التناظر المحوري: الخصائص والأمثلة والتمارين - رياضيات - 2025

و التماثل المحوري هو عندما نقاط لتتزامن مع الرقم نقاط شخصية أخرى من قبل منصف التوالي تسمى محور التناظر. ويسمى أيضًا التناظر الشعاعي أو الدوراني أو الأسطواني.

عادة ما يتم تطبيقه في الأشكال الهندسية ، ولكن يمكن ملاحظته بسهولة في الطبيعة ، حيث توجد حيوانات مثل الفراشات أو العقارب أو الدعسوقة أو البشر تظهر التناظر المحوري.

يظهر التماثل المحوري في هذه الصورة لأفق مدينة تورنتو وانعكاسها في الماء. (المصدر: pixabay)

كيفية إيجاد التناظر المحوري

للعثور على التناظر المحوري P 'للنقطة P فيما يتعلق بخط (L) ، يتم تنفيذ العمليات الهندسية التالية:

1.- عمودي على الخط (L) الذي يمر بالنقطة P.

2.- قطع الخطين يحدد النقطة O.

3.- يتم قياس طول القطعة PO ، ثم يتم نسخ هذا الطول على الخط (PO) بدءًا من O في الاتجاه من P إلى O ، وتحديد النقطة P '.

4.- النقطة P 'هي التماثل المحوري للنقطة P فيما يتعلق بالمحور (L) ، حيث أن الخط (L) هو منصف القطعة PP' ، كونها O نقطة منتصف المقطع المذكور.

الشكل 1. النقطتان P و P "متماثلتان محوريًا مع محور (L) إذا كان المحور المذكور هو منصف للقطعة PP"

خصائص التناظر المحوري

- التناظر المحوري متساوي القياس ، أي يتم الحفاظ على مسافات الشكل الهندسي والتماثل المقابل لها.

- قياس الزاوية وتماثلها متساويان.

- التناظر المحوري لنقطة على محور التناظر هو النقطة نفسها.

- الخط المتماثل لخط موازٍ لمحور التناظر هو أيضًا خط موازٍ للمحور المذكور.

- الخط القاطع لمحور التناظر له كخط متماثل خط قاطع آخر يتقاطع بدوره مع محور التناظر عند نفس النقطة على الخط الأصلي.

- الصورة المتماثلة للخط هي خط آخر يشكل زاوية مع محور التناظر لنفس مقياس الخط الأصلي.

- الصورة المتماثلة لخط عمودي على محور التناظر هي خط آخر يتداخل مع الخط الأول.

- يشكل الخط وخطه المحوري المتماثل زاوية يكون منصفها محور التناظر.

الشكل 2. التناظر المحوري يحافظ على المسافات والزوايا.

أمثلة على التناظر المحوري

تعرض الطبيعة أمثلة وفيرة للتماثل المحوري. على سبيل المثال ، يمكنك رؤية تناسق الوجوه والحشرات مثل الفراشات والانعكاس على أسطح المياه الهادئة والمرايا أو أوراق النباتات ، من بين أشياء أخرى كثيرة.

الشكل 3. تعرض هذه الفراشة تماثلًا محوريًا بالقرب من الكمال. (المصدر: pixabay)

الشكل 4. وجه هذه الفتاة له تناظر محوري. (المصدر: pixabay)

تمارين التناظر المحوري

التمرين 1

لدينا مثلث الرؤوس أ ، ب ، ج ، إحداثياته ​​الديكارتية هي على التوالي أ = (2 ، 5) ، ب = (1 ، 1) وج = (3،3). أوجد الإحداثيات الديكارتية للمثلث المتماثل حول المحور ص (المحور الإحداثي).

الحل: إذا كانت النقطة P لها إحداثيات (x ، y) فإن تناظرها حول المحور الإحداثي (المحور Y) هو P '= (- x، y). بمعنى آخر ، فإن قيمة علامة إحداثياتها تتغير ، بينما تظل قيمة الإحداثي كما هي.

في هذه الحالة ، سيكون للمثلث المتماثل ذي الرؤوس A 'و B' و C 'إحداثيات:

أ '= (- 2 ، 5) ؛ B '= (- 1، 1) and C' = (- 3، 3) كما يتضح من الشكل 6.

الشكل 6. إذا كانت نقطة ما لها إحداثيات (س ، ص) ، فإن تناظرها فيما يتعلق بالمحور ص (المحور الإحداثي) سيكون لها إحداثيات (س ، ص).

تمرين 2

بالإشارة إلى المثلث ABC والمثلث المتماثل A'B'C من التمرين 1 ، تحقق من أن الأضلاع المقابلة للمثلث الأصلي ومتماثلها لها نفس الطول.

الحل: لإيجاد مسافة أو طول الأضلاع ، نستخدم صيغة المسافة الإقليدية:

د (أ ، ب) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

طول الضلع المتماثل المقابل A'B 'محسوب أدناه:

د (أ '، ب') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

بهذه الطريقة ، يتم التحقق من أن التناظر المحوري يحافظ على المسافة بين نقطتين. يمكن تكرار الإجراء للجانبين الآخرين للمثلث وتماثله للتحقق من الثبات في الطول. على سبيل المثال -AC- = -A'C'- = √5 = 2،236.

التمرين 3

فيما يتعلق بالمثلث ABC والمثلث المتماثل A'B'C من التمرين 1 ، تحقق من أن الزوايا المقابلة للمثلث الأصلي ومماثله لهما نفس القياس الزاوي.

الحل: لتحديد قياسات الزاويتين BAC و B'A'C '، سنقوم أولاً بحساب الناتج القياسي للمتجهات AB مع AC ثم حاصل الضرب القياسي لـ A'B' مع A'C '.

تذكر أن:

أ = (2 ، 5) ، ب = (1 ، 1) ، ج = (3،3)

أ '= (- 2 ، 5) ؛ ب '= (- 1 ، 1) وج' = (- 3 ، 3).

لديها:

AB = <1-2 ، 1-5> و AC = <3-2 ، 3-5>

بالمثل

A'B ' = <-1 + 2، 1-5> و AC = <-3 + 2، 3-5>

ثم تم العثور على المنتجات العددية التالية:

AB⋅AC = <-1، -4> ⋅ <1، -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

بالمثل

A'B'⋅A'C ' = <1، -4> ⋅ <-1، -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

قياس الزاوية BAC هو:

∡BAC = ArcCos (AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC-)) =

ArcCos (7 / (4123⋅2،236)) = 40.6º

وبالمثل ، فإن قياس الزاوية B'A'C 'هو:

∡B'A'C '= ArcCos (A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'-)) =

ArcCos (7 / (4123⋅2،236)) = 40.6º

استنتاج أن التناظر المحوري يحافظ على قياس الزوايا.

التمرين 4

دع النقطة P تكون من الإحداثيات (أ ، ب). أوجد إحداثيات تماثله المحوري P 'بالنسبة إلى الخط y = x.

الحل: سنسمي (أ '، ب') إحداثيات النقطة المتماثلة P 'بالنسبة إلى الخط y = x. نقطة الوسط M للجزء PP 'لها إحداثيات ((a + a') / 2 ، (b + b ') / 2) وهي أيضًا على السطر y = x ، وبالتالي فإن المساواة التالية تحمل:

أ + أ '= ب + ب'

من ناحية أخرى ، يحتوي الجزء PP 'على ميل -1 لأنه متعامد مع الخط y = x مع المنحدر 1 ، وبالتالي فإن المساواة التالية صحيحة:

ب - ب '= أ' -أ

بحل المعادلتين السابقتين أ "وب" ، يتم الاستنتاج أن:

أ '= بذلك ب' = أ.

أي ، بالنظر إلى النقطة P (a ، b) ، فإن تناظرها المحوري بالنسبة للخط y = x هو P '(b ، a).

المراجع

1. Arce M. ، Blázquez S وآخرون. تحولات الطائرة. تم الاسترجاع من: educationutmxli.files.wordpress.com
2. حساب cc. التناظر المحوري. تم الاسترجاع من: calculo.cc
3. سوبر بروف. التناظر المحوري. تم الاسترجاع من: superprof.es
4. ويكيبيديا. التناظر المحوري. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
5. ويكيبيديا. التماثل الدائري. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com