المسافة الإقليدية: المفهوم ، الصيغة ، الحساب ، المثال - رياضيات - 2024

و المسافة الإقليدية هو رقم الإيجابي الذي يشير إلى الفصل بين نقطتين في الفضاء حيث توفرت البديهيات والنظريات للهندسة إقليدس.

المسافة بين النقطتين A و B في الفضاء الإقليدي هي طول المتجه AB الذي ينتمي إلى الخط الوحيد الذي يمر عبر هذه النقاط.

شكل 1. الفضاء الإقليدي أحادي البعد الذي شكله الخط (OX). يتم عرض عدة نقاط على الفضاء المذكور وإحداثياتها ومسافاتها. (من إعداد ريكاردو بيريز).

الفضاء الذي يدركه البشر وحيث نتحرك هو فضاء ثلاثي الأبعاد (3-D) ، حيث تتحقق البديهيات والنظريات في هندسة إقليدس. يتم تضمين المساحات الفرعية ثنائية الأبعاد (المستويات) والمسافات الفرعية أحادية البعد (الخطوط) في هذا الفضاء.

يمكن أن تكون المساحات الإقليدية أحادية البعد (1-D) ، ثنائية الأبعاد (2-D) ، ثلاثية الأبعاد (3-D) ، أو n-الأبعاد (nD).

النقاط في الفضاء أحادي البعد X هي تلك التي تنتمي إلى الخط الموجه (OX) ، والاتجاه من O إلى X هو الاتجاه الإيجابي. لتحديد موقع النقاط على هذا الخط ، يتم استخدام النظام الديكارتي ، والذي يتكون من تخصيص رقم لكل نقطة من الخط.

معادلة

تُعرَّف المسافة الإقليدية d (A ، B) بين النقطتين A و B ، الواقعة على خط ما ، بأنها الجذر التربيعي لمربع الاختلافات في إحداثيات X الخاصة بهم:

د (أ ، ب) = √ ((XB - XA) ^ 2)

يضمن هذا التعريف أن: المسافة بين نقطتين دائمًا كمية موجبة. وأن المسافة بين A و B تساوي المسافة بين B و A.

يوضح الشكل 1 الفضاء الإقليدي أحادي البعد الذي شكله الخط (OX) وعدة نقاط على الخط المذكور. كل نقطة لها إحداثيات:

النقطة A لها إحداثيات XA = 2.5 ، إحداثي النقطة B XB = 4 والنقطة C إحداثيات XC = -2.5

د (أ ، ب) = √ ((4 - 2.5) 2) = 1.5

د (ب ، أ) = √ ((2.5 - 4) 2) = 1.5

د (أ ، ج) = √ ((- 2.5 - 2.5) 2) = 5.0

المسافة الإقليدية في بعدين

الفضاء الإقليدي ثنائي الأبعاد هو مستوي. تفي نقاط المستوى الإقليدي ببديهيات الهندسة الإقليدية ، على سبيل المثال:

- خط واحد يمر بنقطتين.

- تشكل ثلاث نقاط على المستوى مثلثًا تضيف زواياه الداخلية دائمًا ما يصل إلى 180 درجة.

- في المثلث القائم ، مربع الوتر يساوي مجموع مربعات ساقيه.

في بعدين ، النقطة لها إحداثيات X و Y.

على سبيل المثال ، النقطة P لها إحداثيات (XP ، YP) وإحداثيات نقطة Q (XQ ، YQ).

يتم تحديد المسافة الإقليدية بين النقطتين P و Q بالصيغة التالية:

د (P ، Q) = √ ((XQ - XP) ^ 2 + (YQ - YP) ^ 2)

تجدر الإشارة إلى أن هذه الصيغة تعادل نظرية فيثاغورس ، كما هو موضح في الشكل 2.

الشكل 2. المسافة بين النقطتين P و Q في المستوى تحقق نظرية فيثاغورس. (من إعداد ريكاردو بيريز).

الأسطح غير الإقليدية

ليست كل المساحات ثنائية الأبعاد متوافقة مع الهندسة الإقليدية. سطح الكرة هو فضاء ثنائي الأبعاد.

لا تضيف زوايا المثلث على سطح كروي ما يصل إلى 180 درجة ، وبهذا لا تتحقق نظرية فيثاغورس ، وبالتالي فإن السطح الكروي لا يفي ببديهيات إقليدس.

المسافة الإقليدية في أبعاد n

يمكن توسيع مفهوم الإحداثيات إلى أبعاد أكبر:

- في النقطة ثنائية الأبعاد يوجد إحداثيات P (XP ، YP)

- في الأبعاد الثلاثية ، يوجد إحداثيات النقطة Q (XQ ، YQ ، ZQ)

- في 4-D سيكون للنقطة R إحداثيات (XR ، YR ، ZR ، WR)

- في nD ، سيكون للنقطة P إحداثيات (P1 ، P2 ، P3 ،….. ، Pn)

يتم حساب المسافة بين نقطتين P و Q لمساحة إقليدية ذات أبعاد n بالصيغة التالية:

د (P، Q) = √ ((Q1 - P1) ^ 2 + (Q2 - P2) ^ 2 + …….. + (Qn - Pn) ^ 2)

يشكل موضع جميع النقاط Q في فضاء إقليدي ذو أبعاد n متساوية البعد عن نقطة ثابتة أخرى P (المركز) فائقًا n-الأبعاد.

كيفية حساب المسافة الإقليدية

يوضح ما يلي كيفية حساب المسافة بين نقطتين تقعان في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد.

افترض أن النقطة A من الإحداثيات الديكارتية x ، y ، z التي قدمتها A:(2 ، 3 ، 1) والنقطة B من الإحداثيات B:(-3 ، 2 ، 2).

نريد تحديد المسافة بين هذه النقاط ، والتي من أجلها يتم استخدام العلاقة العامة:

د (أ ، ب) = √ ((-3-2) 2 + (2-3) 2 + (2-1) 2) = √ ((-5) 2 + (-1) 2 + (1) 2)

د (أ ، ب) = √ (25 + 1 + 1) = √ (27) = √ (9 * 3) = 3 √ (3) = 5،196

مثال

هناك نقطتان P و Q. النقطة P من الإحداثيات الديكارتية x و y و z المعطاة بواسطة P:(2 ، 3 ، 1) والنقطة Q للإحداثيات Q:(-3 ، 2 ، 1).

يطلب منه إيجاد إحداثيات النقطة الوسطى M للقطعة التي تربط النقطتين.

من المفترض أن يكون للنقطة غير المعروفة M إحداثيات (X ، Y ، Z).

نظرًا لأن M هي نقطة المنتصف ، يجب أن يكون صحيحًا أن d (P ، M) = d (Q ، M) ، لذلك يجب أن تكون d (P ، M) ^ 2 = d (Q ، M) ^ 2 أيضًا صحيحة:

(X - 2) ^ 2 + (Y - 3) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2 = (X - (-3)) ^ 2 + (Y - 2) ^ 2 + (Z - 1) ^ 2

كما في هذه الحالة ، يكون المصطلح الثالث متساويًا في كلا العضوين ، يتم تبسيط التعبير السابق إلى:

(س - 2) ^ 2 + (ص - 3) ^ 2 = (س + 3) ^ 2 + (ص - 2) ^ 2

لدينا بعد ذلك معادلة ذات مجهولين X و Y. مطلوب معادلة أخرى لحل المشكلة.

تنتمي النقطة M إلى الخط الذي يمر عبر النقطتين P و Q ، والتي يمكننا حسابها على النحو التالي:

أولاً نجد متجه المخرج PQ للخط: PQ = <-3-2 ، 2-3 ، 1-1> = <-5 ، -1 ، 0>.

ثم PM = OP + a PQ ، حيث OP هي متجه موضع النقطة P وهي معلمة تنتمي إلى الأرقام الحقيقية.

تُعرف المعادلة أعلاه باسم المعادلة المتجهة للخط ، والتي تتخذ في الإحداثيات الديكارتية الشكل التالي:

<X-2، Y-3، Z-1> = <2، 3، 1> + a <-5، -1، 0> = <2 - 5a، 3 - a، 0>

معادلة المكونات المقابلة لدينا:

س - 2 = 2-5 أ ؛ ص - 3 = 3-أ ؛ ض - 1 = 0

أي X = 4-5a ، Y = 6 - a ، أخيرًا Z = 1.

يتم استبداله في التعبير التربيعي الذي يربط X بـ Y:

(4 - 5 أ - 2) ^ 2 + (6 - أ - 3) ^ 2 = (4 - 5 أ + 3) ^ 2 + (6 - أ - 2) ^ 2

إنه مبسط:

(2 - 5 أ) ^ 2 + (3-أ) ^ 2 = (7 - 5 أ) ^ 2 + (4 - أ) ^ 2

تتكشف الآن:

4 + 25 أ ^ 2 - 20a + 9 + أ ^ 2 - 6a = 49 + 25 أ ^ 2 - 70a + 16 + أ ^ 2 - 8a

إنه مبسط ، بإلغاء الشروط المتشابهة في كلا العضوين:

4 - 20 أ + 9 - 6 أ = 49 - 70 أ + 16 - 8 أ

تم مسح المعلمة a:

52 أ = 49 + 16 - 4 - 9 = 52 مما ينتج عنه أ = 1.

أي X = 4-5 ، Y = 6-1 ، وأخيراً Z = 1.

أخيرًا نحصل على الإحداثيات الديكارتية لنقطة الوسط M للقطعة:

م: (-1 ، 5 ، 1).

المراجع

1. ليمان سي (1972) الهندسة التحليلية. يوتا.
2. سوبر بروف. المسافة بين نقطتين. تم الاسترجاع من: superprof.es
3. UNAM. المسافة بين الفتحات الفرعية الخطية. تم الاسترجاع من: prometeo.matem.unam.mx/
4. ويكيبيديا. المسافة الإقليدية. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
5. ويكيبيديا. الفضاء الإقليدي. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com