يتكون التحليل الجمعي لعدد صحيح موجب من التعبير عنه كمجموع اثنين أو أكثر من الأعداد الصحيحة الموجبة. وبالتالي ، يمكن التعبير عن الرقم 5 على أنه 5 = 1 + 4 ، 5 = 2 + 3 أو 5 = 1 + 2 + 2. كل طريقة من طرق كتابة الرقم 5 هي ما نسميه التحلل الإضافي.

إذا انتبهنا يمكننا أن نرى أن التعبيرات 5 = 2 + 3 و 5 = 3 + 2 تمثل نفس التكوين ؛ كلاهما لهما نفس الأرقام. ومع ذلك ، فقط للراحة ، تتم كتابة كل من الإضافات عادةً باتباع المعيار من الأدنى إلى الأعلى.

التحلل الإضافي

كمثال آخر ، يمكننا أخذ الرقم 27 ، والذي يمكننا التعبير عنه على النحو التالي:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

التحلل الإضافي هو أداة مفيدة للغاية تسمح لنا بتعزيز معرفتنا بأنظمة الترقيم.

التحلل المضاف المتعارف عليه

عندما يكون لدينا أعداد بها أكثر من رقمين ، فإن طريقة معينة لتحليلها هي مضاعفات 10 ، 100 ، 1000 ، 10000 ، إلخ ، التي تتكون منها. هذه الطريقة في كتابة أي رقم تسمى التحلل الجمعي المتعارف عليه. على سبيل المثال ، يمكن أن يتحلل الرقم 1456 على النحو التالي:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

إذا كان لدينا الرقم 20846295 ، فسيكون تحلل المادة المضافة المتعارف عليه:

20846295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6000 + 200 + 90 +5.

بفضل هذا التحلل ، يمكننا أن نرى أن قيمة رقم معين تُعطى من خلال الموضع الذي يشغله. لنأخذ الرقمين 24 و 42 كمثال:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

هنا يمكننا أن نرى أنه في 24 قيمة 2 20 وحدة و 4 قيمة 4 وحدات ؛ من ناحية أخرى ، في 42 ، 4 لها قيمة 40 وحدة و 2 من وحدتين. وبالتالي ، على الرغم من أن كلا الرقمين يستخدمان نفس الأرقام ، فإن قيمهما مختلفة تمامًا بسبب الموقع الذي يشغلانه.

التطبيقات

أحد التطبيقات التي يمكننا تقديمها للتحليل الجمعي هو في أنواع معينة من البراهين ، حيث من المفيد جدًا رؤية عدد صحيح موجب كمجموع للآخرين.

نظرية المثال

لنأخذ على سبيل المثال النظرية التالية مع البراهين الخاصة بها.

- لنفترض أن Z عددًا صحيحًا مكونًا من 4 أرقام ، فإن Z قابلة للقسمة على 5 إذا كان الرقم المقابل للوحدات هو صفر أو خمسة.

برهنة

دعونا نتذكر ما هو القسمة. إذا كان لدينا أعداد صحيحة "أ" و "ب" ، فإننا نقول إن "أ" يقسم "ب" إذا كان هناك عدد صحيح "ج" بحيث يكون ب = أ * ج.

تخبرنا إحدى خصائص القابلية للقسمة أنه إذا كانت "a" و "b" قابلة للقسمة على "c" ، فإن الطرح "ab" يكون قابلاً للقسمة أيضًا.

دع Z يكون عددًا صحيحًا من 4 أرقام ؛ لذلك ، يمكننا كتابة Z كـ Z = ABCD.

باستخدام التحلل الجمعي الكنسي لدينا:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

من الواضح أن A * 1000 + B * 100 + C * 10 قابلة للقسمة على 5. لهذا لدينا أن Z قابلة للقسمة على 5 إذا كان Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) يقبل القسمة على 5.

لكن Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D و D هو رقم مكون من رقم واحد ، لذا فإن الطريقة الوحيدة للقسمة على 5 هي أن تكون 0 أو 5.

لذلك ، Z قابلة للقسمة على 5 إذا كانت D = 0 أو D = 5.

لاحظ أنه إذا كان Z يحتوي على عدد n من الأرقام ، فإن الإثبات هو نفسه تمامًا ، فإنه يتغير فقط الآن حيث نكتب Z = A ₁ A ₂ … A _n وسيكون الهدف هو إثبات أن A _n يساوي صفرًا أو خمسة.

أقسام

نقول إن قسم عدد صحيح موجب هو إحدى الطرق التي يمكننا من خلالها كتابة رقم كمجموع أعداد صحيحة موجبة.

يتمثل الاختلاف بين التحلل الإضافي والقسم في أنه في حين أن القسم الأول يسعى إلى أنه على الأقل يمكن تحللها إلى إضافتين أو أكثر ، فإن القسم لا يحتوي على هذا القيد.

وبالتالي لدينا ما يلي:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

ما سبق هو أقسام من 5.

وهذا يعني أن كل تحلل مضاف هو قسم ، ولكن ليس كل قسم بالضرورة تحلل مضاف.

في نظرية الأعداد ، تضمن النظرية الحسابية الأساسية أن كل عدد صحيح يمكن كتابته بشكل فريد كمنتج للأعداد الأولية.

عند دراسة الأقسام ، يكون الهدف هو تحديد عدد الطرق التي يمكن بها كتابة عدد صحيح موجب كمجموع أعداد صحيحة أخرى. لذلك ، نحدد وظيفة التقسيم كما هو موضح أدناه.

تعريف

يتم تعريف دالة القسم p (n) على أنها عدد الطرق التي يمكن بها كتابة عدد صحيح موجب n كمجموع من الأعداد الصحيحة الموجبة.

بالعودة إلى مثال 5 ، لدينا ما يلي:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

وهكذا ، ف (5) = 7.

الرسومات

يمكن تمثيل كل من الأقسام والتحليلات المضافة لرقم n هندسيًا. لنفترض أن لدينا تحلل مضاف لـ n. في هذا التحلل يمكن ترتيب الإضافات بحيث يتم ترتيب أعضاء المجموع من الأصغر إلى الأكبر. إذا، لا بأس:

ن = أ ₁ + أ ₂ + أ ₃ +… + أ _ص مع

أ ₁ ≤ أ ₂ ≤ أ ₃ … أ _ص.

يمكننا الرسم البياني هذا التحلل على النحو التالي: في الصف الأول نحتفل ₁ للنقاط، ثم في القادم نحتفل ₂ نقاط ووهكذا حتى نصل إلى _ص.

خذ على سبيل المثال الرقم 23 وتحللها التالي:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

نطلب هذا التحلل ولدينا:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

سيكون الرسم البياني المقابل لها: