الدوال المتعالية: الأنواع ، التعريف ، الخصائص ، الأمثلة - رياضيات - 2025

و ابتدائية وظائف المتعالي هي الأسية واللوغاريتمية، المثلثية، معكوس الدوال المثلثية، القطعي ومعكوس وظائف القطعي. أي أنها تلك التي لا يمكن التعبير عنها عن طريق كثير الحدود أو حاصل قسمة كثيرات الحدود أو جذور كثيرات الحدود.

تُعرف الوظائف المتعالية غير الأولية أيضًا بالوظائف الخاصة ويمكن تسمية وظيفة الخطأ من بينها. تشكل الدوال الجبرية (كثيرات الحدود ، وحواشي كثيرة الحدود ، وجذور كثيرات الحدود) جنبًا إلى جنب مع الدوال المتعالية الأولية ما يُعرف في الرياضيات بالدوال الأولية.

تعتبر الدوال المتعالية أيضًا تلك التي تنتج عن العمليات بين الوظائف المتعالية أو بين الدوال المتعالية والجبرية. هذه العمليات هي: مجموع الوظائف واختلافها ، والمنتج وحاصل القسمة ، بالإضافة إلى تكوين وظيفتين أو أكثر.

التعريف والخصائص

دالة أسية

إنها وظيفة حقيقية لمتغير مستقل حقيقي للشكل:

و (س) = أ ^ س = أ ^س

حيث a هو رقم حقيقي موجب ثابت (أ> 0) يسمى الأساس. يتم استخدام الرمز المحيطي أو المرتفع للإشارة إلى عملية التعزيز.

لنفترض أن a = 2 ثم تبدو الوظيفة كما يلي:

و (س) = 2 ^ س = 2 ^س

والتي سيتم تقييمها لعدة قيم للمتغير المستقل x:

يوجد أدناه رسم بياني حيث يتم تمثيل الوظيفة الأسية لعدة قيم للقاعدة ، بما في ذلك القاعدة e (رقم نيبر e ≃ 2.72). تعتبر القاعدة e مهمة جدًا لدرجة أنه عند الحديث عن دالة أسية نفكر في e ^ x ، والتي يُشار إليها أيضًا باسم exp (x).

الشكل 1. الدالة الأسية a ^ x ، لقيم مختلفة للقاعدة a. (تفصيل خاص)

خصائص الوظيفة الأسية

من الشكل 1 ، يمكن ملاحظة أن مجال الوظائف الأسية هي الأرقام الحقيقية (Dom f = R) وأن النطاق أو المسار هو القيم الإيجابية (Ran f = R ⁺).

من ناحية أخرى ، بغض النظر عن قيمة القاعدة أ ، تمر جميع الوظائف الأسية عبر النقطة (0 ، 1) وعبر النقطة (1 ، أ).

عندما تكون القاعدة أ> 1 ، فإن الوظيفة تتزايد وعندما تكون 0 <أ <1 تتناقص الوظيفة.

منحنيات y = a ^ x و y = (1 / a) ^ x متماثلة حول المحور Y.

باستثناء الحالة a = 1 ، تكون الوظيفة الأسية حقنة ، أي أن كل قيمة للصورة تتوافق مع قيمة بداية واحدة وواحدة فقط.

دالة لوغاريتمية

إنها وظيفة حقيقية لمتغير مستقل حقيقي بناءً على تعريف لوغاريتم رقم. اللوغاريتم المستند إلى رقم x هو الرقم y الذي يجب رفع الأساس إليه للحصول على الوسيطة x:

سجل _أ (س) = ص ⇔ أ ^ ص = س

أي أن دالة اللوغاريتم المستندة إلى هي الدالة العكسية للدالة الأسية بناءً على.

فمثلا:

سجل ₂ 1 = 0 ، منذ 2 ^ 0 = 1

حالة أخرى ، log ₂ 4 = 2 ، لأن 2 ^ 2 = 4

لوغاريتم جذر 2 هو log ₂ √2 = ½ ، لأن 2 ^ ½ = √2

سجل ₂ ¼ = -2 ، منذ 2 ^ (- 2) =

يوجد أدناه رسم بياني لوظيفة اللوغاريتم في قواعد مختلفة.

الشكل 2. دالة أسية لقيم مختلفة للقاعدة. (تفصيل خاص)

خصائص دالة اللوغاريتم

مجال دالة اللوغاريتم y (x) = log a (x) هي الأرقام الحقيقية الموجبة R +. مجموعة السفر أو هي الارقام الحقيقية R.

بغض النظر عن القاعدة ، تمر الدالة اللوغاريتمية دائمًا عبر النقطة (1،0) وتنتمي النقطة (أ ، 1) إلى الرسم البياني لتلك الوظيفة.

في حالة أن القاعدة أ أكبر من الوحدة (أ> 1) تتزايد دالة اللوغاريتم. ولكن إذا كانت (0 <a <1) فهي دالة متناقصة.

وظائف الجيب وجيب التمام والظل

تعين دالة الجيب عددًا حقيقيًا ولكل قيمة x ، حيث يمثل x قياس الزاوية بالراديان. للحصول على قيمة Sen (x) للزاوية ، يتم تمثيل الزاوية في دائرة الوحدة ، ويكون إسقاط الزاوية المذكورة على المحور الرأسي هو الجيب المقابل لتلك الزاوية.

تظهر الدائرة المثلثية والجيب للقيم الزاوية المختلفة X1 و X2 و X3 و X4 أدناه (في الشكل 3).

الشكل 3. الدائرة المثلثية وجيب الزوايا المختلفة. (تفصيل خاص)

وبهذه الطريقة ، فإن القيمة القصوى التي يمكن أن تمتلكها الدالة Sen (x) هي 1 ، والتي تحدث عندما تكون x = π / 2 + 2π n ، حيث n هي عدد صحيح (0 ، ± 1 ، ± 2 ،). الحد الأدنى للقيمة التي يمكن أن تأخذها الدالة Sen (x) يحدث عندما تكون x = 3π / 2 + 2π n.

يتم تعريف دالة جيب التمام y = Cos (x) بطريقة مماثلة ، لكن إسقاط المواضع الزاوية P1 و P2 وما إلى ذلك يتم على المحور الأفقي للدائرة المثلثية.

من ناحية أخرى ، فإن الدالة y = Tan (x) هي حاصل القسمة بين دالة الجيب ودالة جيب التمام.

يوجد أدناه رسم بياني للوظائف المتعالية Sen (x) و Cos (x) و Tan (x)

الشكل 4. رسم بياني للوظائف المتعالية ، الجيب وجيب التمام والظل. (تفصيل خاص)

المشتقات والتكاملات

مشتق من الدالة الأسية

مشتق y 'للدالة الأسية y = a ^ x هي الدالة a ^ x مضروبة في اللوغاريتم الطبيعي للقاعدة a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

في الحالة الخاصة للقاعدة e ، فإن مشتق الدالة الأسية هو الدالة الأسية نفسها.

تكامل الدالة الأسية

التكامل غير المحدود لـ ^ x هو الدالة نفسها مقسومة على اللوغاريتم الطبيعي للقاعدة.

في الحالة المعينة للقاعدة e ، فإن تكامل الدالة الأسية هي الدالة الأسية نفسها.

جدول مشتقات وتكاملات الدوال المتعالية

يوجد أدناه جدول ملخص للوظائف المتعالية الرئيسية ومشتقاتها والتكاملات غير المحددة (المشتقات العكسية):

جدول المشتقات والتكاملات غير المحددة لبعض الدوال المتعالية. (تفصيل خاص)

أمثلة

مثال 1

أوجد الوظيفة الناتجة من تكوين الدالة f (x) = x ^ 3 بالدالة g (x) = cos (x):

(fog) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

مشتقها وتكاملها غير المحدود هو:

مثال 2

ابحث عن تكوين الوظيفة g مع الوظيفة f ، كونها g و f الوظائف المحددة في المثال السابق:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³)

تجدر الإشارة إلى أن تكوين الوظائف ليس عملية تبادلية.

المشتق والتكامل غير المحدد لهذه الوظيفة هما على التوالي:

تم ترك التكامل موضحًا لأنه لا يمكن كتابة النتيجة كمجموعة من الوظائف الأولية تمامًا.

المراجع

1. حساب التفاضل والتكامل لمتغير واحد. رون لارسون ، بروس إدواردز. تعلم Cengage ، 10 نوفمبر 2008
2. نظرية الوظيفة الضمنية: التاريخ والنظرية والتطبيقات. ستيفن جي كرانتز ، هارولد آر باركس. Springer Science & Business Media ، 9 نوفمبر. 2012
3. تحليل متعدد المتغيرات. ساتيش شيرالي ، هاركريشان لال فاسوديفا. Springer Science & Business Media ، 13 ديسمبر. 2010
4. ديناميات النظام: النمذجة والمحاكاة والتحكم في الأنظمة الميكاترونيك. دين سي كارنوب ، دونالد إل مارجوليس ، رونالد سي روزنبرغ. جون وايلي وأولاده ، 7 مارس 2012
5. حساب التفاضل والتكامل: الرياضيات والنمذجة. وليام بولدري ، جوزيف ر. فيدلر ، فرانك آر جيوردانو ، إد لودي ، ريك فيتراي. أديسون ويسلي لونجمان ، 1 يناير 1999
6. ويكيبيديا. دالة متعالية. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com