مبدأ أرخميدس: الصيغة ، الدليل ، التطبيقات - جسدي - بدني - 2025

و أرخميدس " من حيث المبدأ على أن هيئة مغمورة كليا أو جزئيا، يتلقى قوة صاعدة العمودية دعا التوجه، الذي هو ما يعادل وزن حجم السائل النازحين من قبل الهيئة.

بعض الأجسام تطفو في الماء ، والبعض الآخر يغرق ، والبعض الآخر يغرق جزئيًا. لإغراق كرة الشاطئ ، من الضروري بذل جهد ، لأنه يتم على الفور إدراك تلك القوة التي تحاول إعادتها إلى السطح. بدلاً من ذلك ، تغرق كرة معدنية بسرعة.

الشكل 1. البالونات العائمة: مبدأ أرخميدس في العمل. المصدر: Pixabay.

من ناحية أخرى ، تبدو الأجسام المغمورة أخف وزنًا ، لذلك هناك قوة يمارسها السائل معارضة للوزن. لكنها لا تستطيع دائمًا تعويض الجاذبية بشكل كامل. وعلى الرغم من أنه يتضح أكثر مع الماء ، إلا أن الغازات قادرة أيضًا على إنتاج هذه القوة على الأشياء المغمورة فيها.

التاريخ

كان أرخميدس من سيراكيوز (287-212 قبل الميلاد) هو الشخص الذي لا بد أنه اكتشف هذا المبدأ ، لكونه أحد أعظم العلماء في التاريخ. يقال أن الملك هيرو الثاني ملك سيراكيوز أمر صائغًا بصنع تاج جديد له ، وأعطاه من أجله كمية معينة من الذهب.

أرخميدس

عندما حصل الملك على التاج الجديد ، كان الوزن الصحيح ، لكنه اشتبه في أن الصائغ خدعه بإضافة الفضة بدلاً من الذهب. كيف يمكن أن يثبت ذلك دون تدمير التاج؟

دعا هييرو أرخميدس ، الذي اشتهرت سمعته كعالم ، لمساعدته في حل المشكلة. تقول الأسطورة أن أرخميدس كان مغمورًا في حوض الاستحمام عندما وجد الإجابة ، وكانت هذه هي انفعالاته ، حيث ركض عارياً في شوارع سيراكيوز بحثًا عن الملك ، وصرخ "يوريكا" ، مما يعني "لقد وجدته".

ماذا وجد أرخميدس؟ حسنًا ، عند الاستحمام ، ارتفع منسوب الماء في حوض الاستحمام عندما دخل ، مما يعني أن الجسم المغمور يزيح كمية معينة من السائل.

وإذا غمر التاج في الماء ، فيجب أن يزيح هذا أيضًا حجمًا معينًا من الماء إذا كان التاج مصنوعًا من الذهب وأخرى أخرى إذا كان مصنوعًا من سبيكة من الفضة.

معادلة

تُعرف قوة الرفع التي يشير إليها مبدأ أرخميدس بالدفع الهيدروستاتيكي أو قوة الطفو ، وكما قلنا ، فهي تساوي وزن حجم السائل الذي أزاحه الجسم عند غمره.

الحجم المُزاح يساوي حجم الجسم المغمور كليًا أو جزئيًا. نظرًا لأن وزن أي شيء هو mg ، وكتلة السائل هي الكثافة x الحجم ، مما يشير إلى حجم الدفع كـ B ، لدينا رياضيًا:

B = m _السائل xg = كثافة السائل x الحجم المغمور x الجاذبية

B = ρ _السائل x V _{المغمور} xg

حيث يشير الحرف اليوناني ρ ("rho") إلى الكثافة.

الوزن الظاهر

يتم حساب وزن الأشياء باستخدام تعبير mg المألوف ، ومع ذلك تبدو الأشياء أخف عند غمرها في الماء.

الوزن الظاهر لجسم ما هو ما يكون عند غمره في الماء أو سائل آخر ومعرفة ذلك ، يمكن الحصول على حجم جسم غير منتظم مثل تاج الملك هييرو ، كما سنرى أدناه.

للقيام بذلك ، يتم غمرها بالكامل في الماء وتوصيلها بسلسلة متصلة بمقياس ديناميكي - وهي أداة مزودة بزنبرك يستخدم لقياس القوى. كلما زاد وزن الجسم ، زاد استطالة الزنبرك ، والذي يتم قياسه على المقياس المقدم في الجهاز.

الشكل 2. الوزن الظاهر لجسم مغمور. المصدر: إعداد F. Zapata.

