ENEAGON: الخصائص ، وكيفية صنع ENEAGON ، أمثلة - رياضيات

إن enegon هو مضلع به تسعة جوانب وتسعة رؤوس ، والتي قد تكون أو لا تكون منتظمة. يأتي اسم eneágono من اليونانية ويتكون من الكلمات اليونانية ennea (تسعة) و gonon (زاوية).

الاسم البديل للمضلع ذو الجوانب التسعة هو nonagon ، والذي يأتي من الكلمة اللاتينية nonus (تسعة) و gonon (قمة الرأس). من ناحية أخرى ، إذا كانت جوانب أو زوايا eneagon غير متساوية مع بعضها البعض ، فعندئذ يكون لديك eneagon غير منتظم. من ناحية أخرى ، إذا كانت جميع الجوانب التسعة والزوايا التسع من eneagon متساوية ، فهذا يعني أن eneagon عادي.

الشكل 1. eneagon العادية و eneagon غير النظامية. (تفصيل خاص)

خصائص eneagon

بالنسبة للمضلع الذي يحتوي على عدد أضلاع n ، يكون مجموع زواياه الداخلية هو:

(ن - 2) * 180 درجة

في enegon سيكون n = 9 ، وبالتالي فإن مجموع زواياه الداخلية هو:

ص = (9-2) * 180 درجة = 7 * 180 درجة = 1260 درجة

في أي مضلع ، يكون عدد الأقطار:

D = n (n - 3) / 2 وفي حالة enegon ، بما أن n = 9 ، لدينا إذن D = 27.

enegon منتظم

في eneagon أو nonagon العادي ، توجد تسع (9) زوايا داخلية متساوية القياس ، وبالتالي فإن كل زاوية تقيس تسعًا من المجموع الكلي للزوايا الداخلية.

إذن ، قياس الزوايا الداخلية لإيجون هو 1260º / 9 = 140º.

الشكل 2. Apothem ، ونصف القطر ، والجوانب ، والزوايا ، والرؤوس من eneagon العادية. (تفصيل خاص)

لاشتقاق الصيغة الخاصة بمنطقة enegon العادي مع الجانب d ، من الملائم عمل بعض التركيبات المساعدة ، مثل تلك الموضحة في الشكل 2.

تم العثور على المركز O عن طريق تتبع منصف ضلعين متجاورين. المركز O على مسافة متساوية من الرؤوس.

نصف قطر الطول r هو القطعة من المركز O إلى رأس enegon. يوضح الشكل 2 نصف قطر OD و OE للطول r.

القصيدة هي القطعة التي تنتقل من المركز إلى نقطة المنتصف في جانب واحد من الإنغون. على سبيل المثال ، OJ هو حرف صغير طوله a.

منطقة من enegon معروفة بالجانب و apothem

نعتبر المثلث ODE في الشكل 2. مساحة هذا المثلث هي حاصل ضرب قاعدته DE والارتفاع OJ مقسومًا على 2:

منطقة ODE = (DE * OJ) / 2 = (d * a) / 2

نظرًا لوجود 9 مثلثات متساوية في المنطقة ، فقد استنتج أن مساحة المثلثات هي:

منطقة انيجون = (9/2) (د * أ)

منطقة من الجانب المعروف enegon

إذا كان طول أضلاع enegon معروفًا فقط ، فمن الضروري إيجاد طول الحرف من أجل تطبيق الصيغة في القسم السابق.

نحن نعتبر المثلث الأيمن OJE في J (انظر الشكل 2). إذا تم تطبيق نسبة الظل المثلثية ، نحصل على:

تان (∡ OEJ) = OJ / EJ.

الزاوية ∡OEJ = 140º / 2 = 70º ، نظرًا لأن EO هو منصف الزاوية الداخلية للإيجون.

من ناحية أخرى ، فإن OJ هو حقل طوله a.

بعد ذلك ، نظرًا لأن J هي نقطة منتصف ED ، فإنه يتبع ذلك EJ = d / 2.

استبدال القيم السابقة في علاقة الظل لدينا:

تان (70º) = أ / (د / 2).

الآن نقوم بتنظيف طول الصيدلة:

أ = (د / 2) تان (70º).

