A مساحة ناقلات هو غير فارغ مجموعة V = { ش ، ت ، ث ،……}، عناصره هي ناقلات. يتم تنفيذ بعض العمليات المهمة معهم ، من بينها ما يلي:

- مبلغ بين متجهين ش + ت الناتجة ض، الذي ينتمي إلى مجموعة V.

- تكاثر عدد α الحقيقي من خلال ناقل الخامس: ألفا الخامس إعطاء ناقلات أخرى و ينتمون إلى V.

رؤية فنية للفضاء المتجه. المصدر: Pixabay

للإشارة إلى المتجه ، نستخدم الخط الغامق (v هو ناقل) ، وللحروف القياسية أو الأرقام الأحرف اليونانية (α هو رقم).

البديهيات والخصائص

لإعطاء مساحة متجهية ، يجب أن تحمل البديهيات الثمانية التالية:

1-قابلية التبديل: u + v = v + u

2-العبور: (u + v) + w = u + (v + w)

3-وجود المتجه الصفري 0 بحيث 0 + v = v

4-وجود العكس: عكس v هو (- v) ، حيث أن v + (- v) = 0

5-توزيع المنتج فيما يتعلق بمجموع المتجهات: α (u + v) = α u + α v

6 - توزيع المنتج بالنسبة للمحصلة العددية: (α + β) v = α v + β v

7- ترابطية المنتج العددي: α (β v) = (α β) v

8-الرقم 1 هو العنصر المحايد منذ: 1 v = v

أمثلة للمساحات المتجهة

مثال 1

المتجهات في المستوى (R²) هي مثال على مساحة متجه. المتجه في المستوى هو كائن هندسي له مقدار واتجاه. يتم تمثيله بواسطة جزء موجه ينتمي إلى المستوى المذكور وبحجم يتناسب مع حجمه.

يمكن تعريف مجموع متجهين في المستوى على أنه عملية الترجمة الهندسية للمتجه الثاني بعد الأول. نتيجة المجموع هي القطعة الموجهة التي تبدأ من أصل الأول وتصل إلى غيض من الثاني.

في الشكل يمكن ملاحظة أن المجموع في R² هو تبادلي.

الشكل 2. المتجهات في المستوى تشكل الفضاء المتجه. المصدر: عصامي.

يتم أيضًا تعريف حاصل ضرب الرقم α والمتجه. إذا كان الرقم موجبًا ، فسيظل اتجاه المتجه الأصلي ويكون الحجم α ضعف المتجه الأصلي. إذا كان الرقم سالبًا ، يكون الاتجاه هو عكس ذلك ، ويكون حجم المتجه الناتج هو القيمة المطلقة للرقم.

المتجه المقابل لأي متجه v هو - v = (- 1) v.

المتجه الصفري هو نقطة في المستوى R² ، ويعطي الرقم صفر في المتجه المتجه الصفري.

كل ما قيل موضح في الشكل 2.

مثال 2

تشكل المجموعة P لجميع كثيرات الحدود من الدرجة أقل من أو تساوي اثنين ، بما في ذلك الدرجة صفر ، مجموعة ترضي جميع بديهيات مساحة المتجه.

دع كثير الحدود P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

يتم تحديد مجموع اثنين من كثيرات الحدود: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

مجموع كثيرات الحدود التي تنتمي إلى المجموعة P هو تبادلي ومتعدد.

كثير الحدود الفارغ الذي ينتمي إلى المجموعة P هو واحد يحتوي على جميع معاملاته مساوية للصفر:

0 (س) = 0 س² + 0 س + 0

يتم تعريف مجموع α القياسي بواسطة كثير الحدود على النحو التالي: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α c

كثير الحدود المعاكس لـ P (x) هو -P (x) = (-1) P (x).

من كل ما سبق ، يترتب على ذلك أن المجموعة P لجميع كثيرات الحدود من الدرجة أقل من أو تساوي اثنين هي مساحة متجه.

مثال 3

تشكل المجموعة M لجميع مصفوفات m من الصفوف xn الأعمدة التي تكون عناصرها أرقامًا حقيقية مساحة متجهية حقيقية ، فيما يتعلق بعمليات جمع المصفوفات وحاصل ضرب رقم بواسطة مصفوفة.