تطبيق قانون نيوتن الثاني مع العلم أن الجسم في حالة سكون:

ΣF _y = B + T - W = 0

الوزن الظاهر W _a يساوي الشد في الوتر T:

بما أن الدفع يعوض الوزن ، نظرًا لأن الجزء السائل في حالة راحة ، إذن:

ويترتب على هذا التعبير أن الدفع يرجع إلى اختلاف الضغط بين الوجه العلوي للأسطوانة والوجه السفلي. منذ W = mg = ρ سائل. V. g ، يجب أن:

وهو بالضبط التعبير عن الاتجاه المذكور في القسم السابق.

التطبيقات

يظهر مبدأ أرخميدس في العديد من التطبيقات العملية ، من بينها:

- البالون الهوائي. والتي ، بسبب متوسط ​​كثافتها أقل من كثافة الهواء المحيط ، تطفو فيها بسبب قوة الدفع.

- السفن. بدن السفن أثقل من الماء. ولكن إذا أخذنا في الاعتبار الهيكل كله بالإضافة إلى الهواء بداخله ، فإن النسبة بين الكتلة الكلية والحجم أقل من نسبة الماء وهذا هو سبب تطفو السفن.

- سترات النجاة. كونها مصنوعة من مواد خفيفة الوزن ومسامية ، فهي قادرة على الطفو لأن نسبة الكتلة إلى الحجم أقل من نسبة الماء.

- العوامة لإغلاق صنبور ملء خزان المياه. إنها كرة كبيرة الحجم مليئة بالهواء وتطفو على الماء ، مما يتسبب في قوة الدفع - مضروبة في تأثير الرافعة - لإغلاق غطاء صنبور ملء خزان المياه عند وصوله إلى المستوى مجموع.

أمثلة

مثال 1

تقول الأسطورة أن الملك هييرو أعطى الصائغ كمية معينة من الذهب لصنع تاج ، لكن الملك الذي لا يثق في نفسه اعتقد أن الصائغ ربما يكون قد خدع بوضع معدن أقل قيمة من الذهب داخل التاج. لكن كيف يمكنه أن يعرف دون تدمير التاج؟

عهد الملك بالمشكلة إلى أرخميدس ، وبحثا عن الحل اكتشف مبدأه الشهير.

لنفترض أن الهالة تزن 2.10 كجم-فهرنهايت في الهواء و 1.95 كجم-فهرنهايت عند غمرها بالكامل في الماء. في هذه الحالة هل يوجد خداع أم لا؟

الشكل 5. رسم تخطيطي للجسم الحر لتاج الملك هيرون. المصدر: إعداد F. Zapata

يظهر الرسم البياني للقوى في الشكل أعلاه. هذه القوى هي: الوزن P للتاج ، الدفع E والتوتر T للحبل المتدلي من الميزان.

يُعرف P = 2.10 kg-f و T = 1.95 kg-f ، ويبقى تحديد حجم الدفع E:

من ناحية أخرى ، وفقًا لمبدأ أرخميدس ، فإن الدفع E يعادل وزن الماء المزاح من الفضاء الذي يشغله التاج ، أي كثافة الماء مضروبة في حجم التاج بسبب تسارع الجاذبية:

من حيث يمكن حساب حجم التاج:

كثافة التاج هي الحاصل بين كتلة التاج من الماء وحجمه:

يمكن تحديد كثافة الذهب الخالص عن طريق إجراء مماثل وتكون النتيجة 19300 كجم / م ^ 3.

بمقارنة الكثافتين يتضح أن التاج ليس من الذهب الخالص!

مثال 2

استنادًا إلى البيانات ونتائج المثال 1 ، يمكن تحديد مقدار الذهب الذي سرقه الصائغ في حالة استبدال هذا الجزء من الذهب بالفضة ، والتي تبلغ كثافتها 10500 كجم / م ^ 3.

سوف نسمي كثافة التاج ρc ، o كثافة الذهب و _p كثافة الفضة.

الكتلة الكلية للتاج هي:

M = ρc⋅V = ρo⋅Vo + _p ⋅Vp

الحجم الكلي للتاج هو حجم الفضة بالإضافة إلى حجم الذهب:

V = Vo + Vp ⇒ Vp = V - Vo

الاستعاضة في المعادلة عن الكتلة هي:

ρc⋅V = ρo⋅Vo + _p ⋅ (V - Vo) ⇒ (ρo - ρ _p) Vo = (ρc - _p) V

أي أن حجم الذهب Vo الذي يحتوي على تاج الحجم الكلي V هو:

Vo = V⋅ (c - ρ _p) / (ρo - _p) =…

… = 0.00015 م ^ 3 (14000-10500) / (19300-10500) = 0.00005966 م ^ 3

لإيجاد وزن الذهب الذي يحتويه التاج ، نقوم بضرب Vo في كثافة الذهب:

مو = 19300 * 0.00005966 = 1.1514 كجم

بما أن كتلة التاج 2.10 كجم ، فنحن نعلم أن 0.94858 كجم من الذهب قد سرقها الصائغ واستبدل بالفضة.

