الخط العمودي: الخصائص والأمثلة والتمارين - رياضيات - 2025

A خط عمودي واحد هو أن يشكل زاوية 90º فيما يتعلق الخط، منحنى أو سطح آخر. لاحظ أنه عندما يكون خطان متعامدين ويقعان على نفس المستوى ، فعند تقاطعهما ، يشكلان أربع زوايا متطابقة ، كل منها 90 درجة.

إذا كانت إحدى الزوايا غير 90º ، يقال إن الخطوط مائلة. الخطوط العمودية شائعة في التصميم والهندسة المعمارية والبناء ، على سبيل المثال شبكة الأنابيب في الصورة التالية.

الشكل 1. شبكة من الأنابيب بزوايا قائمة والعديد من الخطوط العمودية. كم زاوية يمكن عدها بزاوية 90 درجة في هذه الصورة؟ المصدر: Piqsels.

يمكن أن يكون اتجاه الخطوط المتعامدة متنوعًا ، مثل تلك الموضحة أدناه:

الشكل 2. الخطوط المتعامدة على المستوى. المصدر: F. Zapata.

بغض النظر عن الموضع ، يتم التعرف على الخطوط المتعامدة مع بعضها البعض من خلال تحديد الزاوية بينهما بـ 90 درجة ، بمساعدة المنقلة.

لاحظ أنه على عكس الخطوط المتوازية في المستوى ، والتي لا تتقاطع أبدًا ، فإن الخطوط العمودية تفعل ذلك دائمًا عند نقطة P ، تسمى سفح أحد الخطوط على الأخرى. لذلك فإن المستقيمين المتعامدين هما أيضًا قاطعان.

أي خط متعامد عليه لانهائي ، لأنه بمجرد تحريك الجزء AB إلى اليسار أو اليمين على القطعة CD ، سيكون لدينا خطوط عمودية جديدة بقدم أخرى.

ومع ذلك ، فإن العمود العمودي الذي يمر عبر نقطة المنتصف لقطعة ما يسمى منصف هذا الجزء.

أمثلة على الخطوط المتعامدة

الخطوط العمودية شائعة في المشهد الحضري. في الصورة التالية (الشكل 3) تم تسليط الضوء على عدد قليل من الخطوط العمودية العديدة التي يمكن رؤيتها في الواجهة البسيطة لهذا المبنى وعناصره مثل الأبواب والقنوات والخطوات والمزيد:

الشكل 3. يوجد عدد كبير من الخطوط العمودية على واجهة مبنى مشترك مثل هذا. المصدر: ريتشارد كانغ عبر فليكر.

الشيء الجيد هو أن ثلاثة خطوط متعامدة مع بعضها البعض تساعدنا على تحديد موقع النقاط والأشياء في الفضاء. إنها محاور الإحداثيات التي تم تحديدها على أنها المحور السيني والمحور الصادي والمحور العيني ، وهي مرئية بوضوح في زاوية غرفة مستطيلة مثل تلك الموجودة أدناه:

الشكل 4. يتكون نظام المحور الديكارتي من ثلاثة خطوط متعامدة مع بعضها البعض ، ولكل منها اتجاه تفضيلي في الفضاء. اعتمادات الصورة اليسرى: treybunn 2 عبر Flickr. الصورة الصحيحة نيدبيكس.

في بانوراما المدينة ، على اليمين ، يُلاحظ أيضًا التعامد بين ناطحة السحاب والأرض. أول ما يمكننا قوله يقع على طول المحور z ، بينما الأرض هي المستوى ، وهي في هذه الحالة المستوى xy.

إذا كانت الأرض تشكل المستوى xy ، فإن ناطحة السحاب تكون أيضًا متعامدة مع أي شارع أو شارع ، مما يضمن ثباتها ، نظرًا لأن الهيكل المائل غير مستقر.

وفي الشوارع حيثما توجد زوايا مستطيلة توجد خطوط عمودية. العديد من الطرق والشوارع لها تخطيط عمودي ، طالما تسمح بذلك التضاريس والميزات الجغرافية.

للتعبير عن العمودية المختصرة بين الخطوط أو المقاطع أو المتجهات ، يتم استخدام الرمز ⊥. على سبيل المثال ، إذا كان السطر L ₁ عموديًا على الخط L ₂ ، نكتب:

L ₁ L ₂

المزيد من الأمثلة على الخطوط المتعامدة

- في التصميم ، الخطوط العمودية حاضرة جدًا ، نظرًا لأن العديد من الكائنات الشائعة تعتمد على المربعات والمستطيلات. تتميز هذه الأشكال الرباعية بزوايا داخلية مقدارها 90 درجة ، لأن جوانبها متوازية اثنان في اثنين:

الشكل 5. المربعات والمستطيلات جزء من العديد من التصميمات ، مثل صندوق الكرتون البسيط هذا لتخزين البضائع. المصدر: F. Zapata.

