الفسيفساء: مميزة ، أنواع (منتظمة ، غير منتظمة) ، أمثلة - رياضيات - 2025

و tilings هي الأسطح المطلية واحد أو دعا معصرة بقطع المزيد من الأرقام. إنها موجودة في كل مكان: في الشوارع والمباني بجميع أنواعها. القطع الصغيرة أو البلاط عبارة عن قطع مسطحة ، بشكل عام مضلعات ذات نسخ متطابقة أو متساوية القياس ، يتم وضعها باتباع نمط منتظم. بهذه الطريقة لا توجد مسافات مكشوفة ولا تتداخل البلاط أو الفسيفساء.

في حالة استخدام نوع واحد من الفسيفساء يتكون من مضلع منتظم ، يكون هناك فسيفساء منتظمة ، ولكن إذا تم استخدام نوعين أو أكثر من المضلعات المنتظمة ، فسيكون ذلك فسيفساء شبه منتظمة.

الشكل 1. أرضية من البلاط ذات تغطية بالفسيفساء غير منتظمة ، لأن المستطيلات عبارة عن مضلعات غير منتظمة ، على الرغم من أن المربعات كذلك. المصدر: Pixabay.

أخيرًا ، عندما تكون المضلعات التي تكون أشكال التغطية بالفسيفساء غير منتظمة ، فإنها تكون بالفسيفساء غير منتظمة.

النوع الأكثر شيوعًا من التغطية بالفسيفساء هو الذي يتكون من الفسيفساء المستطيلة والمربعة بشكل خاص. في الشكل 1 لدينا مثال جيد.

تاريخ الفسيفساء

تم استخدام التغطية بالفسيفساء منذ آلاف السنين لتغطية أرضيات وجدران القصور والمعابد ذات الثقافات والأديان المختلفة.

على سبيل المثال ، استخدمت الحضارة السومرية التي ازدهرت حوالي 3500 قبل الميلاد جنوب بلاد ما بين النهرين ، بين نهري دجلة والفرات ، الفسيفساء في هندستها المعمارية.

الشكل 2. الفسيفساء السومرية عند بوابة Istar. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

أثارت الفسيفساء أيضًا اهتمام علماء الرياضيات من جميع الأعمار: بدءًا من أرخميدس في القرن الثالث قبل الميلاد ، تلاه يوهانس كيبلر في عام 1619 ، وكميل جوردان في عام 1880 ، إلى العصر الحديث مع روجر بنروز.

ابتكر بنروز تغطية بالفسيفساء غير دورية تعرف باسم التغطية بالفسيفساء بنروز. هذه مجرد أسماء قليلة من العلماء الذين ساهموا كثيرًا في التغطية بالفسيفساء.

الفسيفساء المنتظم

تصنع الفسيفساء المنتظمة بنوع واحد فقط من المضلعات المنتظمة. من ناحية أخرى ، لكي يتم اعتبار التغطية بالفسيفساء منتظمة ، يجب على كل نقطة في الطائرة:

- ينتمي إلى الجزء الداخلي من المضلع

- أو إلى حافة مضلعين متجاورين

- أخيرًا يمكن أن تنتمي إلى الرأس المشترك لثلاثة مضلعات على الأقل.

مع القيود المذكورة أعلاه ، يمكن إثبات أن المثلثات المتساوية الأضلاع والمربعات والسداسيات فقط هي التي يمكن أن تشكل فسيفساء منتظمة.

التسمية

هناك تسميات للدلالة على الفسيفساء التي تتكون من سرد في اتجاه عقارب الساعة ومفصولة بنقطة ، عدد جوانب المضلعات التي تحيط بكل عقدة (أو رأس) للفسيفساء ، تبدأ دائمًا بالمضلع ذي الرقم الأقل الجوانب.

تنطبق هذه التسمية على الفسيفساء العادية وشبه العادية.

مثال 1: التغطية بالفسيفساء المثلثة

يوضح الشكل 3 تغطية بالفسيفساء مثلثة منتظمة. تجدر الإشارة إلى أن كل عقدة في التغطية بالفسيفساء المثلثية هي الرأس المشترك لستة مثلثات متساوية الأضلاع.

