وظيفة الحقن: ما هي ، ما الغرض منها ، والأمثلة - رياضيات - 2025

و دالة تباينية هو أي علاقة عناصر المجال مع وجود عنصر واحد من مجال مقابل. تُعرف أيضًا باسم وظيفة واحد لواحد (1 - 1) ، وهي جزء من تصنيف الوظائف فيما يتعلق بالطريقة التي ترتبط بها عناصرها.

يمكن أن يكون عنصر المجال المشترك صورة لعنصر واحد فقط من المجال ، وبهذه الطريقة لا يمكن تكرار قيم المتغير التابع.

المصدر: المؤلف.

ومن الأمثلة الواضحة على ذلك تجميع الرجال الذين لديهم وظائف في المجموعة A ، وفي المجموعة B جميع الرؤساء. ستكون الوظيفة F هي الوظيفة التي تربط كل عامل برئيسه. إذا ويرتبط كل عامل مع مدرب آخر خلال F ، ثم F ستكون دالة تباينية.

للنظر في وظيفة الحقن ، يجب استيفاء ما يلي:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

هذه هي الطريقة الجبرية للقول لكل x ₁ مختلف عن x ₂ لدينا F (x ₁) يختلف عن F (x ₂).

ما هي وظائف الحقن؟

الحركية هي خاصية للوظائف المستمرة ، لأنها تضمن تخصيص الصور لكل عنصر من عناصر المجال ، وهو جانب أساسي في استمرارية الوظيفة.

عند رسم خط موازٍ للمحور X على الرسم البياني لوظيفة الحقن ، يجب أن يتم لمس الرسم البياني فقط عند نقطة واحدة ، بغض النظر عن ارتفاع أو مقدار Y الذي يتم رسم الخط فيه. هذه هي الطريقة الرسومية لاختبار قابلية الوظيفة.

هناك طريقة أخرى لاختبار ما إذا كانت الوظيفة حقنة أم لا ، وهي حل المتغير المستقل X من حيث المتغير التابع Y. ثم يجب التحقق مما إذا كان مجال هذا التعبير الجديد يحتوي على الأرقام الحقيقية ، في نفس الوقت مثل كل قيمة Y هناك قيمة واحدة لـ X.

تتبع الدوال أو علاقات الترتيب ، من بين طرق أخرى ، الترميز F: D _f → C _f

ما يقرأ F الذي ينتقل من D _f إلى C _f

حيث ترتبط الوظيفة F بمجموعات المجال و Codomain. يُعرف أيضًا باسم مجموعة البداية ومجموعة التشطيب.

يحتوي المجال D _f على القيم المسموح بها للمتغير المستقل. يتكون المجال الكودي C _f من جميع القيم المتاحة للمتغير التابع. تُعرف عناصر C _f المرتبطة بـ D _f باسم نطاق الوظيفة (R _f).

تكييف الوظيفة

في بعض الأحيان ، يمكن أن تخضع الوظيفة التي لا يتم حقنها لظروف معينة. هذه الشروط الجديدة يمكن أن تجعلها وظيفة الحقن. جميع أنواع التعديلات على المجال ومجال الوظيفة صالحة ، حيث يكون الهدف هو تحقيق خصائص الحقن في العلاقة المقابلة.

أمثلة على وظائف الحقن مع التمارين التي تم حلها

مثال 1

دع الوظيفة F: R → R تحدد بالخط F (x) = 2x - 3

أ:

المصدر: المؤلف.

ويلاحظ أنه لكل قيمة للمجال توجد صورة في المجال المشترك. هذه الصورة فريدة مما يجعل F وظيفة الحقن. ينطبق هذا على جميع الوظائف الخطية (الوظائف التي تكون أعلى درجة من المتغير فيها واحدة).

المصدر: المؤلف.

مثال 2

دع الوظيفة F: R → R تُحدد بواسطة F (x) = x ² +1

المصدر: المؤلف

عند رسم خط أفقي ، يلاحظ أن الرسم البياني وجد في أكثر من مناسبة. ونتيجة لذلك ، فإن الوظيفة F لا تُحقن طالما تم تعريف R → R

ننتقل إلى تكييف مجال الوظيفة:

F: R ⁺ U {0} → R

المصدر: المؤلف

الآن لا يأخذ المتغير المستقل قيمًا سالبة ، وبهذه الطريقة يتم تجنب تكرار النتائج وتكون الوظيفة F: R ⁺ U {0} → R المحددة بواسطة F (x) = x ² + 1 حقنة.

قد يكون الحل الآخر المتماثل هو قصر المجال على اليسار ، أي تقييد الدالة بأخذ القيم السالبة والصفر فقط.

ننتقل إلى تكييف مجال الوظيفة

F: R ^- U {0} → R.

المصدر: المؤلف

الآن لا يأخذ المتغير المستقل قيمًا سالبة ، وبهذه الطريقة يتم تجنب تكرار النتائج وتكون الوظيفة F: R ^- U {0} → R المحددة بواسطة F (x) = x ² + 1 حقنة.

