طريقة أويلر: ما الغرض منه ، الإجراءات والتمارين - رياضيات - 2025

على طريقة أويلر هو الأكثر الإجراءات الأساسية وبسيطة تستخدم لإيجاد الحلول العددية التقريبية إلى المعادلة التفاضلية العادية من الدرجة الأولى، شريطة أن يكون الشرط الأولي هو معروف.

المعادلة التفاضلية العادية (ODE) هي المعادلة التي تربط دالة غير معروفة لمتغير مستقل واحد بمشتقاته.

التقريبات المتتالية بطريقة أويلر. المصدر: أوليج الكسندروف

إذا كان أكبر مشتق يظهر في المعادلة من الدرجة الأولى ، فهو معادلة تفاضلية عادية من الدرجة الأولى.

الطريقة الأكثر عمومية لكتابة معادلة من الدرجة الأولى هي:

س = س ₀

ص = ص ₀

ما هي طريقة أويلر؟

تتمثل فكرة طريقة أويلر في إيجاد حل رقمي للمعادلة التفاضلية في الفترة بين X ₀ و X _f.

أولاً ، يتم تحديد الفاصل الزمني بـ n + 1 نقطة:

× ₀ ، × ₁ ، × ₂ ، × ₃… ، × _ن

والتي يتم الحصول عليها على النحو التالي:

x _i = x ₀ + ih

حيث h هو عرض أو خطوة الفترات الفرعية:

مع الشرط الأولي ، من الممكن أيضًا معرفة المشتق في البداية:

y '(x _o) = f (x _o ، y _o)

يمثل هذا المشتق ميل الخط المماس لمنحنى الدالة y (x) بالضبط عند النقطة:

Ao = (س _س ، ص _س)

ثم يتم عمل توقع تقريبي لقيمة الدالة y (x) في النقطة التالية:

ص (س ₁) ≈ ص ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o ، y _o) = y _{o +} hf (x _o ، y _o)

ثم تم الحصول على النقطة التقريبية التالية للحل ، والتي تتوافق مع:

أ ₁ = (س ₁ ، ص ₁)

يتم تكرار الإجراء للحصول على النقاط المتتالية

أ ₂ ، أ ₃… ، س _ن

في الشكل الموضح في البداية ، يمثل المنحنى الأزرق الحل الدقيق للمعادلة التفاضلية ، ويمثل المنحنى الأحمر النقاط التقريبية المتعاقبة التي تم الحصول عليها بواسطة إجراء أويلر.

تمارين محلولة

التمرين 1

1) دع المعادلة التفاضلية تكون:

مع الشرط الأولي x = a = 0 ؛ و _أ = 1

باستخدام طريقة أويلر ، احصل على حل تقريبي لـ y عند الإحداثي X = b = 0.5 ، وقسم الفترة الزمنية إلى n = 5 أجزاء.

المحلول

تتلخص النتائج العددية على النحو التالي:

ومنه استنتج أن الحل Y للقيمة 0.5 هو 1.4851.

ملاحظة: تم استخدام Smath Studio ، وهو برنامج مجاني للاستخدام المجاني ، لإجراء العمليات الحسابية.

تمرين 2

II) الاستمرار في المعادلة التفاضلية من التمرين الأول) ، ابحث عن الحل الدقيق وقارنه بالنتيجة التي تم الحصول عليها بواسطة طريقة أويلر. ابحث عن الخطأ أو الاختلاف بين النتيجة الدقيقة والنتيجة التقريبية.

المحلول

ليس من الصعب إيجاد الحل الدقيق. من المعروف أن مشتق التابع sin (x) هو التابع cos (x). لذلك سيكون الحل y (x) هو:

y (x) = sin x + C

لكي يتم استيفاء الشرط الأولي و (0) = 1 ، يجب أن يكون الثابت C مساويًا لـ 1. ثم تتم مقارنة النتيجة الدقيقة مع النتيجة التقريبية:

نستنتج أنه في الفترة المحسوبة ، يحتوي التقريب على ثلاثة أرقام معنوية للدقة.

التمرين 3

III) النظر في المعادلة التفاضلية وشروطها الأولية الواردة أدناه:

ص '(س) = - ص ²

مع الشرط الأولي × ₀ = 0 ؛ و ₀ = 1

استخدم طريقة أويلر لإيجاد القيم التقريبية للحل y (x) على المجال x =. استخدم الخطوة ح = 0.1.

المحلول

طريقة أويلر مناسبة جدًا للاستخدام مع جداول البيانات. في هذه الحالة سوف نستخدم جدول بيانات geogebra ، وهو برنامج مجاني ومفتوح المصدر.

يُظهر جدول البيانات في الشكل ثلاثة أعمدة (A ، B ، C) ، الأول هو المتغير x ، والعمود الثاني يمثل المتغير y ، والعمود الثالث هو المشتق y '.

يحتوي الصف 2 على القيم الأولية لـ X ، Y ، Y '.

تم وضع قيمة الخطوة 0.1 في خلية الموضع المطلق ($ D $ 4).

القيمة الأولية لـ y0 موجودة في الخلية B2 ، و y1 في الخلية B3. لحساب y ₁ يتم استخدام الصيغة:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o) f (x _o ، y _o) = y _{o +} hf (x _o ، y _o)

ستكون صيغة جدول البيانات هذه هي رقم B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

وبالمثل ، ستكون y2 في الخلية B4 وتظهر صيغتها في الشكل التالي:

يوضح الشكل أيضًا الرسم البياني للحل الدقيق ، والنقاط A ، B ،… ، P للحل التقريبي بطريقة أويلر.

الديناميات النيوتونية وطريقة أويلر

تم تطوير الديناميكيات الكلاسيكية بواسطة إسحاق نيوتن (1643 - 1727). كان الدافع الأصلي لليونارد أويلر (1707 - 1783) لتطوير طريقته هو حل معادلة قانون نيوتن الثاني في مواقف مادية مختلفة.

عادة ما يتم التعبير عن قانون نيوتن الثاني كمعادلة تفاضلية من الدرجة الثانية:

حيث يمثل x موضع كائن في الوقت t. الجسم المذكور له كتلة m ويخضع لقوة F. ترتبط الوظيفة f بالقوة والكتلة على النحو التالي:

لتطبيق طريقة أويلر ، فإن القيم الأولية للوقت t والسرعة v والموضع x مطلوبة.

يشرح الجدول التالي كيفية البدء من القيم الأولية t1 ، v1 ، x1 ، يمكن الحصول على تقريب للسرعة v2 والموضع x2 ، في اللحظة t2 = t1 + t ، حيث تمثل Δt زيادة صغيرة وتتوافق مع الخطوة في طريقة أويلر.

التمرين 4

IV) إحدى المشكلات الأساسية في الميكانيكا هي كتلة الكتلة M المرتبطة بنابض (أو زنبرك) ثابت مرن K.

سيبدو قانون نيوتن الثاني لهذه المشكلة كما يلي:

في هذا المثال ، من أجل التبسيط ، سنأخذ M = 1 و K = 1. أوجد حلولًا تقريبية للموضع x والسرعة v بطريقة أويلر في الفترة الزمنية بتقسيم الفترة إلى 12 جزءًا.

خذ 0 على أنه اللحظة الأولية والسرعة الابتدائية 0 والموضع الأولي 1.

المحلول

النتائج العددية موضحة في الجدول التالي:

كما يتم عرض الرسوم البيانية للموضع والسرعة بين 0 و 1.44.

تمارين مقترحة للمنزل

التمرين 1

استخدم جدول بيانات لتحديد حل تقريبي باستخدام طريقة أويلر للمعادلة التفاضلية:

y '= - Exp (-y) بالشروط الأولية x = 0 ، y = -1 في الفترة الزمنية x =

ابدأ بخطوة 0.1. ارسم النتيجة.

تمرين 2

باستخدام جدول بيانات ، أوجد الحلول العددية للمعادلة التربيعية التالية ، حيث y هي دالة في المتغير المستقل t.

y '= - 1 / y² بشرط أولي t = 0 ؛ و (0) = 0.5 ؛ ص '(0) = 0

أوجد الحل في الفترة باستخدام خطوة 0.05.

ارسم النتيجة: y vs t؛ y 'مقابل t

المراجع

1. طريقة Eurler مأخوذة من wikipedia.org
2. أويلر سولفر. مأخوذة من en.smath.com