المتتاليات التربيعية: أمثلة ، قواعد وتمارين محلولة - رياضيات - 2025

تتكون التعاقب التربيعي ، من الناحية الرياضية ، من متواليات من الأرقام التي تتبع قاعدة حسابية معينة. من المثير للاهتمام معرفة هذه القاعدة لتحديد أي من شروط المتتالية.

تتمثل إحدى طرق القيام بذلك في تحديد الفرق بين مصطلحين متتاليين ومعرفة ما إذا كانت القيمة التي تم الحصول عليها تتكرر دائمًا. عندما يكون هذا هو الحال ، يُقال إنه تسلسل منتظم.

التسلسلات الرقمية هي طريقة لتنظيم تسلسل الأرقام. المصدر: pixabay.com

ولكن إذا لم تكرر نفسها ، فيمكنك محاولة فحص الفرق بين الاختلافات ومعرفة ما إذا كانت هذه القيمة ثابتة. إذا كان الأمر كذلك ، فهو تسلسل تربيعي.

أمثلة على المتواليات المنتظمة والتتابعات التربيعية

تساعد الأمثلة التالية في توضيح ما تم شرحه حتى الآن:

مثال على الخلافة المنتظمة

دع التسلسل S = {4، 7، 10، 13، 16، ……}

هذا التسلسل ، المشار إليه بواسطة S ، هو مجموعة أعداد لا نهائية ، في هذه الحالة من الأعداد الصحيحة.

يمكن ملاحظة أنه تسلسل منتظم ، لأنه يتم الحصول على كل مصطلح بإضافة 3 إلى المصطلح أو العنصر السابق:

4

4 + 3 = 7

+7 3 = 10

10+ 3 = 13

+13 3 = 16

بمعنى آخر: هذا التسلسل منتظم لأن الاختلاف بين الحد التالي والمصطلح السابق يعطي قيمة ثابتة. في المثال المعطى هذه القيمة هي 3.

التسلسلات المنتظمة التي يتم الحصول عليها عن طريق إضافة كمية ثابتة إلى المصطلح السابق تسمى أيضًا التدرجات الحسابية. والفرق - الثابت - بين المصطلحات المتتالية يسمى النسبة ويشار إليه بالرمز R.

مثال على التسلسل غير المنتظم والتربيعي

انظر الآن التسلسل التالي:

S = {2، 6، 12، 20، 30،….}

عند حساب الفروق المتتالية ، يتم الحصول على القيم التالية:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

اختلافاتهم ليست ثابتة ، لذلك يمكن القول إنها ليست تسلسلًا منتظمًا.

ومع ذلك ، إذا أخذنا في الاعتبار مجموعة الاختلافات ، فلدينا تسلسل آخر ، والذي سيتم الإشارة إليه على أنه S _فرق:

S _dif = {4، 6، 8، 10،….}

هذا التسلسل الجديد هو في الواقع تسلسل منتظم ، حيث يتم الحصول على كل مصطلح عن طريق إضافة القيمة الثابتة R = 2 إلى السابقة. لهذا السبب يمكننا أن نؤكد أن S هو تسلسل تربيعي.

قاعدة عامة لبناء تسلسل تربيعي

هناك صيغة عامة لبناء تسلسل تربيعي:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

في هذه الصيغة ، T _n هو الحد الموجود في الموضع n من المتتابعة. A و B و C قيم ثابتة ، بينما تختلف n واحدة تلو الأخرى ، أي 1 ، 2 ، 3 ، 4 ،…

في التسلسل S للمثال السابق A = 1 و B = 1 و C = 0. من هناك يتبع أن الصيغة التي تولد جميع المصطلحات هي: T _n = n ² + n

ذلك بالقول:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

م ₂ = 2 ² + 2 = 6

تي ₃ = 3 ² + 3 = 12

خ ₅ = 5 ² + 5 = 30

تي _ن = ن ² + ن

الفرق بين فترتين متتاليتين من التسلسل التربيعي

T _{n + 1} - T _n = -

تطوير التعبير من خلال المنتج الرائع يبقى:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B n - C

بتبسيطها تحصل على:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

هذه هي الصيغة التي تعطي سلسلة من الخلافات S _ديف التي يمكن كتابتها على هذا النحو:

فرق _ن = أ ∙ (2 ن + 1) + ب

حيث من الواضح أن المصطلح التالي هو 2 ∙ أحيانًا السابق. أي أن نسبة تسلسل الاختلافات S _فرق هي: R = 2 ∙ A.

حل مشاكل المتتاليات التربيعية

التمرين 1

دع التسلسل S = {1، 3، 7، 13، 21، ……}. حدد ما إذا كان:

ط) هل هو منتظم أم لا

ب) هل هو تربيعي أم لا

ج) كانت تربيعية ، تسلسل الاختلافات ونسبتها

الإجابات

ط) لنحسب الفرق بين الشروط التالية والمصطلحات السابقة:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

يمكننا أن نؤكد أن المتتالية S ليست منتظمة ، لأن الفرق بين الحدود المتتالية ليس ثابتًا.

ii) تسلسل الاختلافات منتظم ، لأن الفرق بين شروطه هو القيمة الثابتة 2. لذلك ، فإن التسلسل الأصلي S هو تربيعي.

ج) لقد قررنا بالفعل أن S تربيعية ، وتسلسل الاختلافات هو:

S _dif = {2، 4، 6، 8،…} ونسبتها هي R = 2.

تمرين 2

دع التسلسل S = {1، 3، 7، 13، 21، ……} من المثال السابق ، حيث تم التحقق من أنه تربيعي. تحديد:

ط) الصيغة التي تحدد المصطلح العام T _n.

ب) تحقق من المصطلحين الثالث والخامس.

ج) قيمة الحد العاشر.

الإجابات

i) الصيغة العامة لـ T _n هي A ∙ n ² + B ∙ n + C. ثم يبقى معرفة قيم A و B و C.

تسلسل الاختلافات له نسبة 2. علاوة على ذلك ، بالنسبة لأي تسلسل تربيعي ، تكون النسبة R هي 2 ∙ A كما هو موضح في الأقسام السابقة.

R = 2 ∙ A = 2 مما يقودنا إلى استنتاج أن A = 1.

المصطلح الأول لتسلسل الفروق S _Dif هو 2 ويجب أن يحقق A ∙ (2n + 1) + B ، مع n = 1 و A = 1 ، أي:

2 = 1 (2 ∙ 1 + 1) + ب

بحل B نحصل على: B = -1

إذن ، المصطلح الأول من S (n = 1) يساوي 1 ، أي: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. كما نعلم بالفعل أن A = 1 و B = -1 ، مع الاستبدال لدينا:

1 = 1 1 ² + (-1) ∙ 1 + ج

بحل C نحصل على قيمتها: C = 1.

باختصار:

أ = 1 ، ب = -1 ، ج = 1

إذن ، الحد n سيكون T _n = n ² - n + 1

ب) المصطلح الثالث T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 ويتم التحقق منه. الخامس T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21 والذي تم التحقق منه أيضًا.

ج) مدة عشر سيكون T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

التمرين 3

تسلسل مناطق التمرين 3. المصدر: شرح خاص.

يوضح الشكل سلسلة من خمسة أرقام. تمثل الشبكة وحدة الطول.

ط) تحديد تسلسل مساحة الأشكال.

ب) أظهر أنه تسلسل تربيعي.

ج) ابحث عن منطقة الشكل رقم 10 (غير معروضة).

الإجابات

ط) التسلسل S المقابل لمنطقة تسلسل الأشكال هو:

S = {0 ، 2 ، 6 ، 12 ، 20 ،….. }

2) التسلسل المقابل للاختلافات المتتالية لشروط S هو:

_فرق S = {2، 4، 6، 8 ،….. }

نظرًا لأن الفرق بين المصطلحات المتتالية ليس ثابتًا ، فإن S ليس تسلسلًا منتظمًا. يبقى أن نعرف ما إذا كانت تربيعية ، والتي من أجلها نقوم مرة أخرى بتسلسل الاختلافات ، والحصول على:

{2، 2، 2، …….}

نظرًا لتكرار جميع شروط التسلسل ، تم التأكيد على أن S هو تسلسل تربيعي.

iii) التسلسل S _dif منتظم ونسبته R هي 2. وباستخدام المعادلة الموضحة أعلاه R = 2 ∙ A ، يبقى:

2 = 2 ∙ A ، مما يعني أن A = 1.

المصطلح الثاني لتسلسل الفروق S _Dif هو 4 والحد التاسع من S _Dif هو

أ ∙ (2 ن + 1) + ب.

الحد الثاني له n = 2. بالإضافة إلى ذلك ، فقد تم بالفعل تحديد أن A = 1 ، لذلك باستخدام المعادلة السابقة والاستبدال ، لدينا:

4 = 1 (2 ∙ 2 + 1) + ب

بحل B ، نحصل على: B = -1.

من المعروف أن المصطلح الثاني لـ S يساوي 2 ، وأنه يجب أن يفي بصيغة المصطلح العام مع n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C ؛ ن = 2 ؛ أ = 1 ؛ ب = -1 ؛ تي ₂ = 2

ذلك بالقول

2 = 1 2 ² - 1 2 + ج

استنتج أن C = 0 ، أي أن الصيغة التي تعطي المصطلح العام للتسلسل S هي:

T _n = 1 ∙ n ^2-1 ∙ n +0 = n ² - n

الآن تم التحقق من الفترة الخامسة:

خ ₅ = 5 ^2-5 = 20

ج) الشكل رقم 10 ، الذي لم يتم رسمه هنا ، سيكون له المساحة المقابلة للمصطلح العاشر من التسلسل S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

المراجع

1. https://www.geogebra.org