المشتقات الجبرية (مع أمثلة) - رياضيات - 2026

و المشتقات الجبرية تتكون من الدراسة للمشتقات في حالة وظائف الجبرية. يعود أصل فكرة المشتق إلى اليونان القديمة. كان الدافع وراء تطوير هذه الفكرة هو الحاجة إلى حل مشكلتين مهمتين ، واحدة في الفيزياء والأخرى في الرياضيات.

في الفيزياء ، يحل المشتق مشكلة تحديد السرعة اللحظية لجسم متحرك. في الرياضيات ، يسمح لك بإيجاد خط المماس لمنحنى عند نقطة معينة.

على الرغم من وجود العديد من المشكلات التي يتم حلها باستخدام المشتق ، بالإضافة إلى تعميماته ، إلا أن النتائج جاءت بعد إدخال مفهومها.

رواد حساب التفاضل هما نيوتن ولايبنيز. قبل إعطاء التعريف الرسمي ، سنقوم بتطوير الفكرة الكامنة وراءه ، من وجهة نظر رياضية ومادية.

المشتق كميل لخط المماس لمنحنى

افترض أن الرسم البياني للدالة y = f (x) هو رسم بياني مستمر (بدون قمم أو رؤوس أو فجوات) ، ولنفترض أن A = (a ، f (a)) يكون نقطة ثابتة عليه. نريد إيجاد معادلة المماس لمنحنى الدالة f عند النقطة أ.

لنأخذ أي نقطة أخرى P = (x، f (x)) على الرسم البياني ، قريبة من النقطة A ، ونرسم الخط القاطع الذي يمر عبر A و P. الخط القاطع هو الخط الذي يقطع الرسم البياني للمنحنى بمقدار واحد أو نقاط أكثر.

للحصول على خط المماس الذي نريده ، نحتاج فقط إلى حساب الميل لأن لدينا بالفعل نقطة على الخط: النقطة أ.

إذا قمنا بتحريك النقطة P على طول الرسم البياني وجعلناها أقرب وأقرب إلى النقطة A ، فإن الخط القاطع المذكور سابقًا سيقترب من خط الظل الذي نريد إيجاده. بأخذ الحد عندما "P يميل إلى A" ، سيتطابق كلا الخطين ، وبالتالي منحدراتهما أيضًا.

يتم إعطاء ميل الخط القاطع بواسطة

القول بأن P يقترب من A يكافئ القول بأن "x" تقترب من "a". وبالتالي ، فإن ميل خط المماس للرسم البياني لـ f عند النقطة A سيكون مساويًا لـ:

يتم الإشارة إلى التعبير أعلاه بواسطة f '(a) ، ويتم تعريفه على أنه مشتق من الوظيفة f عند النقطة "a". لذلك ، نرى أنه من الناحية التحليلية ، فإن مشتقة دالة عند نقطة ما هي نهاية ، لكنها هندسيًا هي ميل الخط المماس لمنحنى الدالة عند النقطة.

الآن سوف ننظر إلى هذه الفكرة من وجهة نظر الفيزياء. سنصل إلى نفس التعبير عن الحد السابق ، وإن كان بطريقة مختلفة ، وبالتالي نحصل على إجماع التعريف.

المشتق هو السرعة اللحظية لجسم متحرك

لنلق نظرة على مثال موجز لما تعنيه السرعة اللحظية. عندما يقال ، على سبيل المثال ، أن سيارة تصل إلى وجهة فعلت ذلك بسرعة 100 كم في الساعة ، أي أنها قطعت 100 كم في ساعة واحدة.

هذا لا يعني بالضرورة أنه خلال الساعة بأكملها كانت السيارة دائمًا 100 كم ، يمكن لعداد السرعة في السيارة في بعض اللحظات أن يحدد أقل أو أكثر. إذا كنت بحاجة إلى التوقف عند إشارة مرور ، فإن سرعتك في ذلك الوقت كانت 0 كم. ومع ذلك ، بعد ساعة ، كانت الرحلة 100 كيلومتر.

