة من عدة متغيرات هي تلك التي تحدد معدل التغير في وظيفة عند واحد من المتغيرات لديها اختلاف متناهية في الصغر، في حين لا تزال المتغيرات الأخرى دون تغيير.

لجعل الفكرة أكثر واقعية ، افترض حالة دالة من متغيرين: z = f (x، y). المشتق الجزئي للدالة f فيما يتعلق بالمتغير x يتم حسابه على أنه المشتق العادي بالنسبة إلى x ، ولكن مع أخذ المتغير y كما لو كان ثابتًا.

الشكل 1. الوظيفة f (x ، y) ومشتقاتها الجزئية ∂ _x f y ∂ _y f عند النقطة P. (وضعها R. Pérez مع geogebra)

تدوين المشتق الجزئي

يتم الإشارة إلى العملية المشتقة الجزئية للدالة f (x ، y) على المتغير x بأي من الطرق التالية:

في المشتقات الجزئية ، يتم استخدام الرمز ∂ (نوع من الحرف المستدير d يسمى أيضًا Jacobi's d) ، على عكس المشتق العادي للوظائف ذات المتغير الفردي حيث يتم استخدام الحرف d للمشتقة.

بشكل عام ، ينتج عن المشتق الجزئي لوظيفة متعددة المتغيرات ، فيما يتعلق بأحد متغيراتها ، وظيفة جديدة في نفس متغيرات الوظيفة الأصلية:

∂ _س و (س ، ص) = ز (س ، ص)

∂ _y f (x، y) = h (x، y).

حساب ومعنى المشتق الجزئي

لتحديد معدل التغيير أو ميل الوظيفة لنقطة معينة (س = أ ، ص = ب) في الاتجاه الموازي للمحور س:

1- تحسب الدالة ∂ _x f (x، y) = g (x، y) بأخذ المشتق العادي في المتغير x وترك المتغير y ثابتًا أو ثابتًا.

2- ثم يتم تعويض النقطة x = a و y = b حيث نريد معرفة معدل تغير الدالة في الاتجاه x:

{الميل في اتجاه x عند النقطة (أ ، ب)} = ∂ _× و (أ ، ب).

3- لحساب معدل التغير في الاتجاه y عند نقطة الإحداثي (أ ، ب) ، احسب أولاً ∂ _و f (x ، y) = h (x ، y).

4- ثم يتم استبدال النقطة (x = a، y = b) في النتيجة السابقة للحصول على:

{الميل في الاتجاه y عند النقطة (أ ، ب)} = ∂ _y و (أ ، ب)

أمثلة على المشتقات الجزئية

فيما يلي بعض الأمثلة على المشتقات الجزئية:

مثال 1

بالنظر إلى الوظيفة:

و (س ، ص) = -x ^ 2 - ص ^ 2 + 6

أوجد المشتقات الجزئية للدالة f بالنسبة إلى المتغير x والمتغير y.

المحلول:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

لاحظ أنه لحساب المشتق الجزئي للدالة f فيما يتعلق بالمتغير x ، تم تنفيذ المشتق العادي بالنسبة إلى x ، ولكن المتغير y أُخذ كما لو كان ثابتًا. وبالمثل ، في حساب المشتق الجزئي لـ f بالنسبة إلى y ، تم أخذ المتغير x كما لو كان ثابتًا.

الوظيفة f (x ، y) هي سطح يسمى بارابولويد كما هو موضح في الشكل 1 بلون مغرة.

مثال 2

أوجد معدل التغير (أو الميل) للدالة f (x ، y) من المثال 1 ، في اتجاه المحور X والمحور Y للنقطة (x = 1 ، y = 2).