إن طريقة الإشارة إلى هذا النوع من التغطية بالفسيفساء هي 3.3.3.3.3.3 ، والتي يُشار إليها أيضًا بالرمز 3 ⁶.

الشكل 3. التغطية بالفسيفساء المثلثة المنتظمة 3.3.3.3.3.3. المصدر: wikimedia commons

مثال 2: تغطية بالفسيفساء المربعة

يوضح الشكل 4 تغطية بالفسيفساء منتظمة تتكون فقط من مربعات. وتجدر الإشارة إلى أن كل عقدة في التغطية بالفسيفساء محاطة بأربعة مربعات متطابقة. الترميز المطبق على هذا النوع من التغطية بالفسيفساء المربعة هو: 4.4.4.4 أو بدلاً من ذلك 4 ⁴

الشكل 4. التغطية بالفسيفساء المربعة 4.4.4.4. المصدر: wikimedia commons.

مثال 3: التغطية بالفسيفساء السداسية

في الفسيفساء السداسية ، تُحاط كل عقدة بثلاثة أشكال سداسية منتظمة كما هو موضح في الشكل 5. التسمية للفسيفساء السداسية المنتظمة هي 6.6.6 أو 6 ³ بدلاً من ذلك.

الشكل 5. التغطية بالفسيفساء سداسية 6.6.6. المصدر: wikimedia commons.

الفسيفساء شبه المنتظمة

تتكون الفسيفساء شبه المنتظمة أو أرخميدس من نوعين أو أكثر من المضلعات المنتظمة. كل عقدة محاطة بأنواع المضلعات التي تتكون منها التغطية بالفسيفساء ، دائمًا بنفس الترتيب ، ويتم مشاركة حالة الحافة تمامًا مع الجار.

هناك ثمانية أشكال فسيفساء شبه منتظمة:

1. 3.6.3.6 (تغطية بالفسيفساء ثلاثية الأضلاع سداسية)
2. 3.3.3.3.6 (تغطية بالفسيفساء سداسية حادة)
3. 3.3.3.4.4 (بالفسيفساء المثلث الممدود)
4. 3.3.4.3.4 (بالفسيفساء مربع غير حاد)
5. 3.4.6.4 (التغطية بالفسيفساء المعينية ثلاثية السداسية)
6. 4.8.8 (تغطية بالفسيفساء المربعة المقطوعة)
7. 3.12.12 (تغطية بالفسيفساء سداسية مبتورة)
8. 4.6.12 (بالفسيفساء ثلاثي السداسي مبتور)

بعض الأمثلة على الفسيفساء شبه المنتظمة موضحة أدناه.

مثال 4: التغطية بالفسيفساء ثلاثية السداسية

إنه المثلث الذي يتكون من مثلثات متساوية الأضلاع وسداسيات منتظمة في هيكل 3.6.3.6 ، مما يعني أن عقدة من الفسيفساء محاطة (حتى إكمال دورة واحدة) بمثلث ، ومسدس ، ومثلث ، ومسدس. يوضح الشكل 6 مثل هذه التغطية بالفسيفساء.

الشكل 6. التغطية بالفسيفساء ثلاثية السداسية (3.6.3.6) هي مثال على التغطية بالفسيفساء شبه المنتظمة. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

مثال 5: تغطية بالفسيفساء سداسية غير حادة

مثل الفسيفساء في المثال السابق ، يتكون هذا أيضًا من مثلثات وسداسيات ، لكن توزيعها حول العقدة هو 3.3.3.3.6. يوضح الشكل 7 بوضوح هذا النوع من التغطية بالفسيفساء.

الشكل 7. يتكون التكسية السداسية غير الحادة من مسدس محاط بـ 16 مثلثا في التكوين 3.3.3.3.6. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

مثال 6: التغطية بالفسيفساء المعينية ثلاثية الأضلاع

وهي عبارة عن تغطية بالفسيفساء تتكون من مثلثات ومربعات وسداسيات ، في التكوين 3.4.6.4 ، كما هو موضح في الشكل 8.

الشكل 8. التغطية بالفسيفساء شبه المنتظمة تتكون من مثلث ومربع ومسدس في التكوين 3.4.6.4. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

الفسيفساء غير المنتظمة

الفسيفساء غير المنتظمة هي تلك التي يتم تشكيلها بواسطة مضلعات غير منتظمة ، أو بواسطة مضلعات منتظمة ولكنها لا تفي بمعيار أن العقدة هي رأس مكون من ثلاثة مضلعات على الأقل.

مثال 7

يوضح الشكل 9 مثالاً للفسيفساء غير المنتظم ، حيث تكون جميع المضلعات منتظمة ومتطابقة. إنه غير منتظم لأن العقدة ليست قمة مشتركة لثلاثة مربعات على الأقل وهناك أيضًا مربعات مجاورة لا تشترك في الحافة تمامًا.

الشكل 9. على الرغم من أن كل المربعات عبارة عن مربعات متطابقة ، إلا أن هذا مثال واضح على التغطية بالفسيفساء غير المنتظمة. المصدر: F. Zapata.

المثال 8

يرسم متوازي الأضلاع سطحًا مستويًا ، لكن ما لم يكن مربعًا لا يمكن أن يشكل تغطية بالفسيفساء منتظمة.

الشكل 10. الفسيفساء المتكونة من متوازي الأضلاع غير منتظم ، لأن فسيفساءها عبارة عن مضلعات غير منتظمة. المصدر: F. Zapata.

المثال 9

السداسيات غير المنتظمة ذات التماثل المركزي فسيفساء سطح مستوٍ ، كما هو موضح في الشكل التالي:

الشكل 11. السداسيات ذات التناظر المركزي حتى عندما لا تكون فسيفساء منتظمة للمستوى. المصدر: F. Zapata.

مثال 10: تغطية القاهرة بالفسيفساء

إنها عبارة عن فسيفساء مثيرة للاهتمام للغاية ، تتكون من خماسي الأضلاع متساوية الطول ولكن بزوايا غير متساوية ، اثنتان منها مستقيمة والثلاثة الآخرون 120 درجة لكل منهما.

يأتي اسمها من حقيقة أن هذه التغطية بالفسيفساء توجد في أرصفة بعض شوارع القاهرة في مصر. يوضح الشكل 12 تغطية القاهرة بالفسيفساء.

الشكل 12. القاهرة فسيفساء. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

مثال 11: تغطية الأندلس بالفسيفساء

تتميز التغطية بالفسيفساء في بعض أجزاء الأندلس وشمال إفريقيا بالهندسة والكتابة ، بالإضافة إلى العناصر الزخرفية مثل الغطاء النباتي.

كانت تغطية القصور بالفسيفساء مثل قصر الحمراء مكونة من بلاطات مكونة من قطع خزفية متعددة الألوان ، بأشكال متعددة (إن لم تكن لانهائية) تنطلق في أنماط هندسية.

الشكل 13. كسوة بالفسيفساء قصر الحمراء. Tartaglia / المجال العام

مثال 12: التغطية بالفسيفساء في ألعاب الفيديو

يُعرف أيضًا باسم tesellation ، وهو أحد أكثر المستجدات شهرة في ألعاب الفيديو. يتعلق الأمر بإنشاء نسيج لمحاكاة الفسيفساء للسيناريوهات المختلفة التي تظهر في المحاكاة.

هذا انعكاس واضح على أن هذه الطلاءات تستمر في التطور وتتخطى حدود الواقع.

المراجع

1. استمتع بالرياضيات. الفسيفساء. تم الاسترجاع من: enjoymatematicas.com
2. روبينيوس. حل الفسيفساء الأمثلة. تم الاسترجاع من: matematicasn.blogspot.com
3. وايسشتاين ، إريك دبليو "التغطية بالفسيفساء ديميرجولار". وايسشتاين ، إريك دبليو ، أد. ماثوورلد. أبحاث ولفرام.
4. ويكيبيديا. التغطية بالفسيفساء. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
5. ويكيبيديا. التغطية بالفسيفساء العادية. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com