الإحداثيات المستطيلة: أمثلة وتمارين محلولة - رياضيات

و الإحداثيات المستطيلة أو الديكارتية هي تلك التي يتم الحصول عليها على إسقاط متعامد المحاور الديكارتية ثلاثة X، Y، Z نقطة تقع في ثلاثة - الفضاء الثلاثي الأبعاد.

المحاور الديكارتية هي خطوط متعامدة مع بعضها البعض. في نظام الإحداثيات الديكارتية ، يتم تخصيص ثلاثة أرقام حقيقية لكل نقطة في الفضاء وهي إحداثياتها المستطيلة.

الشكل 1. إحداثيات مستطيلة للنقطة P (تفصيل خاص)

المستوى هو فضاء فرعي من الفضاء ثلاثي الأبعاد. في حالة النظر في النقاط على المستوى ، يكفي اختيار زوج من المحاور العمودية X ، Y كنظام ديكارتي. ثم يتم تخصيص رقمين حقيقيين لكل نقطة على المستوى وهما إحداثياتها المستطيلة.

أصل الإحداثيات المستطيلة

تم اقتراح الإحداثيات المستطيلة في الأصل من قبل عالم الرياضيات الفرنسي رينيه ديكارت (1596 و 1650) ، وهذا هو سبب تسميتها بالديكارتي.

مع فكرة ديكارت هذه ، يتم تخصيص أرقام لنقاط المستوى والمسافة ، بحيث يكون للأشكال الهندسية معادلة جبرية مرتبطة ويمكن إثبات النظريات الهندسية الكلاسيكية جبريًا. مع الإحداثيات الديكارتية ، ولدت الهندسة التحليلية.

الطائرة الديكارتية

إذا تم اختيار خطين متعامدين في مستوى يتقاطعان عند نقطة O ؛ وإذا تم ، بالإضافة إلى ذلك ، تعيين اتجاه ومقياس رقمي لكل خط بين نقاط متتالية متساوية الأبعاد ، فهناك نظام ديكارتي أو مستوى ترتبط فيه كل نقطة من المستوى بزوج مرتب من رقمين حقيقيين يمثلان توقعاتهم على التوالي المحاور X و Y.

النقاط أ = (3 ، 2) ؛ ب = (- 2 ، 3) ؛ C = (- 2 ، -3) و D = (3 ، -3) ممثلة في المستوى الديكارتي كما هو موضح أدناه:

الشكل 2. نقاط في المستوى الديكارتي. (تفصيل خاص)

لاحظ أن المحورين X و Y يقسمان المستوى إلى أربعة قطاعات تسمى الأرباع. النقطة أ في الربع الأول ، والنقطة ب في الربع الثاني ، والنقطة ج في الربع الثالث ، والنقطة د في الربع الرابع.

المسافة بين نقطتين

المسافة بين النقطتين A و B على المستوى الديكارتي هي طول المقطع الذي يصل بينهما. يمكن حساب هذه المسافة بشكل تحليلي على النحو التالي:

د (أ ، ب) = √ (ب س - فأس) ^ 2 + (ب - آي) ^ 2)

يتم الحصول على الصيغة المذكورة أعلاه من خلال تطبيق نظرية فيثاغورس.

بتطبيق هذه الصيغة على النقطتين A و B في الشكل 2 لدينا:

د (أ ، ب) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3-2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

أي د (أ ، ب) = 5.10 وحدات. لاحظ أنه تم الحصول على المسافة دون الحاجة إلى القياس باستخدام المسطرة ، وقد تم اتباع إجراء جبري تمامًا.

تعبير تحليلي لخط

تسمح الإحداثيات المستطيلة بالتمثيل التحليلي للأشياء الهندسية الأساسية مثل النقطة والخط. تحدد النقطتان A و B خطًا واحدًا. يُعرّف ميل الخط بأنه حاصل القسمة بين فرق إحداثيات Y للنقطة B ناقص A ، مقسومًا على فرق إحداثيات X للنقطة B ناقص A:

المنحدر = (By - Ay) / (Bx - Ax)

أي نقطة P من الإحداثيات (x ، y) تنتمي إلى الخط (AB) يجب أن يكون لها نفس الميل:

المنحدر = (ص - عي) / (س - فأس)

المعادلة التي يتم الحصول عليها من خلال مساواة المنحدرات هي التمثيل التحليلي أو الجبري للخط الذي يمر عبر النقطتين A و B:

(y - Ay) / (x - Ax) = (By - Ay) / (Bx - Ax).