- يتم تحديد المجالات التي تمارس فيها الرياضات المختلفة من خلال العديد من المربعات والمستطيلات. هذه بدورها تحتوي على خطوط عمودية.

- اثنان من الأجزاء التي تشكل مثلث قائم الزاوية متعامدة مع بعضها البعض. هذه تسمى الساقين ، بينما يسمى الخط المتبقي بالوتر.

- خطوط متجه المجال الكهربائي متعامدة على سطح الموصل في حالة التوازن الكهروستاتيكي.

- بالنسبة للموصل المشحون ، تكون الخطوط والأسطح متساوية الجهد دائمًا متعامدة مع خطوط المجال الكهربائي.

- في أنظمة الأنابيب أو القنوات المستخدمة لنقل أنواع مختلفة من السوائل ، مثل الغاز الذي يظهر في الشكل 1 ، من الشائع وجود أكواع بزاوية قائمة. لذلك يشكلون خطوطًا متعامدة ، مثل غرفة المرجل:

الشكل 6. الأنابيب في غرفة المرجل. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. Roger McLassus / CC BY-SA (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)

تمارين

- التمرين 1

ارسم خطين متعامدين باستخدام المسطرة والبوصلة.

المحلول

من السهل جدًا القيام بذلك ، باتباع الخطوات التالية:

- يتم رسم الخط الأول ويسمى AB (أسود).

- في الأعلى (أو أدناه إذا كنت تفضل) علامة AB علامة P ، والتي من خلالها سوف يمر العمود العمودي. إذا كانت P أعلى (أو أسفل) منتصف AB بقليل ، فإن هذا العمودي هو منصف القطعة AB.

- مع تمركز البوصلة على P ، ارسم دائرة تقطع AB عند نقطتين ، تسمى A 'و B' (حمراء).

- يتم فتح البوصلة عند A'P ، وتتركز على A 'ويتم رسم محيط يمر عبر P (أخضر).

- كرر الخطوة السابقة ، ولكن الآن افتح قياس طول المقطع B'P (أخضر). يتقاطع كلا قوسي المحيط عند النقطة Q أسفل P وبالطبع عند النقطة الأخيرة.

- يتم ربط النقطتين P و Q بالمسطرة والخط العمودي (الأزرق) جاهز.

- أخيرًا ، يجب محو جميع الإنشاءات المساعدة بعناية ، مع ترك المباني العمودية فقط.

الشكل 6. تتبع الخطوط العمودية باستخدام المسطرة والبوصلة. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

- تمرين 2

يكون الخطان L ₁ و L ₂ متعامدين إذا كان منحدرا كل منهما م ₁ و م ₂ يلبي هذه العلاقة:

م ₁ = -1 / م ₂

إذا كان الخط y = 5x - 2 ، فأوجد خطًا متعامدًا عليه ويمر بالنقطة (-1 ، 3).

المحلول

-الأول هو ميل الخط العمودي م _⊥ كما هو مبين في البيان. ميل الخط الأصلي م = 5 ، المعامل الذي يصاحب "س". وبالتالي:

م _⊥ = -1/5

- ثم يتم إنشاء معادلة الخط العمودي y _{⊥ ،} لتحل محل القيمة التي تم العثور عليها مسبقًا:

ص _⊥ = -1 / 5 س + ب

- ثم يتم تحديد قيمة b بمساعدة النقطة الواردة في العبارة (-1،3) ، حيث يجب أن يمر الخط العمودي من خلالها:

ص = 3

س = -1

أستعاض:

3 = -1/5 (-1) + ب

حل من أجل قيمة ب:

ب = 3- (1/5) = 14/5

- أخيرًا ، تم بناء المعادلة النهائية:

و _⊥ = -1 / 5 س + 14/5

المراجع

1. Baldor، A. 2004. هندسة الطائرة والفضاء. المنشورات الثقافية.
2. كليمنس ، س. 2001. الهندسة مع التطبيقات وحل المشكلات. أديسون ويسلي.
3. الرياضيات ممتعة وخطوط عمودية. تم الاسترجاع من: mathisfun.com.
4. معهد مونتيري. خطوط متعامدة. تم الاسترجاع من: montereyinstitute.org.
5. ويكيبيديا. خطوط متعامدة. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.