القطر: الرموز والصيغ ، كيفية الحصول عليها ، المحيط - رياضيات - 2026

و قطر هي الخط المستقيم الذي يمر من خلال مركز منحنى شقة مغلقة أو شخصية في اثنين أو ثلاثة أبعاد والذي ينضم أيضا نقطة نقيضه. عادة ما تكون عبارة عن دائرة (منحنى مسطح) ، أو دائرة (شكل مسطح) ، أو كرة أو أسطوانة دائرية قائمة (كائنات ثلاثية الأبعاد).

على الرغم من أن المحيط والدائرة عادة ما يتم اعتبارهما مترادفين ، إلا أن هناك فرقًا بين المصطلحين. المحيط هو المنحنى المغلق الذي يحيط بالدائرة ، والذي يفي بشرط أن تكون المسافة بين أي من نقاطها والمركز هي نفسها. هذه المسافة ليست سوى نصف قطر المحيط. بدلاً من ذلك ، تكون الدائرة عبارة عن شكل مسطح يحدها المحيط.

الشكل 1. قطر عجلات الدراجات هو سمة مهمة في تصميمها. المصدر: Pixabay.

في حالة المحيط والدائرة والكرة ، يكون القطر عبارة عن مقطع مستقيم يحتوي على ثلاث نقاط على الأقل: المركز زائد نقطتين من حافة المحيط أو الدائرة ، أو سطح الكرة.

أما بالنسبة للأسطوانة الدائرية اليمنى ، فإن القطر يشير إلى المقطع العرضي ، والذي يعد مع الارتفاع معلمتين مميزتين لها.

يرتبط قطر المحيط والدائرة ، اللذين يرمز لهما بعلامة ø أو ببساطة الحرف "D" أو "d" ، بمحيطه أو محيطه أو طوله ، والذي يُشار إليه بالحرف L:

L = π.D = π. أو

متى كان هناك محيط ، فإن الحاصل بين طوله وقطره هو الرقم غير النسبي π = 3.14159… ، بهذه الطريقة:

π = L / D

كيف تحصل على القطر؟

عندما يكون لديك رسم محيط أو دائرة ، أو جسم دائري بشكل مباشر ، مثل عملة معدنية أو حلقة على سبيل المثال ، فمن السهل جدًا العثور على القطر باستخدام المسطرة. عليك فقط التأكد من أن حافة المسطرة تلامس نقطتين على المحيط ومركزها في نفس الوقت.

يعتبر الفرجار أو الورنية أو الفرجار مناسبًا جدًا لقياس الأقطار الخارجية والداخلية على العملات المعدنية والأطواق والحلقات والصواميل والأنابيب والمزيد.

الشكل 2. رنيه رقمي يقيس قطر العملة. المصدر: Pixabay.

إذا كان لدينا بيانات مثل نصف القطر R بدلاً من الكائن أو رسمه ، فسنحصل على القطر عند الضرب في 2. وإذا كان طول المحيط أو محيطه معروفًا ، فيمكن أيضًا معرفة القطر ، عن طريق مسح:

هناك طريقة أخرى لإيجاد القطر وهي معرفة مساحة الدائرة أو السطح الكروي أو المقطع العرضي للأسطوانة أو المنطقة المنحنية للأسطوانة أو أحجام الكرة أو الأسطوانة. كل هذا يتوقف على الشكل الهندسي. على سبيل المثال ، يشارك القطر في المجالات والأحجام التالية:

- مساحة الدائرة: π. (د / 2) ^2-

مساحة السطح الكروي: 4π. (د / 2) ²

-حجم الكرة: (4/3) π. (د / 2) ^3-

حجم الكرة الاسطوانة الدائرية اليمنى: π. (D / 2) ².H (H هو ارتفاع الاسطوانة)

أرقام عرض ثابتة

الدائرة عبارة عن شكل مسطح ذي عرض ثابت ، حيث أينما نظرت إليها ، يكون العرض هو القطر D. ومع ذلك ، هناك أشكال أخرى ربما أقل شهرة يكون عرضها ثابتًا أيضًا.

أولاً ، دعنا نرى ما يمكن فهمه من خلال عرض الشكل: إنها المسافة بين خطين متوازيين - خطوط الدعم - والتي بدورها تكون متعامدة مع الاتجاه المحدد والتي تحبس الشكل ، كما هو موضح في الصورة اليسرى:

الشكل 3. عرض أي شكل مسطح (يسار) ومثلث Reuleaux ، شكل عرض ثابت (يمين). المصدر: F. Zapata.

