و الفرق من مكعبات هو تعبير جبري ذي الحدين النموذج ل 3 - ب 3 ، حيث حيث a و b يمكن أن تكون أرقام حقيقية أو عبارات جبرية من مختلف الأنواع. مثال على اختلاف المكعبات هو: 8 - × 3 ، حيث يمكن كتابة 8 بالشكل 2 3.
هندسيًا يمكننا التفكير في مكعب كبير ، جانبه أ ، يُطرح منه المكعب الصغير مع الجانب ب ، كما هو موضح في الشكل 1:
الشكل 1. فرق المكعبات. المصدر: F. Zapata.
حجم الشكل الناتج هو بالضبط اختلاف المكعبات:
الخامس = أ 3 - ب 3
للعثور على تعبير بديل ، لوحظ أن هذا الشكل يمكن أن يتحلل إلى ثلاثة مناشير ، كما هو موضح أدناه:
الشكل 2. الفرق بين المكعبات (يسار المساواة) يساوي مجموع الأحجام الجزئية (يمين). المصدر: F. Zapata.
المنشور له حجم مُعطى بمنتج أبعاده الثلاثة: العرض × الارتفاع × العمق. بهذه الطريقة ، يكون الحجم الناتج هو:
ف = أ 3 - ب 3 = أ 2. ب + ب 3 + أب 2
العامل ب مشترك على اليمين. علاوة على ذلك ، في الشكل الموضح أعلاه ، من الصحيح بشكل خاص أن:
ب = (أ / 2) ⇒ أ = ب + ب
لذلك يمكن القول: ب = أ - ب. بهذا الشكل:
هذه الطريقة للتعبير عن اختلاف المكعبات ستثبت أنها مفيدة جدًا في العديد من التطبيقات وكان يمكن الحصول عليها بنفس الطريقة ، حتى لو كان جانب المكعب المفقود في الزاوية مختلفًا عن ب = أ / 2.
لاحظ أن الأقواس الثانية تشبه إلى حد كبير حاصل الضرب الملحوظ لمربع المجموع ، لكن الحد المتقاطع لا يتم ضربه في 2. يمكن للقارئ توسيع الجانب الأيمن للتحقق من الحصول على a 3 - b 3 بالفعل.
أمثلة
هناك عدة اختلافات في المكعبات:
1 - م 6
و 6 ب 3 - 8Z 12 و 6
(1/125).x 6 - 27.y 9
دعونا نحلل كل واحد منهم. في المثال الأول ، يمكن كتابة 1 بالشكل 1 = 1 3 ويصبح المصطلح م 6: (م 2) 3. كلا المصطلحين عبارة عن مكعبات كاملة ، وبالتالي فإن الاختلاف بينهما هو:
1 - م 6 = 1 3 - (م 2) 3
في المثال الثاني ، تمت إعادة كتابة المصطلحات:
أ 6 ب 3 = (أ 2 ب) 3
8z 12 y 6 = 2 3 (z 4) 3 (y 2) 3 = (2z 4 y 2) 3
الفرق بين هذه المكعبات هو: (أ 2 ب) 3 - (2 ز 4 ص 2) 3.
أخيرًا ، الكسر (1/125) هو (1/5 3) ، س 6 = (س 2) 3 ، 27 = 3 3 ، ص 9 = (ص 3) 3. باستبدال كل هذا في التعبير الأصلي ، تحصل على:
(1/125).x 6 - 27y 9 = 3 - (3y 3) 3
تحليل فرق المكعبات
يبسط تحليل فرق المكعبات العديد من العمليات الجبرية. للقيام بذلك ، ما عليك سوى استخدام الصيغة المستخلصة أعلاه:
الشكل 3. تحليل الفرق بين المكعبات والتعبير عن حاصل قسمة ملحوظ. المصدر: F. Zapata.
الآن ، يتكون إجراء تطبيق هذه الصيغة من ثلاث خطوات:
- في المقام الأول يتم الحصول على الجذر التكعيبي لكل من شروط الاختلاف.
- ثم يتم تكوين ثنائية الحدين وثلاثية الحدود التي تظهر على الجانب الأيمن من الصيغة.
- أخيرًا ، يتم استبدال ذات الحدين وثلاثية الحدود للحصول على العامل النهائي.
دعنا نوضح استخدام هذه الخطوات مع كل من أمثلة فرق المكعب المقترحة أعلاه ، وبالتالي نحصل على مكافئها المعامل.
