حساب التقريبات باستخدام التفاضل - رياضيات - 2026

التقريب في الرياضيات هو رقم لا يمثل القيمة الدقيقة لشيء ما ، ولكنه قريب جدًا منه لدرجة أنه يعتبر مفيدًا مثل تلك القيمة الدقيقة.

عندما يتم إجراء تقديرات تقريبية في الرياضيات ، فذلك لأنه من الصعب (أو أحيانًا المستحيل) يدويًا معرفة القيمة الدقيقة لما تريد.

الأداة الرئيسية عند العمل بالتقريب هي تفاضل الوظيفة.

تفاضل الدالة f ، التي يُشار إليها بالرمز Δf (x) ، ليس أكثر من مشتق الدالة f مضروبًا في التغيير في المتغير المستقل ، أي Δf (x) = f '(x) * Δx.

في بعض الأحيان يتم استخدام df و dx بدلاً من Δf و Δx.

التقريب باستخدام التفاضل

تنشأ الصيغة المطبقة لإجراء تقريب من خلال التفاضل على وجه التحديد من تعريف مشتق دالة كحد.

يتم إعطاء هذه الصيغة من خلال:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

من المفهوم هنا أن Δx = x-x0 ، وبالتالي x = x0 + Δx. باستخدام هذه الصيغة يمكن إعادة كتابتها كـ

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

وتجدر الإشارة إلى أن "x0" ليست قيمة عشوائية ، ولكنها قيمة يسهل معرفة f (x0) ؛ علاوة على ذلك ، "f (x)" هي القيمة التي نريد تقريبها.

هل هناك تقديرات تقريبية أفضل؟

الجواب نعم. ما ورد أعلاه هو أبسط التقديرات التي تسمى "التقريب الخطي".

للحصول على تقديرات تقريبية ذات جودة أفضل (الخطأ الذي حدث أقل) ، يتم استخدام كثيرات الحدود مع المزيد من المشتقات التي تسمى "متعدد الحدود تايلور" ، بالإضافة إلى طرق عددية أخرى مثل طريقة نيوتن رافسون وغيرها.

إستراتيجية

الاستراتيجية التي يجب اتباعها هي:

- اختر دالة مناسبة f لتنفيذ التقريب والقيمة «x» بحيث تكون f (x) هي القيمة المراد تقريبها.

- اختر قيمة "x0" قريبة من "x" بحيث يسهل حساب f (x0).

- احسب Δx = x-x0.

- احسب مشتق التابع y f '(x0).

- استبدل البيانات في الصيغة.

تمارين التقريب حلها

في ما تبقى هناك سلسلة من التمارين حيث يتم إجراء عمليات تقريب باستخدام التفاضل.

التمرين الأول

ما يقرب من √3.

المحلول

باتباع الاستراتيجية ، يجب اختيار وظيفة مناسبة. في هذه الحالة ، يمكن ملاحظة أن الوظيفة المراد اختيارها يجب أن تكون f (x) = √x والقيمة المراد تقريبها هي f (3) = √3.

الآن يجب أن نختار قيمة "x0" قريبة من "3" بحيث يسهل حساب f (x0). إذا تم اختيار "x0 = 2" ، فسيكون حساب "x0" قريبًا من "3" ولكن ليس من السهل حساب f (x0) = f (2) = √2.

القيمة المناسبة لـ "x0" هي "4" ، لأن "4" قريبة من "3" وكذلك f (x0) = f (4) = √4 = 2.

إذا كان "x = 3" و "x0 = 4" ، فإن Δx = 3-4 = -1. ننتقل الآن إلى حساب مشتقة f. وهذا يعني ، f '(x) = 1/2 * √x ، لذا f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

استبدال جميع القيم في الصيغة التي تحصل عليها:

√3 = f (3) ≈ 2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

إذا كنت تستخدم آلة حاسبة ، فستحصل على √3≈1.73205… وهذا يدل على أن النتيجة السابقة هي تقدير تقريبي جيد للقيمة الحقيقية.