الدوال المثلثية لها سلوكيات تشبه الموجة ، حيث يكون من الشائع جدًا العثور على تكرار للقيم في المتغير التابع. من خلال تكييف محدد ، بناءً على المعرفة المسبقة بهذه الوظائف ، يمكننا تضييق المجال لتلبية شروط الحقن.

مثال 3

دع الوظيفة F: → R يتم تعريفها بواسطة F (x) = Cos (x)

في الفترة الزمنية ، تغير دالة جيب التمام نتائجها بين صفر وواحد.

المصدر: المؤلف.

كما يتضح من الرسم البياني. يبدأ من الصفر عند x = - π / 2 ، ثم يصل إلى الحد الأقصى عند الصفر. تبدأ القيم في التكرار بعد x = 0 ، حتى تعود إلى الصفر عند x = π / 2. بهذه الطريقة ، من المعروف أن F (x) = Cos (x) ليست حقنة في الفترة.

عند دراسة الرسم البياني للوظيفة F (x) = Cos (x) ، يتم ملاحظة الفواصل الزمنية حيث يتكيف سلوك المنحنى مع معايير الحقن. مثل الفاصل الزمني

حيث تختلف نتائج الدالة من 1 إلى -1 ، دون تكرار أي قيمة في المتغير التابع.

بهذه الطريقة وظيفة الوظيفة F: → R التي تحددها F (x) = Cos (x). إنه عن طريق الحقن

هناك وظائف غير خطية حيث تحدث حالات مماثلة. بالنسبة لتعبيرات النوع المنطقي ، حيث يحتوي المقام على متغير واحد على الأقل ، توجد قيود تمنع حقن العلاقة.

مثال 4

دع الوظيفة F: R → R تُحدد بواسطة F (x) = 10 / x

يتم تحديد الوظيفة لجميع الأعداد الحقيقية باستثناء {0} الذي لديه عدم تحديد (لا يمكن تقسيمها على صفر) .

عندما يقترب المتغير التابع من الصفر من اليسار ، فإنه يأخذ قيمًا سالبة كبيرة جدًا ، وبعد الصفر مباشرة ، تأخذ قيم المتغير التابع أرقامًا موجبة كبيرة.

هذا الاضطراب يجعل التعبير F: R → R محدد بواسطة F (x) = 10 / x

لا تكن عن طريق الحقن.

كما رأينا في الأمثلة السابقة ، فإن استبعاد القيم في المجال يعمل على "إصلاح" حالات عدم التحديد هذه. ننتقل إلى استبعاد الصفر من المجال ، وترك مجموعات البداية والنهاية محددة على النحو التالي:

ص - {0} → ر

حيث يرمز R - {0} إلى القيم الحقيقية باستثناء مجموعة عنصرها الوحيد هو صفر.

بهذه الطريقة يكون التعبير F: R - {0} → R المحدد بواسطة F (x) = 10 / x هو حقنة.

مثال 5

دع الوظيفة F: → R تُحدد بواسطة F (x) = Sen (x)

في الفترة الزمنية ، تغير دالة الجيب نتائجها بين صفر وواحد.

المصدر: المؤلف.

كما يتضح من الرسم البياني. يبدأ من الصفر عند x = 0 ثم يصل إلى الحد الأقصى عند x = π / 2. تبدأ القيم في التكرار بعد x = π / 2 ، حتى تعود إلى الصفر عند x = π. بهذه الطريقة ، من المعروف أن F (x) = Sen (x) لا يتم حقنها في الفترة.

عند دراسة الرسم البياني للوظيفة F (x) = Sen (x) ، يتم ملاحظة فترات حيث يتكيف سلوك المنحنى مع معايير الحقن. مثل الفاصل الزمني

حيث تختلف نتائج الدالة من 1 إلى -1 ، دون تكرار أي قيمة في المتغير التابع.

بهذه الطريقة تكون الوظيفة F: → R التي تحددها F (x) = Sen (x). إنه عن طريق الحقن

مثال 6

تحقق مما إذا كانت الوظيفة F: → R محددة بواسطة F (x) = Tan (x)

F: → R محدد بواسطة F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R محدد بالخط F (x) = 7x + 2

المراجع

1. مقدمة في المنطق والتفكير النقدي. ميريلي إتش سالمون. جامعة بيتسبرغ
2. مشاكل في التحليل الرياضي. بيوتر بيلر ، ألفريد ويتكوفسكي. جامعة فروتسواف. بولندا.
3. عناصر التحليل المجرد. ميشال أوسيركويد دكتوراه. قسم الرياضيات. كلية دبلن الجامعية ، بيلدفيلد ، دوبليند 4.
4. مقدمة في المنطق ومنهجية العلوم الاستنتاجية. ألفريد تارسكي ، نيويورك أكسفورد. مطبعة جامعة أكسفورد.
5. مبادئ التحليل الرياضي. إنريكي لينيس إسكاردو. افتتاحية Reverté S. A 1991. برشلونة أسبانيا.