إذا أخذنا الإحداثيات المستطيلة للشكل 2 لـ A و B ، فلدينا:

(ص - 2) / (س - 3) = (3 - 2) / (- 2-3)

(ص - 2) / (س - 3) =-

في هذه الحالة بالذات ، لدينا خط ذو ميل سالب-، مما يعني أنه من خلال تحديد موقعه على نقطة على الخط وزيادة إحداثي x بمقدار وحدة واحدة ، يقل إحداثي y بمقدار 0.2 وحدة.

الطريقة الأكثر شيوعًا لكتابة معادلة الخط في المستوى هي بإزالة الإحداثي y كدالة للمتغير x:

ص = - (1/5) س + 13/5

أمثلة

مثال 1

احصل بالطرق التحليلية على المسافة بين النقطتين C و A ، كونها إحداثيات مستطيلة من C = (-2 ، -3) وتلك الخاصة بـ A = (3،2).

تمت كتابة صيغة المسافة الإقليدية بين هاتين النقطتين على النحو التالي:

د (A، C) = √ ((Cx - Ax) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

استبدال إحداثياتهم المستطيلة المقابلة لدينا:

د (أ ، ج) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3-2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07

مثال 2

احصل على معادلة الخط الذي يمر بالنقطة C للإحداثيات (-2 ، -3) والنقطة P للإحداثيات (2 ، 0).

أولاً ، يتم الحصول على منحدر الخط CP:

المنحدر = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

أي نقطة Q من الإحداثيات المستطيلة العامة (x ، y) التي تنتمي إلى الخط CP يجب أن يكون لها نفس الميل:

المنحدر = (ص - (- 3)) / (س - (-2)) = (ص +3) / (س +2)

بمعنى آخر ، معادلة الخط CP هي:

(ص +3) / (س +2) =

هناك طريقة بديلة لكتابة معادلة الخط CP وهي حل y:

ص = ¾ س - 3/2

تمارين محلولة

التمرين 1

احصل على الإحداثيات المستطيلة لنقطة التقاطع بين الخطين y = - (1/5) x + 13/5 والخط y = ¾ x - 3/2.

الحل: بحكم التعريف ، تشترك نقطة تقاطع الخطين في نفس الإحداثيات المستطيلة. لذلك ، فإن إحداثيات y عند نقطة التقاطع متطابقة لكلا الخطين:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

مما يؤدي إلى التعبير التالي:

(¾ + ⅕) س = 13/5 +3/2

حل مجموع الكسور التي نحصل عليها:

19/20 س = 41/10

حل x:

س = 82/19 = 4.32

للحصول على قيمة y للتقاطع ، يتم استبدال القيمة x التي تم الحصول عليها في أي من الخطوط:

ص = ¾ 4.32 - 3/2 = 1.74

هذا يعني أن الخطوط المعينة تتقاطع عند النقطة I للإحداثيات I = (4.32 ، 1.74).

تمرين 2

احصل على معادلة المحيط الذي يمر عبر النقطة R للإحداثيات المستطيلة (3 ، 4) والتي يكون مركزها في أصل الإحداثيات.

الحل: نصف القطر R هو المسافة من النقطة R إلى الأصل O للإحداثيات (0 ، 0).

د (R ، O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2) + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

أي أنها دائرة نصف قطرها 5 متمركزة عند (0،0).

يجب أن يكون لأي نقطة P (x ، y) على المحيط نفس المسافة 5 من المركز (0 ، 0) بحيث يمكن كتابتها:

د (P ، O) = √ ((س - 0) ^ 2 + (ص - 0) ^ 2) = √ (س ^ 2 + ص ^ 2) = 5

ذلك بالقول:

√ (س ^ 2 + ص ^ 2) = 5

للقضاء على الجذر التربيعي ، يتم تربيع كل من أعضاء المساواة ، والحصول على:

س ^ 2 + ص ^ 2 = 25

ما هي معادلة المحيط.

يوضح هذا المثال قوة نظام الإحداثيات المستطيل الذي يسمح بتحديد الأشياء الهندسية ، مثل المحيط دون الحاجة إلى استخدام الورق والقلم الرصاص والبوصلة. تم تحديد المحيط المطلوب بالطرق الجبرية فقط.

المراجع

Arfken G و Weber H. (2012). الطرق الرياضية للفيزيائيين. دليل شامل. الطبعة السابعة. الصحافة الأكاديمية. ردمك 978-0-12-384654-9
حساب cc. حل مشاكل الإحداثيات المستطيلة. تم الاسترجاع من: calculo.cc
وايسشتاين ، إريك دبليو "الإحداثيات الديكارتية". من MathWorld-A Wolfram Web. تم الاسترجاع من: mathworld.wolfram.com
ويكيبيديا. نظام الإحداثيات الديكارتية. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com

الإحداثيات المستطيلة: أمثلة وتمارين محلولة - رياضيات - 2026