يتم استبدال النتيجة السابقة في صيغة المنطقة للحصول على:

مساحة enegon = (9/2) (d * a) = (9/2) (d * (d / 2) tan (70º))

أخيرًا ، نجد الصيغة التي تسمح بالحصول على مساحة enegon العادي إذا كان الطول d من أضلاعه معروفًا فقط:

مساحة enegon = (9/4) d ² tan (70º) = 6.1818 d ²

يعرف محيط enegon المنتظم جانبه

محيط المضلع هو مجموع أضلاعه. في حالة enegon ، حيث يقيس كل جانب طول d ، سيكون محيطه مجموع تسعة في d ، أي:

المحيط = 9 د

محيط enegon يعرف نصف قطره

بالنظر إلى المثلث الأيمن OJE في J (انظر الشكل 2) ، يتم تطبيق نسبة جيب التمام المثلثي:

كوس (∡ OEJ) = EJ / OE = (د / 2) / ص

من أين يتم الحصول عليها من:

د = 2r كوس (70º)

بالتعويض عن هذه النتيجة ، نحصل على صيغة المحيط كدالة لنصف قطر enegon:

المحيط = 9 d = 18 r cos (70º) = 6.1564 r

كيفية عمل enegon منتظم

1- لبناء eneagon منتظم ، بمسطرة وبوصلة ، يبدأ من المحيط c الذي يحيط بال eneagon. (انظر الشكل 3)

2- يتم رسم خطين متعامدين من خلال مركز O للمحيط. ثم يتم تمييز التقاطعات A و B لأحد الخطوط بالمحيط.

3- مع تمركز البوصلة عند التقاطع B والفتحة تساوي نصف القطر BO ، يتم رسم قوس يعترض المحيط الأصلي عند نقطة C.

الشكل 3. خطوات لبناء enegon منتظم. (تفصيل خاص)

4- تتكرر الخطوة السابقة ولكن بعمل مركز عند A ونصف قطر AO ، يتم رسم قوس يقطع المحيط c عند النقطة E.

5- مع الفتح AC والمركز في A ، يتم رسم قوس محيط. وبالمثل مع فتح BE والوسط B يتم رسم قوس آخر. تم وضع علامة على تقاطع هذين القوسين كنقطة G.

6- بالتوسيط عند G وفتح GA ، يتم رسم قوس يعترض المحور الثانوي (أفقيًا في هذه الحالة) عند النقطة H. يتم تمييز تقاطع المحور الثانوي مع المحيط الأصلي c على أنه I.

7- طول القطعة IH يساوي طول d من ضلع enegon.

8- مع فتح البوصلة IH = d ، يتم رسم أقواس المركز A نصف القطر AJ والمركز J نصف القطر AK والمركز K نصف القطر KL والمركز L نصف القطر LP على التوالي.

9- وبالمثل ، بدءًا من A ومن الجانب الأيمن ، يتم رسم أقواس نصف قطرها IH = d لتمييز النقاط M و N و C و Q على المحيط الأصلي c.

10- أخيرًا يتم رسم المقاطع AJ و JK و KL و LP و AM و MN و NC و CQ وأخيرًا PB.

وتجدر الإشارة إلى أن طريقة البناء ليست دقيقة تمامًا ، حيث يمكن التحقق من أن الجانب الأخير PB أطول بنسبة 0.7٪ من الجوانب الأخرى. حتى الآن ، لا توجد طريقة معروفة لبناء المسطرة والبوصلة بدقة 100٪.

أمثلة

فيما يلي بعض الأمثلة العملية.

مثال 1

نريد بناء enegon منتظم طول ضلعه 2 سم. ما هو نصف القطر الذي يجب أن يكون له المحيط الذي يحيط به ، بحيث يتم الحصول على النتيجة المرجوة بتطبيق البناء الموصوف سابقًا؟

في قسم سابق ، تم استنتاج الصيغة التي تربط نصف قطر الدائرة المحصورة بالجانب d من المنطقة العادية:

د = 2r كوس (70º)

حل لـ r من التعبير السابق لدينا:

ص = د / (2 كوس (70º)) = 1.4619 * د

بالتعويض عن القيمة d = 2 cm في الصيغة السابقة ، نحصل على نصف قطر r يبلغ 2.92 cm.

مثال 2

ما مساحة enegon منتظم ضلع 2 سم؟

للإجابة على هذا السؤال ، يجب أن نشير إلى الصيغة ، الموضحة سابقًا ، والتي تتيح لنا إيجاد مساحة enegon معروف بطول d من جانبه: