في بولزانو نظرية تنص على أنه إذا وظيفة مستمرة في كل نقطة فاصل زمني مغلقة وهي مقتنعة بأن صورة "أ" و "ب" (في إطار مهمة) لديها علامات المعاكس، ثم سيكون هناك نقطة واحدة على الأقل " ج "في الفترة المفتوحة (أ ، ب) ، بحيث تكون الوظيفة المقيمة في" ج "مساوية للصفر.
أعلن الفيلسوف وعالم اللاهوت وعالم الرياضيات برنارد بولزانو هذه النظرية في عام 1850. هذا العالم المولود في جمهورية التشيك حاليًا ، كان من أوائل علماء الرياضيات في التاريخ الذين قدموا دليلًا رسميًا على خصائص الوظائف المستمرة.
تفسير
تُعرف نظرية بولزانو أيضًا باسم نظرية القيمة المتوسطة ، والتي تساعد في تحديد قيم محددة ، خاصة الأصفار ، لبعض الوظائف الحقيقية لمتغير حقيقي.
في دالة معينة ، تستمر f (x) - أي أن f (a) و f (b) متصلان بمنحنى ، حيث f (a) أسفل المحور x (يكون سالبًا) ، و f (b) بواسطة فوق المحور x (يكون موجبًا) ، أو العكس بالعكس ، من الناحية الرسومية ، ستكون هناك نقطة قطع على المحور x تمثل قيمة وسيطة «c» ، والتي ستكون بين «a» و «b» ، وقيمة f (c) سيساوي 0.
عند تحليل نظرية بولزانو بيانياً ، يمكن ملاحظة أنه لكل دالة مستمرة f محددة على فاصل زمني ، حيث f (a) * f (b) أقل من 0 ، سيكون هناك جذر واحد على الأقل «c» لهذه الوظيفة داخل من الفترة (أ ، ب).
لا تحدد هذه النظرية عدد النقاط في تلك الفترة المفتوحة ، ولكنها تنص فقط على وجود نقطة واحدة على الأقل.
برهنة
لإثبات نظرية بولزانو ، من المفترض دون فقدان العمومية أن f (a) <0 و f (b)> 0 ؛ وبالتالي ، يمكن أن يكون هناك العديد من القيم بين "a" و "b" والتي من أجلها f (x) = 0 ، لكن يجب إظهار قيمة واحدة فقط.
نبدأ بإيجاد قيمة f عند نقطة المنتصف (a + b) / 2. إذا كانت f ((a + b) / 2) = 0 فإن الإثبات ينتهي هنا ؛ بخلاف ذلك ، تكون f ((a + b) / 2) موجبة أو سلبية.
يتم اختيار أحد نصفي الفترة الزمنية ، بحيث تختلف إشارات الوظيفة التي يتم تقييمها عند الطرفين. سيكون هذا الفاصل الزمني الجديد.
الآن ، إذا لم تكن f التي تم تقييمها عند نقطة المنتصف تساوي صفرًا ، فسيتم تنفيذ نفس العملية السابقة ؛ أي ، يتم اختيار نصف هذه الفترة الزمنية التي تفي بشرط العلامات. دع هذا يكون الفاصل الزمني الجديد.
إذا تابعت هذه العملية ، فسيكون لديك تسلسلين {an} و {bn} ، مثل:
{an} يتزايد و {bn} يتناقص:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ مليار ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
إذا قمت بحساب طول كل فترة زمنية ، فسيتعين عليك:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
لذلك ، فإن النهاية عندما تقترب n من ما لا نهاية (bn-an) تساوي 0.
باستخدام هذا {an} يتزايد ويحد و {bn} يتناقص ويحد ، لدينا قيمة "c" مثل:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤….≤ c ≤…. ≤ مليار ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
الحد الأقصى لـ "c" والحد {bn} هو أيضًا "c". لذلك ، بالنظر إلى أي δ> 0 ، هناك دائمًا "n" بحيث يتم احتواء الفترة الزمنية داخل الفترة (c-δ ، c + δ).
الآن ، يجب توضيح أن f (c) = 0.
إذا كانت f (c)> 0 ، إذًا بما أن f متصلة ، فهناك ε> 0 بحيث تكون f موجبة خلال الفترة بأكملها (c - ε، c + ε). ومع ذلك ، كما ذكرنا سابقًا ، توجد قيمة "n" مثل تسجيل الدخول لـ f ، وعلاوة على ذلك ، يتم تضمينها في (c - ε، c + ε) ، وهو تناقض.
إذا كانت f (c) <0 ، إذًا بما أن f متصلة ، فهناك ε> 0 بحيث تكون f سالبة طوال الفترة (c - ε، c + ε) ؛ ولكن توجد قيمة "n" بحيث تقوم f بتسجيل الدخول. اتضح أنه موجود في (ج - ε ، ج + ε) ، وهو أيضًا تناقض.
لذلك ، f (c) = 0 وهذا ما أردنا إثباته.
لما هذا؟
من تفسيرها الرسومي ، تُستخدم نظرية بولزانو لإيجاد الجذور أو الأصفار في دالة متصلة ، من خلال التقريب (التقريب) ، وهي طريقة بحث تزايدي تقسم دائمًا الفترات على 2.
ثم يتم أخذ فاصل زمني أو حيث يحدث تغيير العلامة ، وتتكرر العملية حتى يصبح الفاصل الزمني أصغر وأصغر ، من أجل التمكن من الاقتراب من القيمة المطلوبة ؛ أي إلى القيمة التي تجعلها الدالة 0.
باختصار ، لتطبيق نظرية بولزانو وبالتالي إيجاد الجذور ، أو تحديد أصفار دالة أو إعطاء حل لمعادلة ، يتم تنفيذ الخطوات التالية:
- يتم التحقق مما إذا كانت f دالة مستمرة في الفترة.
- إذا لم يتم إعطاء الفاصل الزمني ، فيجب إيجاد المرء حيث تكون الوظيفة متصلة.
- يتم التحقق مما إذا كانت طرفي الفترة الزمنية تعطي إشارات معاكسة عند تقييمها في f.
- إذا لم يتم الحصول على إشارات معاكسة ، فيجب تقسيم الفاصل الزمني إلى فترتين فرعيتين باستخدام نقطة المنتصف.
- قم بتقييم الوظيفة عند نقطة المنتصف وتحقق من استيفاء فرضية Bolzano ، حيث f (a) * f (b) <0.
- اعتمادًا على علامة (إيجابية أو سلبية) للقيمة الموجودة ، تتكرر العملية بفاصل زمني جديد حتى يتم استيفاء الفرضية المذكورة أعلاه.
تمارين محلولة
التمرين 1
أوجد ما إذا كانت الدالة f (x) = x 2 - 2 بها حل حقيقي واحد على الأقل في الفترة.
المحلول
لدينا الدالة f (x) = x 2 - 2. نظرًا لأنها كثيرة الحدود ، فهذا يعني أنها متصلة في أي فترة.
يُطلب تحديد ما إذا كان هناك حل حقيقي في الفترة الزمنية ، لذلك من الضروري الآن استبدال طرفي الفترة الزمنية في الوظيفة لمعرفة علامة هذه ومعرفة ما إذا كانت تستوفي شرط الاختلاف:
و (س) = س 2 - 2
و (1) = 1 2 - 2 = -1 (السلبي)
و (2) = 2 2 - 2 = 2 (إيجابية)
لذلك ، علامة f (1) ≠ تسجيل f (2).
هذا يضمن وجود نقطة واحدة على الأقل "c" تنتمي إلى الفاصل الزمني ، حيث f (c) = 0.
في هذه الحالة ، يمكن حساب قيمة "c" بسهولة على النحو التالي:
× 2 - 2 = 0
س = ± √2.
وبالتالي ، √2 ≈ 1،4 ينتمي إلى الفترة الزمنية ويحقق ذلك f (√2) = 0.
تمرين 2
بيّن أن المعادلة x 5 + x + 1 = 0 بها حل حقيقي واحد على الأقل.
المحلول
لنلاحظ أولًا أن f (x) = x 5 + x + 1 دالة كثيرة الحدود ، مما يعني أنها متصلة على جميع الأعداد الحقيقية.
في هذه الحالة ، لا يتم إعطاء فاصل زمني ، لذلك يجب اختيار القيم بشكل حدسي ، ويفضل أن تكون قريبة من 0 ، لتقييم الوظيفة والعثور على تغييرات العلامة:
إذا كنت تستخدم الفاصل الزمني ، فيجب عليك:
و (س) = س 5 + س + 1.
و (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
و (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
نظرًا لعدم وجود تغيير في العلامة ، يتم تكرار العملية مع فترة زمنية أخرى.
إذا كنت تستخدم الفاصل الزمني ، فيجب عليك:
و (س) = س 5 + س + 1.
و (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
و (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
في هذه الفترة ، يوجد تغيير في العلامة: علامة f (-1) ≠ علامة f (0) ، مما يعني أن الوظيفة f (x) = x 5 + x + 1 لها جذر حقيقي واحد على الأقل «c» في الفترة الزمنية ، بحيث تكون f (c) = 0. بمعنى آخر ، صحيح أن x 5 + x + 1 = 0 لها حل حقيقي في الفترة.
المراجع
- برونشتاين الأول ، SK (1988). دليل الرياضيات للمهندسين والطلاب.. الافتتاحية MIR.
- جورج ، أ. (1994). الرياضيات والعقل. مطبعة جامعة أكسفورد.
- إلين الخامس ، بي إي (1991). التحليل الرياضي. في ثلاثة مجلدات..
- خيسوس جوميز ، إف جي (2003). معلمو التعليم الثانوي. المجلد الثاني. غاضب.
- ماتيوس ، ML (2013). الخصائص الأساسية للتحليل في R. Editores ، 20 ديسمبر.
- بيسكونوف ، ن. (1980). حساب التفاضل والتكامل..
- Sydsaeter K ، HP (2005). الرياضيات للتحليل الاقتصادي. فيليكس فاريلا.
- وليام إتش باركر ، RH (بدون تاريخ). التناظر المستمر: من إقليدس إلى كلاين. الشركة الأمريكية للرياضيات.