التمرين الثاني

تقريبا √10.

المحلول

كما في السابق ، يتم اختيار f (x) = √xy كدالة ، في هذه الحالة x = 10.

قيمة x0 لاختيار هذا الوقت هي "x0 = 9". لدينا بعد ذلك Δx = 10-9 = 1 ، f (9) = 3 و f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

عند التقييم في الصيغة يتم الحصول على ذلك

√10 = f (10) ≈ 3 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666…

باستخدام الآلة الحاسبة ، يتم الحصول على √10 ≈ 3.1622776… هنا يمكن أيضًا ملاحظة أنه تم الحصول على تقريب جيد من قبل.

التمرين الثالث

تقريبي ³√10 ، حيث تشير ³√ إلى الجذر التكعيبي.

المحلول

من الواضح أن الوظيفة التي سيتم استخدامها في هذا التمرين هي f (x) = ³√x ويجب أن تكون قيمة "x" هي "10".

قيمة قريبة من "10" بحيث يكون جذرها التكعيبي معروفًا هي "x0 = 8". ثم لدينا Δx = 10-8 = 2 و f (x0) = f (8) = 2. لدينا أيضًا أن f '(x) = 1/3 * ³√x² ، وبالتالي f' (8) = 1/3 * ³√8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

باستبدال البيانات في الصيغة ، يتم الحصول على ما يلي:

³√10 = f (10) ≈ 2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666….

الآلة الحاسبة تقول أن ³√10 ≈ 2.15443469… لذلك ، التقريب الموجود جيد.

التمرين الرابع

تقريبي ln (1.3) ، حيث يشير "ln" إلى دالة اللوغاريتم الطبيعي.

المحلول

نختار أولاً كدالة f (x) = ln (x) وقيمة "x" هي 1.3. الآن ، بمعرفة القليل عن دالة اللوغاريتم ، يمكننا معرفة أن ln (1) = 0 ، علاوة على ذلك ، "1" قريب من "1.3". لذلك ، يتم اختيار "x0 = 1" وبالتالي Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

من ناحية أخرى ، f '(x) = 1 / x ، بحيث أن f' (1) = 1. عند التقييم في الصيغة المعطاة لدينا:

ln (1.3) = f (1.3) ≈ 0 + 1 * 0.3 = 0.3.

باستخدام الآلة الحاسبة لدينا ln (1.3) ≈ 0.262364… لذا فإن التقريب جيد.

المراجع

1. فليمينج ، دبليو ، وفاربرج ، دي (1989). الرياضيات المسبقة. برنتيس هول PTR.
2. فليمينج ، دبليو ، وفاربرج ، دي (1989). رياضيات حساب التفاضل والتكامل: نهج لحل المشكلات (2 ، إيضاح مصور). ميشيغان: برنتيس هول.
3. فليمينج ، دبليو ، وفاربرج ، د. (1991). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.
4. لارسون ، ر. (2010). Precalculus (8 ed.). سينجاج ليرنينج.
5. ليل ، جي إم ، وفيلوريا ، إن جي (2005). الهندسة التحليلية المستوية. ميريدا - فنزويلا: الافتتاحية فنزويلا CA
6. بيريز ، سي دي (2006). حساب مسبق. تعليم بيرسون.
7. بورسيل ، EJ ، Varberg ، D. ، & Rigdon ، SE (2007). حساب التفاضل والتكامل (الطبعة التاسعة). برنتيس هول.
8. ساينز ، ج. (2005). حساب التفاضل مع الدوال المتسامية المبكرة للعلوم والهندسة (الطبعة الثانية). الوتر.
9. سكوت ، كاليفورنيا (2009). هندسة الطائرة الديكارتية ، الجزء: المخروطات التحليلية (1907) (طبع ed.). مصدر البرق.
10. سوليفان ، م. (1997). حساب مسبق. تعليم بيرسون.