مثال 4

تشكل المجموعة F من الوظائف المستمرة للمتغير الحقيقي مساحة متجهة ، حيث من الممكن تحديد مجموع وظيفتين ، وضرب العدد القياسي بواسطة دالة ، والدالة الفارغة والدالة المتماثلة. كما أنها تحقق البديهيات التي تميز الفضاء المتجه.

قاعدة وأبعاد مساحة متجه

يتمركز

تُعرَّف قاعدة فضاء المتجه على أنها مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا بحيث يمكن إنشاء متجه من مساحة المتجه هذه من مجموعة خطية منها.

يتكون الدمج الخطي لمتجهين أو أكثر من ضرب المتجهات ببعضها البعض ثم إضافتها بشكل متجه.

على سبيل المثال ، في الفضاء المتجه للناقلات في ثلاثة أبعاد شكلتها R³ ، يتم استخدام الأساس القانوني المحدد بواسطة متجهات الوحدة (بحجم 1) i ، j ، k.

أين أنا = (1 ، 0 ، 0) ؛ ي = (0 ، 1 ، 0) ؛ ك = (0 ، 0 ، 1). هذه هي النواقل الديكارتية أو المتعارف عليها.

يتم كتابة أي متجه V ينتمي إلى R³ كـ V = a i + b j + c k ، وهو مزيج خطي من المتجهات الأساسية i ، j ، k. A العددية أو أرقام أ، ب، ج يعرف مكونات الديكارتية لل V.

يقال أيضًا أن المتجهات الأساسية لفضاء متجه تشكل مجموعة مولدات لمساحة المتجه.

البعد

أبعاد الفضاء المتجه هو الرقم الأساسي لأساس متجه لتلك المساحة ؛ أي عدد النواقل التي تشكل القاعدة المذكورة.

هذا الكاردينال هو الحد الأقصى لعدد المتجهات المستقلة خطيًا لمساحة المتجه ، وفي نفس الوقت الحد الأدنى لعدد المتجهات التي تشكل مجموعة مولدات لذلك الفضاء.

قواعد الفضاء المتجه ليست فريدة من نوعها ، ولكن جميع القواعد لنفس مساحة المتجه لها نفس البعد.

فضاء متجه

الفضاء الجزئي المتجه S لمساحة متجه V هو مجموعة فرعية من V حيث يتم تعريف نفس العمليات كما في V وتفي بجميع بديهيات الفضاء المتجه. لذلك ، فإن الفضاء الجزئي S سيكون أيضًا مساحة متجهية.

مثال الفضاء الجزئي المتجه هي المتجهات التي تنتمي إلى المستوى XY. هذه المساحة الجزئية هي مجموعة فرعية من فضاء متجه ذي أبعاد أكبر من مجموعة المتجهات التي تنتمي إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد XYZ.

مثال آخر على الفضاء الجزئي المتجه S1 لمساحة المتجه S المكونة من جميع المصفوفات 2 × 2 مع عناصر حقيقية محدد أدناه:

من ناحية أخرى ، فإن S2 المحدد أدناه ، على الرغم من أنه مجموعة فرعية من S ، لا يشكل فضاءًا فرعيًا متجهًا:

تمارين محلولة

-التمرين 1

دع المتجهات V1 = (1 ، 1 ، 0) ؛ V2 = (0، 2، 1) و V3 = (0، 0، 3) في R³.

أ) أظهر أنها مستقلة خطيًا.

ب) أظهر أنها تشكل أساسًا في R³ ، حيث يمكن كتابة أي ثلاثية (x ، y ، z) كمجموعة خطية من V1 ، V2 ، V3.

ج) أوجد مكونات المثلث V = (-3،5،4) في القاعدة V1 ، V2 ، V3.

المحلول

يتمثل معيار إثبات الاستقلال الخطي في إنشاء مجموعة المعادلات التالية في α و β و γ

α (1 ، 1 ، 0) + β (0 ، 2 ، 1) + γ (0 ، 0 ، 3) = (0 ، 0 ، 0)

إذا كان الحل الوحيد لهذا النظام هو α = β = γ = 0 ، فإن المتجهات تكون مستقلة خطيًا ، وإلا فهي ليست كذلك.