مثال 1
حلل التعبير 1 - m 6 باتباع الخطوات الموضحة. نبدأ بإعادة كتابة التعبير كما يلي: 1 - م 6 = 1 3 - (م 2) 3 لاستخراج الجذور التكعيبية الخاصة بكل مصطلح:
بعد ذلك ، يتم إنشاء ذات الحدين وثلاثية الحدود:
أ = 1
ب = م 2
وبالتالي:
أ - ب = 1 - م 2
(أ 2 + أب + ب 2) = 1 2 + 1. م 2 + (م 2) 2 = 1 + م 2 + م 4
أخيرًا ، يتم استبداله في الصيغة أ 3 - ب 3 = (أب) (أ 2 + أب + ب 2):
1 - م 6 = (1 - م 2) (1 + م 2 + م 4)
مثال 2
حلل إلى عوامل:
أ 6 ب 3 -8 ع 12 ص 6 = (أ 2 ب) 3 - (2 ز 4 ص 2) 3
نظرًا لأن هذه المكعبات مثالية ، فإن الجذور التكعيبية فورية: أ 2 ب و 2 ز 4 و 2 ، ومن هنا يتبع ذلك:
- ذو الحدين: a 2 b - 2z 4 and 2
- ثلاثي الحدود: (أ 2 ب) 2 + أ 2 ب. 2z 4 y 2 + (a 2 b + 2z 4 y 2) 2
والآن يتم إنشاء العامل المطلوب:
أ 6 ب 3 -8 ع 12 ص 6 = (أ 2 ب - 2 ع 4 ص 2). =
= (أ 2 ب - 2 ع 4 ص 2).
من حيث المبدأ ، يكون التخصيم جاهزًا ، ولكن غالبًا ما يكون من الضروري تبسيط كل مصطلح. ثم يتم تطوير المنتج الرائع - مربع المجموع - الذي يظهر في النهاية ثم يتم إضافة المصطلحات المتشابهة. تذكر أن مربع المجموع هو:
تم تطوير المنتج البارز الموجود على اليمين على النحو التالي:
(a 2 b + 2z 4 and 2) 2 = a 4 b 2 + 4a 2 b.z 4 and 2 + 4z 8 and 4
استبدال التمدد الناتج في تحليل فرق المكعبات:
أ 6 ب 3 -8 ع 12 ص 6 = (أ 2 ب - 2 ع 4 ص 2). =
أخيرًا ، عند تجميع المصطلحات المتشابهة وتحويل المعاملات العددية إلى عوامل متساوية ، نحصل على:
(أ 2 ب - 2 ز 4 ص 2). = 2 (أ 2 ب - 2 ع 4 ص 2).
مثال 3
التحليل إلى عوامل (1/125) × 6 - 27y 9 أسهل بكثير من الحالة السابقة. أولاً ، يتم تحديد معادلات a و b:
أ = (1/5) × 2
ب = 3 ص 3
ثم يتم استبدالهم مباشرة في الصيغة:
(1/125). X 6 - 27y 9 =.
تمرين حل
إن اختلاف المكعبات ، كما قلنا ، له تطبيقات متنوعة في الجبر. دعونا نرى بعضًا:
التمرين 1
حل المعادلات التالية:
أ) س 5 - 125 × 2 = 0
ب) 64-729 × 3 = 0
الاجابه على
أولاً ، يتم تحليل المعادلة بهذه الطريقة:
× 2 (× 3 - 125) = 0
نظرًا لأن 125 مكعب كامل ، تتم كتابة الأقواس على هيئة فرق بين المكعبات:
× 2. (س 3 - 5 3) = 0
الحل الأول هو س = 0، ولكن نجد أكثر إذا جعلنا س 3 - 5 3 = 0، ثم:
س 3 = 5 3 ← س = 5
الحل ب
تتم إعادة كتابة الجانب الأيسر من المعادلة بالشكل 64-729 × 3 = 4 3 - (9x) 3. هكذا:
4 3 - (9x) 3 = 0
بما أن الأس هو نفسه:
9x = 4 → x = 9/4
تمرين 2
عامل التعبير:
(س + ص) 3 - (س - ص) 3
المحلول
هذا التعبير هو اختلاف في المكعبات ، إذا لاحظنا في صيغة التحليل أن:
أ = س + ص
ب = س- ص
ثم يتم إنشاء ذات الحدين أولاً:
أ - ب = س + ص - (س- ص) = 2 ص
والآن ثلاثي الحدود:
أ 2 + أب + ب 2 = (س + ص) 2 + (س + ص) (س ص) + (س ص) 2
تم تطوير المنتجات البارزة:
بعد ذلك ، عليك استبدال المصطلحات المشابهة وتقليلها:
أ 2 + أب + ب 2 = س 2 + 2 س ص + ص 2 + س 2 - ص 2 + س 2 - 2 س ص + ص 2 = 3 س 2 + ص 2
نتائج التخصيم في:
(س + ص) 3 - (س - ص) 3 = 2 ص. (3 × 2 + ص 2)
المراجع
- بالدور ، أ. 1974. الجبر. الافتتاحية الثقافية فينزولانا SA
- مؤسسة CK-12. مجموع المكعبات وفرقها. تم الاسترجاع من: ck12.org.
- أكاديمية خان. تحليل الفروق بين المكعبات. تم الاسترجاع من: es.khanacademy.org.
- الرياضيات متعة متقدمة. الفرق بين مكعبين. تم الاسترجاع من: mathsisfun.com
- UNAM. تحليل فرق المكعبات. تم الاسترجاع من: dcb.fi-c.unam.mx.