يوجد بجانب اليمين مثلث Reuleaux ، وهو شكل ذو عرض ثابت ويتوافق مع الشرط المحدد في الشكل الأيسر. إذا كان عرض الشكل هو D ، يتم إعطاء محيطه من خلال نظرية باربييه:

L = π.D

مجاري مدينة سان فرانسيسكو في كاليفورنيا على شكل مثلث Reuleaux ، الذي سمي على اسم المهندس الألماني Franz Reuleaux (1829 - 1905). وبهذه الطريقة لا يمكن للأغطية أن تسقط من خلال الفتحة ويتم استخدام مواد أقل لتصنيعها ، حيث أن مساحتها أقل من مساحة الدائرة:

أ = (1- √3).π د ² = 0.705. د ²

أثناء وجود دائرة:

أ = π. (د / 2) ² = (/ 4) د ² = 0.785. د ²

لكن هذا المثلث ليس الشكل الوحيد للعرض الثابت. يمكنك بناء ما يسمى مضلعات Reuleaux مع مضلعات أخرى لها عدد فردي من الأضلاع.

قطر المحيط

في الشكل التالي توجد عناصر الدائرة ، كما يلي:

الوتر: مقطع خطي يصل بين نقطتين على المحيط. في الشكل هو الوتر الذي يربط بين النقطتين C و D ، ولكن يمكن رسم أوتار غير محدودة تربط أي زوج من النقاط على المحيط.

القطر: هو الوتر الذي يمر عبر المركز لربط نقطتين من المحيط بالمركز O. وهو أطول وتر في المحيط ، ولهذا السبب يطلق عليه "الوتر الرئيسي".

نصف القطر: قطعة خطية تربط المركز بأي نقطة على المحيط. قيمته ، مثل القطر ، ثابتة.

المحيط: هو مجموعة جميع النقاط على مسافة متساوية من O.

القوس: يتم تعريفه على أنه مقطع محيط محدد بنصف قطر (غير مرسوم في الشكل).

الشكل 4. أجزاء من المحيط ، بما في ذلك القطر ، الذي يمر عبر المركز. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

- مثال 1

يبلغ ارتفاع المستطيل الموضح 10 بوصات ، ويشكل عند دحرجته أسطوانة دائرية قائمة قطرها 5 بوصات. اجب على الاسئلة التالية:

الشكل 5. يصبح المستطيل الملفوف أسطوانة دائرية قائمة. المصدر: Jiménez، R. Mathematics II. الهندسة وعلم المثلثات. الثاني. الإصدار. بيرسون.

أ) ما هو محيط الأنبوب؟

ب) أوجد مساحة المستطيل

ج) أوجد مساحة المقطع العرضي للأسطوانة.

الاجابه على

مخطط الأنبوب هو L = π.D = 5π بوصة = 15.71 بوصة.

الحل ب

مساحة المستطيل هي القاعدة × الارتفاع ، مع حساب القاعدة L بالفعل والارتفاع 10 بوصات وفقًا للبيان ، لذلك:

A = 15.71 بوصة × 10 بوصة = 157.1 بوصة ².

الحل ج

أخيرًا ، يتم حساب المنطقة المطلوبة على النحو التالي:

أ = π. (د / 2) ² = (/ 4) د ² = (/ 4) × (5 بوصات) ² = 19.63 بوصة ².

- المثال 2

احسب المنطقة المظللة في الشكل 5 أ. المربع له ضلع L.

الشكل 6. أوجد المنطقة المظللة في الشكل الأيسر. جيمينيز ، ر. الرياضيات الثاني. الهندسة وعلم المثلثات. الثاني. الإصدار. بيرسون.

المحلول

في الشكل 5 ب ، تم رسم دائرتين متماثلتين الحجم باللونين الوردي والأزرق ، وتم فرضهما على الشكل الأصلي. بينهما يشكلون دائرة كاملة. إذا وجدت مساحة المربع وطرح مساحة الدائرة ، فإنك تصنع المنطقة المظللة في الشكل 5 ب. وبالنظر عن كثب ، يتبين أنها نصف المساحة المظللة في 5 أ.

- المساحة المربعة: L ^{2 -}

قطر نصف الدائرة: L - مساحة

الدائرة: π. (L / 2) ² = (/ 4) L ^{2 -}

فرق المساحات = نصف المساحة المظللة =

L ² - (/ 4) L ² = L ² = 0.2146 لتر ²

- المساحة المظللة = 2 × 0.2146 لتر ² = 0.4292 لتر ²

كم أقطار له محيط؟

يمكنك رسم أقطار لا نهائية على دائرة ، وأي منها يقيس نفس الشيء.

المراجع

1. انطونيو. مثلثات Reuleaux ومنحنيات العرض الثابت الأخرى. تم الاسترجاع من: divulgators.com.
2. Baldor، A. 2002. هندسة الطائرات والفضاء وعلم المثلثات. مجموعة باتريا الثقافية.
3. جيمينيز ، ر. الرياضيات الثاني. الهندسة وعلم المثلثات. الثاني. الإصدار. بيرسون.
4. ويكيبيديا. مثلث رولو. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.org.
5. ولفرام ماثوورلد. قطر الدائرة. تم الاسترجاع من: mathworld.wolfram.com.