للحصول على قيم α و β و نقترح نظام المعادلات التالي:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + ∙ 3 = 0

الأول يؤدي إلى α = 0 ، والثاني α = -2 ∙ β ولكن بما أن α = 0 ثم β = 0. المعادلة الثالثة تعني أن γ = (- 1/3) β ، ولكن بما أن β = 0 ثم γ = 0.

إجابة على

نخلص إلى أنها مجموعة من النواقل المستقلة خطيًا في R³.

الجواب ب

لنكتب الآن الثلاثي (x ، y ، z) كمجموعة خطية من V1 ، V2 ، V3.

(س ، ص ، ض) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1 ، 1 ، 0) + (0 ، 2 ، 1) + γ (0 ، 0 ، 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + ∙ 0 = ص

α ∙ 0 + β ∙ 1 + ∙ 3 = z

حيث لديك:

α = س

α + 2 β = ص

β + 3 γ = ض

الأول يشير إلى α = x ، والثاني β = (yx) / 2 والثالث γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. بهذه الطريقة وجدنا مولدات α و و لأي ثلاثية من R³

الجواب ج

دعنا ننتقل لإيجاد مكونات المثلث V = (-3،5،4) في القاعدة V1 ، V2 ، V3.

نستبدل القيم المقابلة في التعبيرات الموجودة أعلاه للمولدات.

في هذه الحالة لدينا: α = -3 ؛ β = (5 - (- 3)) / 2 = 4 ؛ γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

هذا هو:

(-3،5،4) = -3 (1 ، 1 ، 0) + 4 (0 ، 2 ، 1) + 0 (0 ، 0 ، 3)

أخيرا:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

نستنتج أن V1 ، V2 ، V3 تشكل أساسًا في مساحة المتجه R³ ذات البعد 3.

-تمرين 2

عبر عن كثير الحدود P (t) = t² + 4t -3 كمجموعة خطية من P1 (t) = t² -2t + 5 ، P2 (t) = 2t² -3t و P3 (t) = t + 3.

المحلول

الفوسفور (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

حيث يتم تحديد الأرقام x و y و z.

بضرب المصطلحات وتجميعها بنفس الدرجة في t ، نحصل على:

ر² + 4 ر -3 = (س + 2 ص) ر² + (-2 س -3 ص + ض) ر + (5 س + 3 ز)

الأمر الذي يقودنا إلى نظام المعادلات التالي:

س + 2 ص = 1

-2x -3y + z = 4

5 س + 3 ع = -3

حلول نظام المعادلات هذا هي:

س = -3 ، ص = 2 ، ض = 4.

هذا هو:

الفوسفور (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

- تمرين 3

أظهر أن المتجهات v1 = (1 ، 0 ، -1 ، 2) ؛ v2 = (1 ، 1 ، 0 ، 1) و v3 = (2 ، 1 ، -1 ، 1) من R⁴ مستقلان خطيًا.

المحلول

نقوم بدمج المتجهات الثلاثة خطيًا v1 و v2 و v3 ونطالب بأن تضيف المجموعة العنصر الفارغ لـ R⁴

أ v1 + ب v2 + c v3 = 0

ذلك بالقول،

أ (1 ، 0 ، -1 ، 2) + ب (1 ، 1 ، 0 ، 1) + ج (2 ، 1 ، -1 ، 1) = (0 ، 0 ، 0 ، 0)

يقودنا هذا إلى نظام المعادلات التالي:

أ + ب + 2 ج = 0

ب + ج = 0

-أ - ج = 0

2 أ + ب + ج = 0

بطرح الأول والرابع لدينا: -a + c = 0 مما يدل على a = c.

لكن إذا نظرنا إلى المعادلة الثالثة ، فسنجد أن a = -c. الطريقة الوحيدة التي يمكن بها الاحتفاظ بـ a = c = (- c) هي أن تكون c تساوي 0 وبالتالي ستكون a أيضًا 0.

أ = ج = 0

إذا عوضنا بهذه النتيجة في المعادلة الأولى ، فإننا نستنتج أن ب = 0.

أخيرًا أ = ب = ج = 0 ، بحيث يمكن استنتاج أن المتجهات v1 و v2 و v3 مستقلة خطيًا.

المراجع

1. Lipschutz، S. 1993. الجبر الخطي. الطبعة الثانية. ماكجرو هيل. 167-198.