الإحداثيات الكروية: أمثلة وتمارين محلولة - رياضيات

و الإحداثيات الكروية هي مجموعة من النقاط المكان في شكل ثلاثي الأبعاد تتألف من شعاعي تنسيق ودعا القطبية اثنين إحداثيات الزاوية تنسيق والسمتي تنسيق.

يوضح الشكل 1 ، الذي نراه أدناه ، الإحداثيات الكروية (r ، θ ، φ) لنقطة M.

الشكل 1. الإحداثيات الكروية (r ، θ ، φ) لنقطة M. (مشاعات ويكيميديا)

في هذه الحالة ، الإحداثي r للنقطة M هو المسافة من تلك النقطة إلى نقطة الأصل O. يمثل الإحداثيات القطبية θ الزاوية بين شبه المحور الموجب Z ومتجه نصف القطر OM. بينما الإحداثي السمتي φ هو الزاوية بين المحور شبه الموجب X ومتجه نصف القطر OM '، حيث M' هو الإسقاط المتعامد لـ M على المستوى XY.

يأخذ الإحداثي الشعاعي r قيمًا موجبة فقط ، ولكن إذا كانت النقطة موجودة في الأصل ، فإن r = 0. الإحداثيات القطبية θ تأخذ كحد أدنى للقيمة 0º للنقاط الواقعة على المحور شبه الموجب Z وقيمة قصوى 180º للنقاط تقع على المحور شبه السالب Z. أخيرًا ، الإحداثي السمتي φ يأخذ قيمة دنيا 0º وحد أقصى للارتفاع 360 درجة.

0 ≤ ص <∞

0 θ ≤ 180º

0 ≤ φ <360 درجة

تغيير الإحداثيات

بعد ذلك ، سيتم إعطاء الصيغ التي تسمح بالحصول على الإحداثيات الديكارتية (x ، y ، z) للنقطة M على افتراض أن الإحداثيات الكروية لنفس النقطة (r ، θ ، φ) معروفة:

س = ص سين (θ) كوس (φ)

ص = ص سين (θ) سين (φ)

ض = ص كوس (θ)

بنفس الطريقة ، من المفيد العثور على العلاقات للانتقال من الإحداثيات الديكارتية (س ، ص ، ض) لنقطة معينة إلى الإحداثيات الكروية للنقطة المذكورة:

ص = √ (س ^ 2 + ص ^ 2 + ع ^ 2)

θ = أركتان (√ (س ^ 2 + ص ^ 2) / ض)

φ = أركتان (ص / س)

قاعدة المتجهات في إحداثيات كروية

من الإحداثيات الكروية ، يتم تحديد الأساس المتعامد للناقلات الأساسية ، والتي يتم الإشارة إليها بواسطة Ur و Uθ و Uφ. في الشكل 1 ، يتم عرض متجهات الوحدات الثلاث ، والتي لها الخصائص التالية:

- Ur هو متجه الوحدة مماس للخط الشعاعي θ = ctte و φ = ctte ؛

- Uθ هو متجه الوحدة مماس للقوس φ = ctte و r = ctte ؛

- Uφ هو متجه الوحدة مماس للقوس r = ctte و θ = ctte.

عناصر الخط والحجم في الإحداثيات الكروية

يتم كتابة متجه الموقع لنقطة في الفضاء في الإحداثيات الكروية على النحو التالي:

ص = ص أور

لكن الاختلاف أو الإزاحة اللانهائية لنقطة في الفضاء ثلاثي الأبعاد ، في هذه الإحداثيات ، يتم التعبير عنها بعلاقة المتجه التالية:

d r = dr Ur + r dθ Uθ + r Sen (θ) d φ Uφ

أخيرًا ، يتم كتابة الحجم اللامتناهي في الإحداثيات الكروية على النحو التالي:

dV = r ^ 2 Sen (θ) dr dθ dφ

هذه العلاقات مفيدة جدًا لحساب تكاملات الخط والحجم في المواقف المادية التي لها تناظر كروي.

العلاقة مع الإحداثيات الجغرافية

من المفهوم أن الإحداثيات الجغرافية هي تلك التي تعمل على تحديد الأماكن على سطح الأرض. يستخدم هذا النظام إحداثيات خطوط الطول والعرض لتحديد الموقع على سطح الأرض.

في نظام الإحداثيات الجغرافي ، يُفترض أن يكون سطح الأرض كرويًا بنصف قطر Rt ، على الرغم من أنه من المعروف أنه مسطح عند القطبين ، ويتم النظر في مجموعة من الخطوط الوهمية تسمى خطوط الطول والمتوازيات.

الشكل 2. خط الطول α وخط العرض β لمراقب على سطح الأرض.

خط العرض β هو زاوية شكلها نصف قطر يبدأ من مركز الأرض إلى النقطة التي تريد وضعها. يتم قياسه من المستوى الاستوائي ، كما هو موضح في الشكل 2. ومن ناحية أخرى ، فإن خط الطول α هو الزاوية التي يتشكل منها خط الزوال للنقطة التي تقع بالنسبة إلى خط الطول الصفري (المعروف باسم خط غرينتش).

