متباينة المثلث: برهان ، أمثلة ، تمارين محلولة - رياضيات - 2025

يطلق عليه خاصية المثلث غير المتكافئ التي تلبي رقمين حقيقيين يتألفان من القيمة المطلقة لمجموعها دائمًا ما تكون أقل من أو تساوي مجموع قيمها المطلقة. تُعرف هذه الخاصية أيضًا باسم عدم المساواة في Minkowski أو عدم المساواة المثلثية.

تسمى خاصية الأرقام هذه المتباينة المثلثية لأنه يحدث في المثلثات أن يكون طول أحد الأضلاع دائمًا أقل من أو يساوي مجموع الضلعين الآخرين ، على الرغم من أن هذه المتباينة لا تنطبق دائمًا في منطقة المثلثات.

الشكل 1. القيمة المطلقة لمجموع عددين دائمًا ما تكون أقل من أو تساوي مجموع قيمهما المطلقة. (من إعداد ر.بيريز)

هناك عدة أدلة على عدم المساواة المثلثية في الأعداد الحقيقية ، ولكن في هذه الحالة سنختار واحدًا بناءً على خصائص القيمة المطلقة ومربع ذي الحدين.

النظرية: لكل زوج من الأرقام a و b ينتمون إلى الأعداد الحقيقية لدينا:

- أ + ب - ≤ - أ - + - ب -

برهنة

نبدأ بالنظر إلى العنصر الأول في المتباينة ، والذي سيتم تربيعه:

- أ + ب - ^ 2 = (أ + ب) ^ 2 = أ ^ 2 + 2 أب + ب ^ 2 (مكافئ 1)

في الخطوة السابقة ، استخدمنا خاصية أن أي عدد تربيع يساوي القيمة المطلقة للرقم التربيعي المذكور ، أي: -x- ^ 2 = x ^ 2. كما تم استخدام التوسع ذو الحدين المربع.

كل عدد س أقل من أو يساوي قيمتها المطلقة. إذا كان الرقم موجبًا فهو متساوٍ ، ولكن إذا كان الرقم سالبًا فسيظل دائمًا أقل من رقم موجب. في هذه الحالة ، قيمته المطلقة ، أي أنه يمكن تحديد x ≤ - x -.

المنتج (ab) هو رقم ، لذلك ينطبق (ab) ≤ - ab -. عندما يتم تطبيق هذه الخاصية على (مكافئ 1) لدينا:

- أ + ب - ^ 2 = أ ^ 2 + 2 (أب) + ب ^ 2 ≤ أ ^ 2 + 2 - أب - + ب ^ 2 (مكافئ 2)

مع مراعاة أن - ab - = - a - b - la (المعادلة 2) يمكن كتابتها على النحو التالي:

- أ + ب - ^ 2 ≤ أ ^ 2 + 2 - أ - ب - + ب ^ 2 (مكافئ 3)

ولكن بما أننا قلنا من قبل أن مربع الرقم يساوي القيمة المطلقة للعدد التربيعي ، فيمكن إعادة كتابة المعادلة 3 على النحو التالي:

- أ + ب - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (مكافئ 4)

في العنصر الثاني من عدم المساواة ، يتم التعرف على منتج رائع ، والذي يؤدي عند تطبيقه إلى:

- أ + ب - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (مكافئ 5)

في التعبير السابق ، تجدر الإشارة إلى أن القيم المراد تربيعها في كل من أعضاء عدم المساواة موجبة ، لذلك يجب أيضًا أن يكون مقتنعًا بما يلي:

- أ + ب - ≤ (-a- + -b-) (مكافئ 6)

التعبير السابق هو بالضبط ما أردت إظهاره.

أمثلة

بعد ذلك سوف نتحقق من المتباينة المثلثية بعدة أمثلة.

مثال 1

نأخذ القيمة a = 2 والقيمة b = 5 ، أي كلاهما رقمان موجبان ونتحقق مما إذا كانت المتباينة محققة أم لا.

- 2 + 5 - -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 2+ 5

تم التحقق من المساواة ، لذلك تم استيفاء نظرية المثلث عدم المساواة.

مثال 2

تم اختيار القيمتين التاليتين a = 2 و b = -5 ، أي رقم موجب والآخر سلبي ، نتحقق مما إذا كانت المتباينة محققة أم لا.

