المعادلات متعددة الحدود (مع حل التمارين) - رياضيات - 2026

في المعادلات متعددة الحدود هي بيان ان يثير المساواة بين تعبيرين أو أفراد، حيث أقل أحد المصطلحات التي تجعل ما يصل كل جانب من المساواة هما متعددو الحدود P (خ). تتم تسمية هذه المعادلات وفقًا لدرجة متغيراتها.

بشكل عام ، المعادلة عبارة عن بيان يؤسس المساواة بين تعبيرين ، حيث توجد في واحد على الأقل من هذه الكميات غير المعروفة ، والتي تسمى متغيرات أو مجهولة. على الرغم من وجود أنواع عديدة من المعادلات ، إلا أنها تُصنف عمومًا إلى نوعين: جبري ومتعالي.

تحتوي المعادلات متعددة الحدود على تعبيرات جبرية فقط ، والتي يمكن أن تحتوي على واحد أو أكثر من المجهول المتضمن في المعادلة. وفقًا للأس (الدرجة) التي لديهم ، يمكن تصنيفهم إلى: الدرجة الأولى (خطي) ، الدرجة الثانية (تربيعي) ، الدرجة الثالثة (مكعب) ، الدرجة الرابعة (رباعي) ، درجة أكبر من أو تساوي خمسة وغير منطقية.

مميزات

المعادلات متعددة الحدود هي التعبيرات التي يتم تكوينها من خلال المساواة بين اثنين من كثيرات الحدود ؛ أي بالمجموعات المحدودة من الضرب بين القيم غير المعروفة (المتغيرات) والأرقام الثابتة (المعاملات) ، حيث يمكن أن يكون للمتغيرات أس ، ويمكن أن تكون قيمتها عددًا صحيحًا موجبًا ، بما في ذلك الصفر.

تحدد الأس درجة أو نوع المعادلة. المصطلح الموجود في التعبير ذي الأس الأعلى سيمثل الدرجة المطلقة لكثير الحدود.

تُعرف المعادلات متعددة الحدود أيضًا باسم المعادلات الجبرية ، ويمكن أن تكون معاملاتها أرقامًا حقيقية أو معقدة والمتغيرات أرقام غير معروفة ممثلة بحرف ، مثل: "x".

إذا تم استبدال قيمة للمتغير "x" في P (x) فإن النتيجة تساوي صفر (0) ، ثم يقال أن هذه القيمة تفي بالمعادلة (إنها حل) ، وتسمى عمومًا جذر كثير الحدود.

عند تطوير معادلة متعددة الحدود ، فأنت تريد إيجاد كل الجذور أو الحلول.

أنواع

هناك عدة أنواع من المعادلات متعددة الحدود ، والتي يتم تمييزها وفقًا لعدد المتغيرات وأيضًا وفقًا لدرجة الأس.

وبالتالي ، فإن المعادلات متعددة الحدود - حيث يكون المصطلح الأول متعدد الحدود له مجهول واحد ، مع الأخذ في الاعتبار أن درجته يمكن أن يكون أي عدد طبيعي (n) والمصطلح الثاني هو صفر - يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

أين:

- a _{n و} a _n-1 و ₀ معاملات حقيقية (أرقام).

- يختلف a _n عن الصفر.

- الأس n عدد صحيح موجب يمثل درجة المعادلة.

- x هو المتغير أو المجهول المطلوب البحث عنه.

الدرجة المطلقة أو الأكبر من المعادلة متعددة الحدود هي الأس ذو أعلى قيمة بين كل تلك التي تشكل كثير الحدود ؛ وبالتالي ، يتم تصنيف المعادلات على النحو التالي:

الصف الاول

المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الأولى ، والمعروفة أيضًا باسم المعادلات الخطية ، هي تلك التي تكون فيها الدرجة (الأس الأكبر) تساوي 1 ، وكثير الحدود بالصيغة P (x) = 0 ؛ يتكون y من مصطلح خطي ومصطلح مستقل. هو مكتوب على النحو التالي:

الفأس + ب = 0.

أين:

- a و b عدد حقيقي و a 0.

