الرباعي: العناصر والخصائص والتصنيف والأمثلة - رياضيات - 2026

A الرباعي هو مضلع مع أربعة الجانبين، وأربعة القمم. الأضلاع المتقابلة هي تلك التي ليس لها رأس مشترك ، بينما الأضلاع المتتالية هي تلك التي لها رأس مشترك.

في الشكل الرباعي ، تشترك الزوايا المتجاورة في ضلع واحد ، بينما الزوايا المتقابلة ليس لها ضلع مشترك. من الخصائص المهمة الأخرى للشكل الرباعي أن مجموع زواياه الداخلية الأربع يساوي ضعف زاوية المستوى ، أي 360 درجة أو 2 درجة راديان.

الشكل 1. الأشكال الرباعية المختلفة. المصدر: F. Zapata.

الأقطار هي الأجزاء التي تربط رأسًا بعكسها وفي شكل رباعي معين ، يمكن رسم قطري واحد من كل رأس. إجمالي عدد الأقطار في شكل رباعي يساوي اثنين.

الأشكال الرباعية هي شخصيات معروفة للبشرية منذ العصور القديمة. تشهد على ذلك السجلات الأثرية ، وكذلك المباني التي بقيت حتى اليوم.

وبالمثل ، لا تزال الأشكال الرباعية اليوم لها حضور مهم في الحياة اليومية للجميع. يمكن للقارئ أن يجد هذا النموذج على الشاشة التي يقرأ عليها النص في هذه اللحظة بالذات ، على النوافذ والأبواب وأجزاء السيارات وأماكن أخرى لا حصر لها.

التصنيف الرباعي

وفقًا لتوازي الأضلاع المتقابلة ، يتم تصنيف الأشكال الرباعية على النحو التالي:

1. شبه منحرف ، عندما لا يكون هناك توازي ويكون الرباعي محدبًا.
2. شبه منحرف ، عندما يكون هناك توازي بين زوج واحد من الأضلاع المتقابلة.
3. متوازي الأضلاع ، عندما يكون أضلاعه المتقابلة متوازية اثنين في اثنين.

الشكل 2. التصنيف والتصنيف الفرعي للأشكال الرباعية. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

أنواع متوازي الأضلاع

بدورها يمكن تصنيف متوازيات الأضلاع حسب زواياها وجوانبها على النحو التالي:

1. المستطيل هو متوازي الأضلاع له أربع زوايا داخلية متساوية في القياس. تشكل الزوايا الداخلية للمستطيل زاوية قائمة (90 درجة).
2. مربع ، إنه مستطيل أضلاعه الأربعة متساوية في القياس.
3. المعين هو متوازي الأضلاع بأربعة أضلاع متساوية ، لكن زوايا متجاورة مختلفة.
4. معيني ، متوازي الأضلاع بزوايا متجاورة مختلفة.

أرجوحة

شبه المنحرف هو شكل رباعي محدب له جانبان متوازيان.

الشكل 3. قواعد وجوانب وارتفاع ووسيط شبه منحرف. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

- في شبه منحرف ، تسمى الجوانب المتوازية قواعد وتسمى الجوانب غير المتوازية بالجوانب.

- ارتفاع شبه المنحرف هو المسافة بين القاعدتين ، أي طول مقطع ينتهي عند القاعدة وعمودي عليهما. يسمى هذا الجزء أيضًا ارتفاع شبه المنحرف.

- الوسيط هو الجزء الذي يصل بين نقاط المنتصف الجانبية. يمكن إثبات أن الوسيط موازٍ لقواعد شبه المنحرف وطوله يساوي نصف القاعدة.

- مساحة شبه المنحرف هي ارتفاعه مضروبًا في نصف مجموع القواعد:

أنواع شبه المنحرف

شبه منحرف مستطيل الشكل: وهو الجانب الذي يكون جانبه عموديًا على القواعد. هذا الجانب هو أيضًا ارتفاع شبه المنحرف.

شبه منحرف متساوي الساقين: الجانب الذي له جوانب متساوية الطول. في شبه منحرف متساوي الساقين ، تكون الزوايا المجاورة للقواعد متساوية.

-Scalene trapezium: ذي جوانبها بأطوال مختلفة. يمكن أن تكون الزاويتان المتقابلتان حادتين والأخرى منفرجة ، ولكن قد يحدث أيضًا أن كلاهما منفرج أو حاد.

الشكل 4. أنواع شبه المنحرف. المصدر: F. Zapata.

متوازي الاضلاع

متوازي الأضلاع هو شكل رباعي الأضلاع المتقابلة متوازية اثنين في اثنين. في متوازي الأضلاع ، تكون الزوايا المتقابلة متساوية والزوايا المتجاورة مكملة ، أو بعبارة أخرى ، مجموع الزوايا المتجاورة يصل إلى 180º.

إذا كان متوازي الأضلاع له زاوية قائمة ، فستكون جميع الزوايا الأخرى أيضًا ، ويسمى الشكل الناتج بالمستطيل. ولكن إذا كان للمستطيل أيضًا ضلعه المتجاورتان بنفس الطول ، فإن جميع جوانبه متساوية والشكل الناتج يكون مربعًا.

الشكل 5. متوازي الأضلاع. المستطيل والمربع والمعين متوازي أضلاع. المصدر: F. Zapata.

عندما يكون متوازي الأضلاع ضلعين متجاورين لهما نفس الطول ، فإن جميع جوانبه ستكون بنفس الطول ، والشكل الناتج هو المعين.

ارتفاع متوازي الأضلاع هو قطعة ذات أطراف متقابلة ومتعامدة عليها.

مساحة متوازي الأضلاع

مساحة متوازي الأضلاع هي حاصل ضرب القاعدة في ارتفاعها ، والقاعدة هي جانب عمودي على الارتفاع (الشكل 6).

قطري متوازي الأضلاع

مربع القطر الذي يبدأ من الرأس يساوي مجموع مربعي الضلعين المجاورين للرأس المذكور بالإضافة إلى حاصل ضرب هذين الضلعين بجيب تمام زاوية ذلك الرأس:

و ² = أ ² + د ² + 2 إعلان كوس (α)

الشكل 6. متوازي الأضلاع. الزوايا المعاكسة ، الارتفاع ، الأقطار. المصدر: F. Zapata.

مربع القطر المقابل لرأس متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعي الضلعين المتجاورين للرأس المذكور ويطرح حاصل الضرب المزدوج لهذين الجانبين من جيب تمام زاوية ذلك الرأس:

ز ² = أ ² + د ² - 2 إعلان كوس (α)

قانون متوازي الأضلاع

في أي متوازي أضلاع ، مجموع مربعات أضلاعه يساوي مجموع مربعات الأقطار:

أ ² + ب ² + ص ² + د ² = و ² + ع ²

إعادة ctángulo

المستطيل شكل رباعي أضلاعه المتقابلة متوازية اثنين في اثنين وله أيضًا زاوية قائمة. بمعنى آخر ، المستطيل هو نوع من متوازي الأضلاع بزاوية قائمة. نظرًا لأنه متوازي أضلاع ، فإن المستطيل له جوانب متقابلة متساوية الطول أ = ج و ب = د.

ولكن كما هو الحال في أي متوازي أضلاع ، تكون الزوايا المتجاورة مكملة والزوايا المقابلة متساوية ، في المستطيل لأن له زاوية قائمة ، فإنه سيشكل بالضرورة زوايا قائمة في الزوايا الثلاث الأخرى. بمعنى آخر ، قياس جميع الزوايا الداخلية في المستطيل 90º أو π / 2 راديان.

قطري المستطيل

في المستطيل ، تكون الأقطار متساوية الطول ، كما هو موضح أدناه. المنطق هو كما يلي؛ المستطيل هو متوازي أضلاع بجميع زواياه القائمة ، وبالتالي يرث جميع خصائص متوازي الأضلاع ، بما في ذلك الصيغة التي تعطي أطوال الأقطار:

و ² = أ ² + د ² + 2 إعلان كوس (α)

ز ² = أ ² + د ² - 2 إعلان كوس (α)

مع α = 90º

بما أن Cos (90º) = 0 ، يحدث أن:

و ² = ج ² = أ ² + د ²

وهذا يعني أن f = g ، وبالتالي فإن طولا f و g لقطري المستطيل متساويان ويتم تحديد طولهما بالصيغة التالية:

علاوة على ذلك ، إذا تم أخذ جانب واحد في مستطيل به جوانب متجاورة أ و ب كقاعدة ، فسيكون الجانب الآخر ارتفاعًا وبالتالي ستكون مساحة المستطيل:

مساحة المستطيل = فأس ب.

المحيط هو مجموع كل جوانب المستطيل ، ولكن بما أن الأضداد متساوية ، فإنه يتبع ذلك بالنسبة للمستطيل الذي له ضلعه أ و ب ، يتم إعطاء المحيط بالصيغة التالية:

محيط المستطيل = 2 (أ + ب)

الشكل 7. مستطيل مع الجانبين أ وب. القطران f و g متساويان في الطول. المصدر: F. Zapata.