- 2-5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 2 + 5

تم استيفاء عدم المساواة ، لذلك تم التحقق من نظرية عدم المساواة المثلثية.

مثال 3

نأخذ القيمة a = -2 والقيمة b = 5 ، أي عدد سالب والآخر موجب ، نتحقق مما إذا كانت المتباينة محققة أم لا.

- -2 + 5 - --2- + -5-

- 3 - --2- + -5-

3 2 + 5

تم التحقق من عدم المساواة ، وبالتالي تم استيفاء النظرية.

مثال 4

تم اختيار القيمتين التاليتين a = -2 و b = -5 ، أي كلاهما رقمان سالبان ونتحقق مما إذا كانت عدم المساواة محققة أم لا.

- -2 - 5 - --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 2+ 5

تم التحقق من المساواة ، لذلك تم تحقيق نظرية مينكوفسكي في عدم المساواة.

مثال 5

نأخذ القيمة أ = 0 والقيمة ب = 5 ، أي رقم صفر والآخر موجب ، ثم نتحقق مما إذا كانت المتباينة محققة أم لا.

- 0 + 5 - -0- + -5-

- 5 - -0- + -5-

5 ≤ 0 +5

تم تحقيق المساواة ، لذلك تم التحقق من نظرية المثلث عدم المساواة.

مثال 6

نأخذ القيمة a = 0 والقيمة b = -7 ، أي رقم صفر والآخر موجب ، ثم نتحقق مما إذا كانت المتباينة محققة أم لا.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+7

يتم التحقق من المساواة ، وبالتالي تم تحقيق نظرية عدم المساواة المثلثية.

تمارين محلولة

في التدريبات التالية ، قم بتمثيل متباينة المثلث أو متباينة Minkowski هندسيًا للأرقام a و b.

سيتم تمثيل الرقم a كقطعة على المحور X ، وأصله O يتطابق مع صفر المحور X ، وسيكون الطرف الآخر من المقطع (عند النقطة P) في الاتجاه الإيجابي (إلى اليمين) من المحور X إذا كان > 0 ، ولكن إذا كانت القيمة <0 ، فستكون باتجاه الاتجاه السلبي للمحور X ، أي عدد الوحدات التي تشير إليها قيمتها المطلقة.

وبالمثل ، سيتم تمثيل الرقم ب كقطعة أصلها على النقطة P. الطرف الآخر ، أي النقطة Q ستكون على يمين P إذا كانت b موجبة (b> 0) وستكون النقطة Q هي -b - الوحدات الموجودة على يسار P إذا كانت b <0.

التمرين 1

ارسم متباينة المثلث من أجل a = 5 و b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b - حيث c = a + b.

تمرين 2

ارسم المتباينة المثلثية من أجل a = 5 و b = -3.

- أ + ب - ≤ - أ - + - ب - ، حيث ج = أ + ب.

التمرين 3

وضح بيانياً متباينة المثلث لـ a = -5 و b = 3.

- أ + ب - ≤ - أ - + - ب - ، حيث ج = أ + ب.

التمرين 4

كوّن المتباينة المثلثية بيانياً من أجل a = -5 و b = -3.

- أ + ب - ≤ - أ - + - ب - ، حيث ج = أ + ب.

المراجع

1. إي وايتسيت. (1980) الجبر البولي وتطبيقاته. شركة التحرير كونتيننتال كاليفورنيا
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) عناصر التحليل المجرد.. قسم الرياضيات. كلية دبلن الجامعية ، بيلدفيلد ، دوبليند.
3. جيه فان ويك. (2006) الرياضيات والهندسة في علوم الكمبيوتر. معهد علوم وتكنولوجيا الحاسوب. المكتب الوطني للمعايير. واشنطن العاصمة 20234
4. اريك ليمان. الرياضيات لعلوم الكمبيوتر. شركة جوجل.
5. ف طومسون لايتون (1980). حساب التفاضل والتكامل. قسم الرياضيات وعلوم الكمبيوتر ومختبر الذكاء الاصطناعي ، معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
6. أكاديمية خان. نظرية المثلث عدم المساواة. تم الاسترجاع من: khanacademy.org
7. ويكيبيديا. عدم المساواة المثلثية. تعافى من: es. wikipedia.com