هذا هو ما يُعرف بمتوسط ​​السرعة ويتم الحصول عليه من خلال حاصل قسمة المسافة المقطوعة والوقت المنقضي ، كما رأينا للتو. من ناحية أخرى ، فإن السرعة اللحظية هي التي تحدد إبرة عداد السرعة للسيارة في لحظة معينة (وقت).

دعونا نلقي نظرة على هذا الآن بشكل عام. افترض أن شيئًا ما يتحرك على طول خط وأن هذا الإزاحة يمثله المعادلة s = f (t) ، حيث يقيس المتغير t الوقت والمتغير s الإزاحة ، مع مراعاة بدايته عند اللحظة t = 0 ، وفي ذلك الوقت تكون أيضًا صفرًا ، أي f (0) = 0.

تُعرف هذه الوظيفة f (t) باسم وظيفة الموضع.

يتم البحث عن تعبير للسرعة اللحظية للجسم في لحظة ثابتة "a". بهذه السرعة سوف نشير إليها بواسطة V (a).

دعونا نكون قريبين من لحظة "أ". في الفترة الزمنية بين "a" و "t" ، يُعطى التغيير في موضع الكائن بواسطة f (t) -f (a).

متوسط ​​السرعة في هذه الفترة الزمنية هو:

وهو تقريب للسرعة اللحظية V (أ). سيكون هذا التقريب أفضل كلما اقتربت t من "a". وهكذا ،

لاحظ أن هذا التعبير هو نفسه الذي تم الحصول عليه في الحالة السابقة ، ولكن من منظور مختلف. هذا هو ما يُعرف باسم مشتق الدالة f عند النقطة "a" ويُشار إليه بالرمز f '(a) ، كما هو مذكور أعلاه.

لاحظ أن إجراء التغيير h = xa ، يكون لدينا ذلك عندما تميل "x" إلى "a" ، و "h" تميل إلى 0 ، ويتم تحويل الحد السابق (بشكل مكافئ) إلى:

كلا التعبيرين متكافئان ولكن في بعض الأحيان يكون من الأفضل استخدام أحدهما بدلاً من الآخر ، حسب الحالة.

يتم تعريف مشتق الدالة f عند أي نقطة تنتمي "x" إلى مجالها بطريقة أكثر عمومية على النحو التالي

أكثر الرموز شيوعًا لتمثيل مشتق دالة y = f (x) هي التي رأيناها للتو (f 'أو y'). ومع ذلك ، هناك تدوين آخر واسع الاستخدام وهو تدوين Leibniz والذي يتم تمثيله على أنه أي من التعبيرات التالية:

نظرًا لأن المشتق هو أساسًا حد ، فقد يكون موجودًا وقد لا يكون موجودًا ، لأن الحدود لا توجد دائمًا. في حالة وجودها ، يُقال أن الوظيفة المعنية قابلة للتفاضل عند نقطة معينة.

دالة جبرية

الوظيفة الجبرية هي مجموعة من كثيرات الحدود عن طريق الجمع والطرح والنواتج والحاصل والقوى والجذور.

كثير الحدود هو تعبير عن النموذج

الفوسفور _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

حيث n عدد طبيعي وكل a _i ، مع i = 0،1 ،… ، n هي أعداد منطقية و _n ≠ 0. في هذه الحالة ، يُقال أن درجة كثير الحدود هذه هي n.

فيما يلي أمثلة على الدوال الجبرية:

لا يتم تضمين الدوال الأسية واللوغاريتمية والمثلثية هنا. قواعد الاشتقاق التي سنراها لاحقًا صالحة للوظائف بشكل عام ، لكننا سنقيد أنفسنا ونطبقها في حالة الدوال الجبرية.

قواعد التجاوز

مشتق ثابت

ينص على أن مشتق ثابت يساوي صفرًا. أي إذا كانت f (x) = c ، فإن f '(x) = 0. على سبيل المثال ، مشتق الدالة الثابتة 2 يساوي 0.

مشتق من القوة

إذا كانت f (x) = x ⁿ ، فإن f '(x) = nx ^n-1. على سبيل المثال ، مشتق x ³ هو 3x ². نتيجة لذلك ، حصلنا على أن مشتق دالة الهوية f (x) = x هو f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

مثال آخر هو ما يلي: لنفترض أن f (x) = 1 / x ² ، ثم f (x) = x ^-2 و f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3.

هذه الخاصية هي أيضًا جذور صالحة ، لأن الجذور هي قوى عقلانية ويمكن أيضًا تطبيق ما سبق في هذه الحالة. على سبيل المثال ، مشتق الجذر التربيعي معطى بواسطة

مشتق الجمع والطرح

إذا كانت f و g دالات قابلة للتفاضل في x ، فإن مجموع f + g قابل للتفاضل أيضًا ويكون مقتنعًا بأن (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

وبالمثل ، لدينا هذا (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). بمعنى آخر ، مشتق المجموع (الطرح) هو مجموع (أو طرح) المشتقات.

مثال

إذا كانت h (x) = x ² + x-1 ، إذن

ح '(س) = (س ²) + (س)' - (1) '= 2 س + 1-0 = 2 س + 1.

مشتق من منتج

إذا كانت f و g دالات قابلة للتفاضل في x ، فإن المنتج fg يكون أيضًا قابلاً للاشتقاق في x وهذا صحيح

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

نتيجة لذلك ، فإن ذلك يعني أنه إذا كانت c ثابتة و f دالة قابلة للتفاضل في x ، فإن cf أيضًا قابلة للتفاضل في x و (cf) '(x) = cf' (X).

مثال

إذا كانت f (x) = 3x (x ² +1) ، إذن

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (س ² +1) + 3 س = 3 (س ² +1) + 3 س (2 س) = 3 س ² + 3 + ^{6 س 2}

= 9x ² +3.

مشتق من حاصل القسمة

إذا كانت f و g قابلة للتفاضل عند x و g (x) ≠ 0 ، فإن f / g تكون أيضًا قابلة للاشتقاق عند x ، وصحيح أن

مثال: إذا كانت h (x) = x ³ / (x ² -5x) ، إذن

ح '(س) = / (خ ⁵ -5x) ² = / (خ ⁵ -5x) ².

حكم السلسلة

تسمح هذه القاعدة باشتقاق تكوين الوظائف. اذكر ما يلي: إذا كانت y = f (u) قابلة للتفاضل عند u ، فإن yu = g (x) قابلة للتفاضل عند x ، فإن الوظيفة المركبة f (g (x)) قابلة للتفاضل عند x ، وصحيح أن '= f (ز (س)) ز '(خ).

بمعنى أن مشتق الوظيفة المركبة هو نتاج مشتق الوظيفة الخارجية (المشتق الخارجي) ومشتق الوظيفة الداخلية (المشتق الداخلي).

مثال

إذا و (س) = (س ⁴ -2x) ³ ، ثم

و '(س) = 3 (س ⁴ -2x) ² (س ⁴ -2x)' = 3 (س ⁴ -2x) ² (4X ³ -2).

هناك أيضًا نتائج لحساب مشتق معكوس الدالة ، بالإضافة إلى التعميم على المشتقات ذات الترتيب الأعلى. التطبيقات واسعة النطاق. من بينها ، تبرز فائدتها في مشاكل التحسين والوظائف القصوى والدنيا.

المراجع

1. ألاركون ، س. ، غونزاليس ، إم ، وكوينتانا ، هـ. (2008). التفاضل والتكامل. ITM.
2. كابريرا ، VM (1997). الحساب 4000. مقدمة افتتاحية.
3. كاستانو ، إتش إف (2005). الرياضيات قبل الحساب. جامعة ميديلين.
4. إدواردو ، NA (2003). مقدمة في حساب التفاضل والتكامل. طبعات العتبة.
5. فوينتيس ، أ. (2016). الرياضيات الأساسية. مقدمة في حساب التفاضل والتكامل. Lulu.com.
6. بورسيل ، EJ ، Rigdon ، SE ، & Varberg ، DE (2007). عملية حسابية. تعليم بيرسون.
7. ساينز ، ج. (2005). حساب التفاضل (الطبعة الثانية). باركيسيميتو: وتر المثلث.
8. Thomas ، GB ، & Weir ، MD (2006). الحساب: عدة متغيرات. تعليم بيرسون.