خاصية قفل الجبر: دليل ، أمثلة - رياضيات - 2025

و الملكية خصلة من الجبر هي الظاهرة التي تتعلق عنصرين من مجموعة مع عملية، حيث الشرط الضروري هو أنه، بعد أن يتم معالجة العناصر 2 تحت العملية قال ينتمي إليها نتيجة أيضا للمجموعة الأولي.

على سبيل المثال ، إذا تم أخذ الأرقام الزوجية كمجموعة ومبلغ كعملية ، فإننا نحصل على قفل لتلك المجموعة فيما يتعلق بالمجموع. هذا لأن مجموع رقمين زوجي سيعطي دائمًا رقمًا زوجيًا آخر ، وبالتالي يفي بشرط القفل.

المصدر: unsplash.com

مميزات

هناك العديد من الخصائص التي تحدد المساحات أو الأجسام الجبرية ، مثل الهياكل أو الحلقات. ومع ذلك ، فإن خاصية القفل هي واحدة من أفضل الخصائص المعروفة في الجبر الأساسي.

لا تعتمد جميع تطبيقات هذه الخصائص على عناصر أو ظواهر عددية. يمكن عمل العديد من الأمثلة اليومية من نهج جبري نظري خالص.

على سبيل المثال ، يمكن أن يكون مواطنو بلد ما يفترضون علاقة قانونية من أي نوع ، مثل الشراكة التجارية أو الزواج من بين آخرين. بعد تنفيذ هذه العملية أو الإدارة ، يظلون مواطنين في البلاد. وبهذه الطريقة ، تمثل عمليات المواطنة والإدارة فيما يتعلق بمواطنين اثنين قفلًا.

الجبر العددي

فيما يتعلق بالأرقام ، هناك العديد من الجوانب التي كانت موضوعًا للدراسة في تيارات مختلفة في الرياضيات والجبر. لقد ظهر عدد كبير من البديهيات والنظريات من هذه الدراسات التي تشكل الأساس النظري للبحث والعمل المعاصر.

إذا عملنا مع المجموعات العددية ، فيمكننا إنشاء تعريف صالح آخر لخاصية القفل. يُقال أن المجموعة A هي قفل مجموعة أخرى B إذا كانت A هي أصغر مجموعة تحتوي على جميع المجموعات والعمليات التي يحتوي عليها B.

برهنة

يتم تطبيق دليل القفل على العناصر والعمليات الموجودة في مجموعة الأرقام الحقيقية R.

لنفترض أن A و B هما رقمان ينتميان إلى المجموعة R ، يتم تحديد إغلاق هذه العناصر لكل عملية واردة في R.

مجموع

- المجموع: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

هذه هي الطريقة الجبرية لقول أنه بالنسبة لجميع أ و ب التي تنتمي إلى الأعداد الحقيقية ، لدينا أن مجموع أ زائد ب يساوي ج ، والذي ينتمي أيضًا إلى الأعداد الحقيقية.

من السهل التحقق مما إذا كان هذا الاقتراح صحيحًا ؛ يكفي إجراء المجموع بين أي رقم حقيقي والتحقق مما إذا كانت النتيجة تنتمي أيضًا إلى الأرقام الحقيقية.

3 + 2 = 5 ∈ ر

-2 + (-7) = -9 ∈ ر

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ ر

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

لوحظ أن شرط القفل مستوفى للأرقام الحقيقية والمبلغ. بهذه الطريقة يمكن الاستنتاج: مجموع الأعداد الحقيقية هو قفل جبري.

عمليه الضرب

- الضرب: ∀ A ˄ B ∈ R → A. ب = ج ∈ ص

بالنسبة لجميع أ و ب التي تنتمي إلى الحقيقة ، لدينا أن ضرب أ في ب يساوي ج ، الذي ينتمي أيضًا إلى القيم الحقيقية.

عند التحقق باستخدام نفس عناصر المثال السابق ، يتم ملاحظة النتائج التالية.

3 × 2 = 6 ∈ ر

-2 × (-7) = 14 ∈ ر

-3 × 1/3 = -1 ∈ ر

5/2 س (-2/3) = -5/3 ∈ ر

هذا دليل كافٍ لاستنتاج أن: مضاعفة الأعداد الحقيقية قفل جبري.

يمكن توسيع هذا التعريف ليشمل جميع عمليات الأعداد الحقيقية ، على الرغم من أننا سنجد استثناءات معينة.

المصدر: pixabay.com

حالات خاصة في R

قطاع

الحالة الخاصة الأولى هي القسمة ، حيث يظهر الاستثناء التالي:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

بالنسبة لجميع أ و ب التي تنتمي إلى R ، لدينا أن A من B لا تنتمي إلى القيم الحقيقية إذا وفقط إذا كانت B تساوي صفرًا.

تشير هذه الحالة إلى تقييد عدم القدرة على القسمة على الصفر. لأن الصفر ينتمي إلى الأعداد الحقيقية ، فإن ما يلي: القسمة ليست قفلًا للريال.

الايداع

هناك أيضًا عمليات تقوية ، وبشكل أكثر تحديدًا عمليات التطرف ، حيث يتم تقديم استثناءات للقوى الراديكالية ذات المؤشر الزوجي:

بالنسبة إلى كل أ ينتمي إلى الحقائق ، فإن الجذر النوني لـ A ينتمي إلى الحقيقة ، إذا وفقط إذا كان A ينتمي إلى الحقائق الإيجابية المنضمة إلى مجموعة عنصرها الوحيد هو صفر.

وبهذه الطريقة ، يُشار إلى أن الجذور الزوجية تنطبق فقط على الحقائق الإيجابية ، وخلص إلى أن التقوية ليست قفلًا في R.

لوغاريتم

بطريقة متجانسة ، يمكن رؤيتها للدالة اللوغاريتمية ، والتي لم يتم تعريفها للقيم الأقل من أو تساوي الصفر. للتحقق مما إذا كان اللوغاريتم هو قفل R ، تابع ما يلي:

بالنسبة لجميع أ التي تنتمي إلى الحقائق ، فإن لوغاريتم A ينتمي إلى الحقيقة ، إذا وفقط إذا كان A ينتمي إلى القيم الإيجابية.

من خلال استبعاد القيم السالبة والصفر التي تنتمي أيضًا إلى R ، يمكن القول:

اللوغاريتم ليس قفل للأرقام الحقيقية.

أمثلة

تحقق من القفل لجمع وطرح الأعداد الطبيعية:

مجموع N

أول شيء هو التحقق من حالة القفل لعناصر مختلفة من المجموعة المحددة ، حيث إذا لوحظ أن بعض العناصر تتعارض مع الشرط ، يمكن رفض وجود القفل تلقائيًا.

هذه الخاصية صحيحة لجميع القيم المحتملة لـ A و B ، كما هو موضح في العمليات التالية:

1 + 3 = 4 ∈ شمال

5 + 7 = 12 شمال

1000 + 10000 = 11000 شمالاً

لا توجد قيم طبيعية تكسر شرط القفل ، لذا نستنتج:

المجموع هو قفل في N.

اطرح في N

البحث عن العناصر الطبيعية القادرة على كسر الحالة ؛ أ - ب ينتمي إلى السكان الأصليين.

من السهل أثناء التشغيل العثور على أزواج من العناصر الطبيعية التي لا تتوافق مع حالة القفل. فمثلا:

7-10 = -3 أ ن

بهذه الطريقة يمكننا أن نستنتج أن:

الطرح ليس قفلًا لمجموعة الأعداد الطبيعية.

تمارين مقترحة

1-بيّن ما إذا كانت خاصية القفل قد تحققت لمجموعة الأعداد المنطقية Q لعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة.

2-اشرح ما إذا كانت مجموعة الأعداد الحقيقية هي قفل لمجموعة الأعداد الصحيحة.

3-تحديد المجموعة العددية التي يمكن أن تكون قفل الأعداد الحقيقية.

4-إثبات خاصية القفل لمجموعة الأعداد التخيلية من حيث الجمع والطرح والضرب والقسمة.

المراجع

1. بانوراما الرياضيات البحتة: اختيار بورباكست. جان ديودونيه. ريفرتي ، 1987.
2. نظرية الأعداد الجبرية. أليخاندرو جي دياز باريغا ، آنا إيرين راميريز ، فرانسيسكو توماس. جامعة المكسيك الوطنية المستقلة ، 1975.
3. الجبر الخطي و تطبيقاته. Sandra Ibeth Ochoa García، Eduardo Gutiérrez González.
4. الهياكل الجبرية الخامس: نظرية الجسم. هيكتور أ.ميركلن. منظمة الدول الأمريكية ، الأمانة العامة ، 1979.
5. مقدمة في الجبر التبادلي. مايكل فرانسيس عطية ، IG MacDonald. العودة ، 1973.