و تقسيم الاصطناعية هو وسيلة بسيطة لتقسيم P متعدد الحدود (خ) أي واحد من النموذج د (س) = س - ج. على سبيل المثال ، يمكن تمثيل كثير الحدود P (x) = (x 5 + 3x 4 -7x 3 + 2x 2 -8x + 1) كضرب لأبسط كثيرات حدود (x + 1) و (x 4 + 2x 3).
إنها أداة مفيدة للغاية لأنها ، بالإضافة إلى السماح لنا بتقسيم كثيرات الحدود ، تسمح لنا أيضًا بتقييم متعدد الحدود P (x) في أي رقم c ، والذي بدوره يخبرنا بدقة إذا كان هذا الرقم صفرًا أم لا من كثير الحدود.
بفضل خوارزمية القسمة ، نعلم أنه إذا كان لدينا كثيرات حدود غير ثابتة P (x) و d (x) ، فهناك كثيرات حدود فريدة q (x) و r (x) بحيث يكون صحيحًا أن P (x) = q (x) d (x) + r (x) ، حيث r (x) تساوي صفرًا أو أقل من q (x). تُعرف كثيرات الحدود هذه بالحاصل والباقي أو الباقي على التوالي.
في الحالات التي يكون فيها كثير الحدود d (x) بالصيغة x- c ، يعطينا القسمة التركيبية طريقة مختصرة لإيجاد من هم q (x) و r (x).
طريقة التقسيم التركيبي
لنفترض أن P (x) = a n x n + a n-1 x n-1 +… + a 1 x + a 0 كثير الحدود الذي نريد تقسيمه و d (x) = xc المقسوم عليه. للقسمة على طريقة القسمة التركيبية ننتقل إلى ما يلي:
1- نكتب معاملات P (x) في الصف الأول. إذا لم تظهر أي قوة لـ X ، فإننا نضع صفرًا كمعامل لها.
2- في الصف الثاني على يسار a n نضع c ونرسم خطوط القسمة كما هو موضح في الشكل التالي:
3- نخفض المعامل الرئيسي إلى الصف الثالث.
في هذا التعبير b n-1 = a n
4- نضرب c في المعامل الرئيسي b n-1 ونكتب النتيجة في الصف الثاني ، ولكن في عمود واحد إلى اليمين.
5- نضيف العمود حيث نكتب النتيجة السابقة ونضع النتيجة أسفل هذا المجموع ؛ وهذا هو ، في نفس العمود ، الصف الثالث.
عند الإضافة ، لدينا نتيجة لذلك n-1 + c * b n-1 ، والتي من أجل الراحة سنسميها b n-2
6- نضرب c في النتيجة السابقة ونكتب النتيجة إلى اليمين في الصف الثاني.
7- نكرر الخطوتين 5 و 6 حتى نصل إلى المعامل 0.
8- نكتب الجواب. أي حاصل القسمة والباقي. نظرًا لأننا نقسم كثير حدود من الدرجة n على كثير حدود من الدرجة 1 ، فلدينا أن حاصل القسمة سيكون من الدرجة n-1.
ستكون معاملات خارج القسمة هي الأرقام الموجودة في الصف الثالث باستثناء آخرها ، والتي ستكون الباقي أو الباقي من القسمة.
تمارين محلولة
- مثال 1
قم بإجراء القسمة التالية بطريقة القسمة التركيبية:
(× 5 + 3 × 4 -7 × 3 + 2 × 2-8 × + 1): (س + 1).
المحلول
نكتب أولاً معاملات المقسوم على النحو التالي:
ثم نكتب c في الجانب الأيسر ، في الصف الثاني ، مع خطوط التقسيم. في هذا المثال ج = -1.
نخفض المعامل الرئيسي (في هذه الحالة b n-1 = 1) ونضربه في -1:
نكتب نتيجتها إلى اليمين في الصف الثاني ، كما هو موضح أدناه:
نضيف الأرقام في العمود الثاني:
نضرب 2 في -1 ونكتب النتيجة في العمود الثالث ، الصف الثاني:
نضيف في العمود الثالث:
نسير بنفس الطريقة حتى نصل إلى العمود الأخير:
وهكذا ، لدينا أن الرقم الأخير الذي تم الحصول عليه هو باقي القسمة ، والأرقام المتبقية هي معاملات حاصل كثير الحدود. هذا مكتوب على النحو التالي:
إذا أردنا التحقق من صحة النتيجة ، فيكفي التحقق من صحة المعادلة التالية:
الفوسفور (س) = ف (س) * د (س) + ص (س)
لذلك يمكننا التحقق من صحة النتيجة التي تم الحصول عليها.