- الفأس هو المصطلح الخطي.

- ب هو المصطلح المستقل.

على سبيل المثال ، المعادلة 13x - 18 = 4x.

لحل المعادلات الخطية ، يجب تمرير جميع المصطلحات التي تحتوي على x المجهول إلى جانب واحد من المساواة ، وتلك التي لا تمتلكها تنتقل إلى الجانب الآخر ، من أجل حلها والحصول على حل:

13 س - 18 = 4 س

13 س = 4x + 18

13 س - 4 س = 18

9 س = 18

س = 18 9

س = 2.

وبالتالي ، فإن المعادلة المعطاة لها حل أو جذر واحد فقط ، وهو x = 2.

الصف الثاني

المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الثانية ، والمعروفة أيضًا باسم المعادلات التربيعية ، هي تلك التي تكون فيها الدرجة (أكبر الأس) تساوي 2 ، وكثير الحدود على شكل P (x) = 0 ، وتتكون من مصطلح تربيعي ، واحد خطي وآخر مستقل. يتم التعبير عنها على النحو التالي:

الفأس ² + ب س + ج = 0.

أين:

- a و b و c أعداد حقيقية و a 0.

- الفأس ² هو المصطلح التربيعي ، و "أ" هو معامل المصطلح التربيعي.

- bx هو المصطلح الخطي ، و "b" هو معامل المصطلح الخطي.

- c هو المصطلح المستقل.

مذيب

بشكل عام ، يُعطى حل هذا النوع من المعادلات بإزالة x من المعادلة ، وهو كالتالي ، وهو ما يسمى مذيب:

هناك ، (b ² - 4ac) يسمى مميز المعادلة وهذا التعبير يحدد عدد الحلول التي يمكن أن تحتوي عليها المعادلة:

- إذا كان (b ² - 4ac) = 0 ، فسيكون للمعادلة حل واحد مزدوج ؛ أي أنه سيكون له حلين متساويين.

- إذا كانت (b ² - 4ac)> 0 ، فسيكون للمعادلة حلين حقيقيين مختلفين.

- إذا كان (b ² - 4ac) <0 ، فإن المعادلة ليس لها حل (سيكون لها حلان معقدان مختلفان).

على سبيل المثال ، لدينا المعادلة 4x ² + 10x - 6 = 0 ، لحلها ، حدد أولاً المصطلحات a و b و c ، ثم استبدلها في الصيغة:

أ = 4

ب = 10

ج = -6.

هناك حالات لا تحتوي فيها معادلات كثيرة الحدود من الدرجة الثانية على المصطلحات الثلاثة ، ولهذا يتم حلها بشكل مختلف:

- في حالة عدم احتواء المعادلات التربيعية على المصطلح الخطي (أي ، ب = 0) ، سيتم التعبير عن المعادلة كـ ax ² + c = 0. لحلها ، حلها من أجل x ² وتطبيق الجذور التربيعية في كل عضو ، مع تذكر أنه يجب مراعاة العلامتين المحتملتين اللتين قد يكون لهما المجهول:

الفأس ² + ج = 0.

س ² = - ج ÷ أ

على سبيل المثال ، 5 × ² - 20 = 0.

5 × ² = 20

س ² = 20 5

س = ± √4

س = ± 2

× ₁ = 2.

س ₂ = -2.

- عندما لا تحتوي المعادلة التربيعية على مصطلح مستقل (أي ، c = 0) ، سيتم التعبير عن المعادلة كـ ax ² + bx = 0. لحلها ، يجب أخذ العامل المشترك للمجهول x في العضو الأول ؛ نظرًا لأن المعادلة تساوي صفرًا ، فمن الصحيح أن عاملًا واحدًا على الأقل سيكون مساويًا للصفر:

الفأس ² + bx = 0.

س (الفأس + ب) = 0.

وبالتالي ، عليك أن:

س = 0.

س = -ب ÷ أ.

على سبيل المثال: لدينا المعادلة 5x ² + 30x = 0. أولاً نقوم بالتحليل:

5 س ² + 30 س = 0

س (5 س + 30) = 0.

يتم إنشاء عاملين وهما xy (5x + 30). يعتبر أن أحدهما سيساوي صفرًا والآخر يتم حله:

× ₁ = 0.

5 س + 30 = 0

5 س = -30

س = -30 5

× ₂ = -6.

أعلى درجة

المعادلات متعددة الحدود من الدرجة الأعلى هي تلك التي تبدأ من الدرجة الثالثة فصاعدًا ، والتي يمكن التعبير عنها أو حلها باستخدام معادلة كثير الحدود العامة لأي درجة:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

يستخدم هذا لأن معادلة بدرجة أكبر من اثنين هي نتيجة تحليل كثير الحدود ؛ أي أنه يتم التعبير عنها بضرب كثيرات الحدود من الدرجة الأولى أو أكبر ، ولكن بدون جذور حقيقية.

حل هذه الأنواع من المعادلات يكون مباشرًا ، لأن ضرب عاملين سيكون مساويًا للصفر إذا كان أي من العوامل فارغًا (0) ؛ لذلك ، يجب حل كل من المعادلات متعددة الحدود الموجودة ، مع جعل كل من عواملها مساوية للصفر.

على سبيل المثال ، لدينا معادلة الدرجة الثالثة (مكعب) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. لحلها ، يجب اتباع الخطوات التالية:

- المصطلحات مجمعة:

س ³ + س ² + 4 س + 4 = 0

(س ³ + س ²) + (4x + 4) = 0.

- يتحلل الأعضاء للحصول على العامل المشترك للمجهول:

س ² (س + 1) + 4 (س + 1) = 0

(س ² + 4) _* (س + 1) = 0.

- بهذه الطريقة يتم الحصول على عاملين يجب أن يكونا مساويين للصفر:

(× ² + 4) = 0

(س + 1) = 0.

- يمكن ملاحظة أن العامل (x ² + 4) = 0 لن يكون له حل حقيقي ، بينما العامل (x + 1) = 0 كذلك. إذن الحل هو:

(س + 1) = 0

س = -1.

تمارين محلولة

حل المعادلات التالية:

التمرين الأول

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

المحلول

في هذه الحالة ، يتم التعبير عن المعادلة بضرب كثيرات الحدود ؛ وهذا هو ، هو عامل. لحلها ، يجب تعيين كل عامل يساوي الصفر:

- 2x ² + 5 = 0 ليس لها حل.

- س - 3 = 0

- س = 3.

- 1 + س = 0

- س = - 1.

وبالتالي ، فإن المعادلة المعطاة لها حلين: x = 3 و x = -1.

التمرين الثاني

× ^٤ - ٣٦ = ٠.

المحلول

تم إعطاء كثير الحدود ، والتي يمكن إعادة كتابتها كفرق بين المربعات للوصول إلى حل أسرع. وبالتالي ، فإن المعادلة هي:

(س ² + 6) _* (س ² - 6) = 0.

لإيجاد حل المعادلات ، تم ضبط كلا العاملين على أنه صفر:

(س ² + 6) = 0 ليس لها حل.

(س ² - 6) = 0

× ² = 6

س = ± √6.

وبالتالي ، فإن المعادلة الأولية لها حلين:

س = √6.

س = - √6.

المراجع

1. أندريس ، ت. (2010). أولمبياد الرياضيات تريسور. سبرينغر. نيويورك.
2. أنجل ، أركنساس (2007). الجبر الابتدائي. تعليم بيرسون ،.
3. باير ، ر. (2012). الجبر الخطي والهندسة الإسقاطية. شركة البريد السريع.
4. بالدور ، أ. (1941). الجبر. هافانا: ثقافة.
5. كاستانو ، إتش إف (2005). الرياضيات قبل الحساب. جامعة ميديلين.
6. كريستوبال سانشيز ، إم آر (2000). دليل رياضيات التحضير للأولمبياد. جاومي آي
7. كريملي بيريز ، ML (1984). الجبر العالي 1.
8. مسرة ، NC-L. (تسعة وتسعون وخمسة وتسعون). الرياضيات 3.