تمارين محلولة

التمرين 1

بالون الهيليوم الضخم قادر على إبقاء الشخص في حالة توازن (دون الصعود أو الهبوط).

افترض أن وزن الشخص مضافًا إليه السلة والحبال والبالون 70 كجم. ما هو حجم الهليوم المطلوب لحدوث ذلك؟ ما هو حجم البالون؟

المحلول

سنفترض أن الدفع ينتج بشكل أساسي عن حجم الهليوم وأن قوة الدفع لبقية المكونات صغيرة جدًا مقارنةً بالهيليوم الذي يشغل حجمًا أكبر بكثير.

في هذه الحالة ، ستكون هناك حاجة إلى حجم من الهيليوم قادر على توفير قوة دفع تبلغ 70 كجم + وزن الهيليوم.

الشكل 6. رسم تخطيطي للجسم الحر للبالون المملوء بالهيليوم. المصدر: إعداد F. Zapata.

الدفع هو نتاج حجم الهيليوم الذي يضاعف كثافة الهيليوم وتسارع الجاذبية. يجب أن يوازن هذا الدفع وزن الهيليوم بالإضافة إلى وزن البقية.

Da⋅V⋅g = Da⋅V⋅g + M⋅g

استنتج منه أن V = M / (Da - Dh)

V = 70 كجم / (1.25 - 0.18) كجم / م ^ 3 = 65.4 م ^ 3

وهذا يعني أن 65.4 متر مكعب من الهيليوم مطلوب عند الضغط الجوي حتى يتم رفعه.

إذا افترضنا وجود كرة كروية ، فيمكننا إيجاد نصف قطرها من العلاقة بين الحجم ونصف قطر الكرة:

V = (4/3) ⋅π⋅R ^ 3

من حيث R = 2.49 م. بمعنى آخر ، سيتطلب الأمر بالونًا بقطر 5 أمتار مملوءًا بالهيليوم.

تمرين 2

المواد ذات الكثافة الأقل من الماء تطفو فيه. افترض أن لديك بوليسترين (فلين أبيض) وخشب ومكعبات ثلج. كثافتها بالكيلوغرام لكل متر مكعب هي على التوالي: 20 و 450 و 915.

أوجد أي جزء من الحجم الكلي خارج الماء ومدى ارتفاعه فوق سطح الماء ، آخذًا 1000 كيلوجرام لكل متر مكعب على أنه كثافة الأخير.

المحلول

يحدث الطفو عندما يساوي وزن الجسم قوة الدفع بسبب الماء:

E = M⋅g

الشكل 7. رسم تخطيطي للجسم الحر لجسم مغمور جزئيًا. المصدر: إعداد F. Zapata.

الوزن هو كثافة الجسم Dc مضروبًا في حجمه V وفي تسارع الجاذبية g.

الدفع هو وزن السائل المزاح وفقًا لمبدأ أرخميدس ويتم حسابه بضرب كثافة الماء D في الحجم المغمور V 'وبتسارع الجاذبية.

هذا هو:

D⋅V'⋅g = Dc⋅V⋅g

مما يعني أن جزء الحجم المغمور يساوي الحاصل بين كثافة الجسم وكثافة الماء.

وهذا هو ، جزء الحجم المعلق (V '' / V) هو

إذا كان h هو الارتفاع المتدلي و L جانب المكعب ، فيمكن كتابة كسر الحجم على هذا النحو

لذا فإن نتائج المواد المطلوبة هي:

البوليسترين (الفلين الأبيض):

(ح / ل) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (20/1000) = 98٪ من الماء

خشب:

(ح / ل) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (450/1000) = 55٪ من الماء

جليد:

(ح / ل) = (V '' / V) = 1 - (Dc / D) = 1- (915/1000) = 8.5٪ من الماء

المراجع

1. باور ، دبليو 2011. فيزياء الهندسة والعلوم. المجلد 1. ماك جراو هيل. 417-455.
2. Cengel Y، Cimbala J. 2011. ميكانيكا الموائع. الأساسيات والتطبيقات. الطبعة الأولى. ماكجرو هيل.
3. فيغيروا ، د. (2005). السلسلة: فيزياء العلوم والهندسة. المجلد 4. السوائل والديناميكا الحرارية. حرره دوغلاس فيغيروا (USB). 1 - 42.
4. جايلز ، ر. 2010. ميكانيكا السوائل والمكونات الهيدروليكية. ماكجرو هيل.
5. ريكس ، 2011. أساسيات الفيزياء. بيرسون. 239-263.
6. Tippens ، P. 2011. الفيزياء: المفاهيم والتطبيقات. الإصدار السابع. ماكجرو هيل.