- المثال 2
نفذ القسمة التالية لكثيرات الحدود بطريقة القسمة التركيبية
(7x 3 -x + 2): (x + 2)
المحلول
في هذه الحالة لدينا أن المصطلح x 2 لا يظهر ، لذلك سنكتب 0 كمعامل. وبالتالي ، فإن كثير الحدود سيكون 7x 3 + 0x 2 -x + 2.
نكتب معاملاتهم على التوالي ، وهذا هو:
نكتب قيمة C = -2 على الجانب الأيسر من الصف الثاني ونرسم خطوط القسمة.
نخفض المعامل الرئيسي b n-1 = 7 ونضربه في -2 ، ونكتب نتيجته في الصف الثاني إلى اليمين.
نضيف ونمضي كما هو موضح سابقًا ، حتى نصل إلى المصطلح الأخير:
في هذه الحالة ، الباقي هو r (x) = - 52 والحاصل الناتج هو q (x) = 7x 2 -14x + 27.
- مثال 3
هناك طريقة أخرى لاستخدام القسمة التركيبية وهي ما يلي: لنفترض أن لدينا كثير الحدود P (x) من الدرجة n ونريد أن نعرف ما هي القيمة من خلال تقييمها عند x = c.
من خلال خوارزمية القسمة يمكننا كتابة كثير الحدود P (x) بالطريقة التالية:
في هذا التعبير q (x) و r (x) هما حاصل القسمة والباقي على التوالي. الآن ، إذا كانت d (x) = x- c ، عند التقييم عند c في كثير الحدود نحصل على ما يلي:
لذلك ، يبقى إيجاد ar (x) فقط ، ويمكننا فعل ذلك بفضل القسمة التركيبية.
على سبيل المثال ، لدينا كثير الحدود P (x) = x 7 -9x 6 + 19x 5 + 12x 4 -3x 3 + 19x 2 -37x-37 ونريد أن نعرف ما هي قيمتها من خلال تقييمها عند x = 5. للقيام بذلك ، نقوم بإجراء القسمة بين P (x) و d (x) = x -5 بطريقة القسمة التركيبية:
بمجرد الانتهاء من العمليات ، نعلم أنه يمكننا كتابة P (x) بالطريقة التالية:
P (x) = (x 6 -4x 5 –x 4 + 7x 3 + 32x 2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253
لذلك ، عند تقييمها علينا:
ف (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253
ف (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253
ف (5) = 0 + 4253 = 4253
كما نرى ، من الممكن استخدام القسمة التركيبية لإيجاد قيمة كثير الحدود عن طريق تقييمها عند c بدلاً من مجرد استبدال x بـ c.
إذا حاولنا تقييم P (5) بالطريقة التقليدية ، فسنضطر إلى إجراء بعض الحسابات التي غالبًا ما تصبح مملة.
- مثال 4
تعد خوارزمية قسمة كثيرات الحدود صحيحة أيضًا مع كثيرات الحدود ذات المعاملات المعقدة ، ونتيجة لذلك ، لدينا طريقة القسمة التركيبية تعمل أيضًا مع كثيرات الحدود. سنرى مثال أدناه.
سنستخدم طريقة القسمة التركيبية لتوضيح أن z = 1+ 2i هو صفر من كثير الحدود P (x) = x 3 + (1 + i) x 2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i) ؛ أي أن باقي القسمة P (x) على d (x) = x - z يساوي صفرًا.
نمضي على النحو السابق: في الصف الأول نكتب معاملات P (x) ، ثم في الثاني نكتب z ونرسم خطوط القسمة.
نقوم بتنفيذ التقسيم كما كان من قبل ؛ هذا هو:
يمكننا أن نلاحظ أن الباقي هو صفر ؛ لذلك نستنتج أن z = 1+ 2i هو صفر من P (x).
المراجع
- بالدور أوريليو. الجبر Grupo الافتتاحية باتريا.
- ديمانا ، ويتس ، فولي وكينيدي. Precalculus: الرسوم البيانية ، العددية ، الجبرية الطبعة السابعة ، تعليم بيرسون.
- Flemming W & Varserg D. الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. برنتيس هول
- مايكل سوليفان. Precalculus 4th إد. تعليم بيرسون.
- أحمر. أرماندو أو. الجبر 1 الطبعة السادسة. الأثينيوم.