يمكن أن يكون خط العرض شمالًا أو جنوبًا ، اعتمادًا على ما إذا كان المكان الذي تحدده يقع في نصف الكرة الشمالي أو في نصف الكرة الجنوبي. وبالمثل ، يمكن أن يكون خط الطول غربًا أو شرقًا اعتمادًا على ما إذا كان الموقع غربًا أو شرقًا من خط الزوال الصفري.

صيغ للتغيير من جغرافي إلى كروي

للحصول على هذه الصيغ ، فإن أول شيء هو إنشاء نظام إحداثيات. تم اختيار المستوى XY ليتوافق مع المستوى الاستوائي ، حيث يكون المحور X الموجب هو الذي ينتقل من مركز الأرض ويمر عبر خط الزوال الصفري. بدوره ، يمر المحور Y عبر خط الزوال 90 درجة شرقاً ، ويكون نصف قطر سطح الأرض Rt.

مع نظام الإحداثيات هذا ، تبدو التحولات من جغرافي إلى كروي كما يلي:

αEβN → (Rt، θ = 90º-β، φ = α)

αOβN → (Rt ، θ = 90º-، φ = 360º-α)

αEβS → (Rt، θ = 90º + β، φ = α)

αOβS → (Rt ، θ = 90º + β ، φ = 360º-α)

أمثلة

مثال 1

الإحداثيات الجغرافية بالما دي مايوركا (إسبانيا) هي:

خط الطول الشرقي 38.847 درجة وخط العرض الشمالي 39.570 درجة. لتحديد الإحداثيات الكروية المقابلة لـ Palma de Mallorca ، يتم تطبيق أول صيغ الصيغ في القسم السابق:

38،847ºE39،570ºN → (ص = 6371 كم ، θ = 90º-39،570º ، φ = 38،847º)

إذن الإحداثيات الكروية هي:

بالما دي مايوركا: (ص = 6371 كم ، θ = 50.43º ، φ = 38.85º)

في الإجابة السابقة ، تم أخذ r يساوي متوسط نصف قطر الأرض.

مثال 2

مع العلم أن إحداثيات جزر مالفيناس (فوكلاند) جغرافية تبلغ 59 درجة مئوية 51.75 درجة ثانية ، حدد الإحداثيات القطبية المقابلة. تذكر أن المحور X ينتقل من مركز الأرض إلى خط الزوال 0º وعلى المستوى الاستوائي ؛ يقع المحور Y أيضًا في المستوى الاستوائي ويمر عبر خط الطول 90 درجة غربًا ؛ أخيرًا المحور Z على محور دوران الأرض في اتجاه الجنوب والشمال.

للعثور على الإحداثيات الكروية المقابلة ، نستخدم الصيغ الواردة في القسم السابق:

59ºO 51.75ºS → (r = 6371 كم ، θ = 90º + 51.75º ، φ = 360º-59º) أي

مالفيناس: (ص = 6371 كم ، θ = 141.75º ، φ = 301º)

تمارين

التمرين 1

ابحث عن الإحداثيات الديكارتية لبالما دي مايوركا في النظام المرجعي الديكارتي XYZ الموضح في الشكل 2.

الحل: في السابق ، في المثال 1 ، تم الحصول على الإحداثيات الكروية بدءًا من الإحداثيات الجغرافية لبالما دي مايوركا. لذلك يمكن استخدام الصيغ الواردة أعلاه للانتقال من كروية إلى ديكارتية:

س = 6371 كم سين (50.43 درجة) كوس (38.85 درجة)

ص = 6371 كم سين (50.43 درجة) سين (38.85 درجة)

z = 6371 كم كوس (50.43º)

إجراء الحسابات المقابلة لدينا:

بالما دي مايوركا: (س = 3825 كم ، ص = 3081 كم ، ض = 4059)

تمرين 2

ابحث عن الإحداثيات الديكارتية لجزر فوكلاند في النظام المرجعي الديكارتي XYZ الموضح في الشكل 2.

الحل: في السابق ، في المثال 2 ، تم الحصول على الإحداثيات الكروية بدءًا من الإحداثيات الجغرافية لجزر مالفيناس. لذلك يمكن استخدام الصيغ الواردة أعلاه للانتقال من كروية إلى ديكارتية:

س = 6371 كم سين (141.75 درجة) كوس (301 درجة)

ص = 6371 كم سين (141.75 درجة) سين (301 درجة)

z = 6371 كم كوس (141.75º)

عند إجراء الحسابات المقابلة ، نحصل على:

جزر فوكلاند: (س = 2031 كم ، ص = -3381 كم ، ض = -5003)

المراجع

Arfken G و Weber H. (2012). الطرق الرياضية للفيزيائيين. دليل شامل. الطبعة السابعة. الصحافة الأكاديمية. ردمك 978-0-12-384654-9
حساب cc. حل مشاكل الإحداثيات الأسطوانية والكروية. تم الاسترجاع من: calculo.cc
ورشة عمل في علم الفلك. خط العرض وخط الطول. تم الاسترجاع من: tarifamates.blogspot.com/
وايسشتاين ، إريك دبليو "الإحداثيات الكروية". من MathWorld-A Wolfram Web. تم الاسترجاع من: mathworld.wolfram.com
ويكيبيديا. نظام الإحداثيات الكروية. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com
ويكيبيديا. الحقول المتجهة في إحداثيات أسطوانية وكروية. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com

الإحداثيات الكروية: أمثلة وتمارين محلولة - رياضيات - 2026