ميدان

المربع عبارة عن مستطيل طول ضلعه المتجاور متماثل. إذا كان للمربع جانب أ ، فإن قطريه f و g لهما نفس الطول ، وهو f = g = (√2) a.

مساحة المربع هي مربع ضلعه:

مساحة المربع = أ ²

محيط المربع هو ضعف ضلع:

محيط المربع = 4 أ

شكل 8. مربع مع جانب أ ، يشير إلى مساحته ومحيطه وطول أقطاره. المصدر: F. Zapata..

الماس

المعين هو متوازي أضلاع مع ضلوعه المتجاورتين بنفس الطول ، ولكن نظرًا لأن الأضلاع المتقابلة في متوازي أضلاع متساوية ، فإن جميع جوانب المعين متساوية في الطول.

أقطار المعين لها أطوال مختلفة ، لكنها تتقاطع بزوايا قائمة.

شكل 9: دالتون من الضلع a ، يشير إلى مساحته ومحيطه وطول أقطاره. المصدر: F. Zapata.

أمثلة

مثال 1

أظهر أنه في الشكل الرباعي (غير المتقاطع) تضيف الزوايا الداخلية ما يصل إلى 360 درجة.

الشكل 10: يوضح كيف أن مجموع زوايا الشكل الرباعي يصل إلى 360 درجة. المصدر: F. Zapata.

يعتبر الشكل الرباعي ABCD (انظر الشكل 10) ويتم رسم القطر BD. يتم تشكيل مثلثين ABD و BCD. مجموع الزوايا الداخلية للمثلث ABD هو:

α + β ₁ + ₁ = 180 درجة

ومجموع الزوايا الداخلية للمثلث BCD هو:

β2 + γ + ₂ = 180 درجة

بإضافة المعادلتين اللتين نحصل عليهما

α + β ₁ + ₁ + β ₂ + + δ ₂ = 180º + 180º

التجمع:

α + (β ₁ + β ₂) + (δ ₁ + δ ₂) + γ = 2 * 180º

بالتجميع وإعادة التسمية ، يتضح أخيرًا أن:

α + β + δ + γ = 360º

مثال 2

بيّن أن متوسط ​​شبه المنحرف موازي لقواعده وأن طوله هو نصف القواعد.

الشكل 11. وسيط MN من شبه المنحرف ABCD. المصدر: F. Zapata.

وسيط شبه المنحرف هو الجزء الذي يصل بين نقاط المنتصف في جوانبه ، أي الأضلاع غير المتوازية. في شبه المنحرف ABCD الموضح في الشكل 11 ، الوسيط هو MN.

نظرًا لأن M هي نقطة منتصف AD و N هي نقطة منتصف BC ، فإن نسب AM / AD و BN / BC متساوية.

أي أن AM تتناسب مع BN بنفس النسبة مثل AD إلى BC ، لذلك يتم إعطاء شروط تطبيق نظرية طاليس (التبادلية) ، والتي تنص على ما يلي:

"إذا تم تحديد الأجزاء المتناسبة في ثلاثة أسطر أو أكثر مقطوعة بواسطة قاطعين ، فإن هذه الخطوط كلها متوازية."

في حالتنا ، نستنتج أن الخطوط MN و AB و DC متوازية مع بعضها البعض ، لذلك:

"وسيط شبه المنحرف موازي لقواعده."

الآن سيتم تطبيق نظرية طاليس:

"تحدد مجموعة المتوازيات المقطوعة بمقدار قاطعين أو أكثر الأجزاء المتناسبة."

في حالتنا AD = 2 AM ، AC = 2 AO ، لذا فإن المثلث DAC مشابه للمثلث MAO ، وبالتالي DC = 2 MO.

تسمح لنا حجة مماثلة بتأكيد أن CAB مشابه لـ CON ، حيث CA = 2 CO و CB = 2 CN. يتبع ذلك مباشرة أن AB = 2 ON.

باختصار ، AB = 2 ON و DC = 2 MO. لذلك عند الإضافة لدينا:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

أخيرًا ، تم مسح MN:

MN = (AB + DC) / 2

ويستنتج أن متوسط ​​شبه المنحرف يقيس نصف مجموع القواعد ، أو بعبارة أخرى: الوسيط يقيس مجموع القواعد مقسومًا على اثنين.

مثال 3

بيِّن أنه في المعين تتقاطع الأقطار بزوايا قائمة.

الشكل 12. المعين وإثبات أن أقطارها تتقاطع بزوايا قائمة. المصدر: F. Zapata.