الحل: لإيجاد الميل في اتجاهي x و y عند نقطة معينة ، عوض ببساطة بقيم النقطة في الدالة ∂ _x f (x، y) وفي الدالة ∂ _y f (x، y):

∂ _س و (1،2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _و f (1،2) = -2⋅ 2 = -4

يوضح الشكل 1 خط المماس (باللون الأحمر) للمنحنى المحدد بواسطة تقاطع الدالة f (x ، y) مع المستوى y = 2 ، وميل هذا الخط هو -2. يوضح الشكل 1 أيضًا خط المماس (باللون الأخضر) للمنحنى الذي يحدد تقاطع الوظيفة f مع المستوى x = 1 ؛ هذا الخط لديه ميل -4.

تمارين

التمرين 1

يحتوي الزجاج المخروطي في وقت معين على الماء بحيث يكون سطح الماء نصف قطر r وعمق h. لكن الزجاج به ثقب صغير في القاع يُفقد الماء من خلاله بمعدل C سم مكعب في الثانية. أوجد معدل النزول من سطح الماء بالسنتيمتر في الثانية.

المحلول:

بادئ ذي بدء ، من الضروري أن نتذكر أن حجم الماء في اللحظة المعينة هو:

الحجم هو دالة لمتغيرين ، نصف القطر r والعمق h: V (r ، h).

عندما يتغير الحجم بمقدار متناهٍ في الصغر dV ، يتغير أيضًا نصف قطر r لسطح الماء وعمق h للمياه وفقًا للعلاقة التالية:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

ننتقل إلى حساب المشتقات الجزئية لـ V فيما يتعلق بـ r و h على التوالي:

∂ _r V = ∂ _r (⅓ π r ^ 2 h) = ⅔ π rh

∂ _ح V = ∂ _ح (⅓ π ص ^ 2 ح) = ⅓ π ص ^ 2

علاوة على ذلك ، يلتقي نصف القطر r والعمق h بالعلاقة التالية:

قسمة كلا العضوين على فارق الوقت dt يعطي:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

لكن dV / dt هو حجم الماء المفقود لكل وحدة زمنية يُعرف أنها C سم في الثانية ، بينما dh / dt هو معدل نزول سطح الماء الحر ، والذي سيطلق عليه v. أي أن سطح الماء في اللحظة المعينة ينخفض ​​بسرعة v (سم / ث) معطى بواسطة:

ت = C / (π ص ^ 2).

كتطبيق عددي ، افترض أن r = 3 سم ، ع = 4 سم ، ومعدل التسرب C هو 3 سم ^ 3 / ثانية. ثم تكون سرعة هبوط السطح في تلك اللحظة هي:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0.11 سم / ثانية = 1.1 مم / ثانية.

تمرين 2

تنص نظرية Clairaut-Schwarz على أنه إذا كانت الوظيفة مستمرة في متغيراتها المستقلة وكانت مشتقاتها الجزئية فيما يتعلق بالمتغيرات المستقلة متصلة أيضًا ، فيمكن عندئذٍ تبادل المشتقات المختلطة من الدرجة الثانية. تحقق من هذه النظرية للوظيفة

f (x، y) = x ^ 2 y أي يجب أن يكون صحيحًا أن f _xy f = ∂ _yx f.

المحلول:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) بينما ∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _س و = 2 س ص ؛ ∂ _ص و = س ^ 2

∂ _{س ص} و = ∂ _س (∂ _ص و) = 2 س

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

تم إثبات صحة نظرية شوارتز ، لأن الدالة f ومشتقاتها الجزئية متصلة لجميع الأعداد الحقيقية.

المراجع

1. فرانك أيريس ، ج. ، ومندلسون إي (2000). الحساب 5ed. ماك جراو هيل.
2. ليثولد ، إل (1992). الحساب مع الهندسة التحليلية. HARLA، SA
3. بورسيل ، EJ ، Varberg ، D. ، & Rigdon ، SE (2007). عملية حسابية. المكسيك: تعليم بيرسون.
4. ساينز ، ج. (2005). التفاضل والتكامل. الوتر.
5. ساينز ، ج. (2006). حساب التكامل. الوتر.
6. ويكيبيديا. اشتقاق جزئي. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com