تظهر السبورة في الشكل 12 البناء اللازم. أولًا ، يتم رسم متوازي الأضلاع ABCD باستخدام AB = BC ، أي المعين. يحدد القطران AC و DB ثماني زوايا موضحة في الشكل.

باستخدام النظرية (aip) التي تنص على أن الزوايا الداخلية البديلة بين المتوازيات المقطوعة بواسطة قاطع تحدد زوايا متساوية ، يمكننا تحديد ما يلي:

α ₁ = γ ₁ ، α2 = γ2 ، δ ₁ = β ₁ و δ2 = β2. (*)

من ناحية أخرى ، نظرًا لأن الأضلاع المتجاورة للمعين متساوية الطول ، فقد تم تحديد أربعة مثلثات متساوية الساقين:

DAB و BCD و CDA و ABC

الآن يتم استدعاء نظرية المثلث (متساوي الساقين) ، والتي تنص على أن الزوايا المجاورة للقاعدة متساوية في القياس ، والتي استنتج منها ما يلي:

δ ₁ = β2 ، δ2 = β ₁ ، α2 = γ ₁ و α ₁ = γ2 (**)

إذا تم الجمع بين العلاقات (*) و (**) ، يتم الوصول إلى المساواة التالية بين الزوايا:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ ₁ من ناحية و β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2 من ناحية أخرى.

باسترجاع نظرية المثلثات المتساوية التي تنص على أن مثلثين متساويين في الضلع بين زاويتين متساويتين ، لدينا:

AOD = AOB وبالتالي الزوايا ∡AOD = ∡AOB.

ثم ∡AOD + ∡AOB = 180º ، ولكن نظرًا لأن كلا الزاويتين متساويتان في القياس ، لدينا 2 ∡AOD = 180º مما يعني أن ∡AOD = 90º.

أي أنه يظهر هندسيًا أن قطري المعين يتقاطعان بزوايا قائمة.

تمارين حلها

- التمرين 1

أظهر أنه في شبه المنحرف الأيمن ، تكون الزوايا غير اليمنى مكملة.

المحلول

الشكل 13. شبه المنحرف الأيمن. المصدر: F. Zapata.

يتكون شبه المنحرف ABCD من قواعد AB و DC المتوازية. الزاوية الداخلية للرأس A صحيحة (قياسها 90 درجة) ، لذلك لدينا شبه منحرف قائم.

الزاويتان α و هما زاويتان داخليتان بين متوازيتين AB و DC ، وبالتالي فهما متساويتان ، أي δ = α = 90º.

من ناحية أخرى ، فقد ثبت أن مجموع الزوايا الداخلية للشكل الرباعي يصل إلى 360 درجة ، أي:

α + β + γ + δ = 90º + + 90º + δ = 360º.

ما سبق يؤدي إلى:

β + δ = 180º

وتأكيدًا لما كان المطلوب إظهاره ، فإن الزاويتين و مكملتان.

- تمرين 2

متوازي الأضلاع ABCD له AB = 2 سم و AD = 1 سم ، بالإضافة إلى أن الزاوية BAD تساوي 30º. أوجد مساحة متوازي الأضلاع هذا وطول قطريه.

المحلول

مساحة متوازي الأضلاع هي حاصل ضرب طول قاعدته وارتفاعه. في هذه الحالة ، سيؤخذ طول المقطع b = AB = 2 cm كأساس ، ويكون طول الجانب الآخر a = AD = 1 cm وسيتم حساب الارتفاع h على النحو التالي:

ع = AD * Sen (30º) = 1 سم * (1/2) = سم.

لذلك: المساحة = ب * ع = 2 سم * سم = 1 سم ².

المراجع

1. CEA (2003). عناصر الهندسة: مع التدريبات وهندسة البوصلة. جامعة ميديلين.
2. Campos ، F. ، Cerecedo ، FJ (2014). الرياضيات 2. افتتاحية Grupo باتريا.
3. فريد ، ك. (2007). اكتشف المضلعات. شركة بنشمارك التعليمية.
4. هندريك ، ف. (2013). المضلعات المعممة. بيرخاوسر.
5. IGER. (سادس). الرياضيات الفصل الدراسي الأول تاكانا. IGER.
6. هندسة الابن. (2014). المضلعات. لولو برس ، إنك.
7. ميلر ، هيرين ، وهورنسبي. (2006). الرياضيات: التفكير والتطبيقات (الإصدار العاشر). تعليم بيرسون.
8. باتينيو ، م. (2006). الرياضيات 5. الافتتاحية Progreso.
9. ويكيبيديا. الأشكال الرباعية. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com