هويات فيثاغورس: عرض ، مثال ، تمارين - رياضيات - 2026

الهويات فيثاغورس هي كل المعادلات المثلثية التي تعقد عن أي قيمة من زاوية وتستند إلى نظرية فيثاغورس. أشهر هويات فيثاغورس هي الهوية المثلثية الأساسية:

الخطيئة ² (α) + كوس ² (α) = 1

الشكل 1. الهويات المثلثية فيثاغورس.

التالي من حيث الأهمية وأنا أستخدم هوية فيثاغورس للماس والقاطع:

تان ² (α) + 1 = ثانية ² (α)

ومتطابقة فيثاغورس المثلثية التي تتضمن ظل التمام وقاطع التمام:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

برهنة

يتم تمثيل النسب المثلثية الجيب وجيب التمام على دائرة نصف قطرها واحد (1) تُعرف بالدائرة المثلثية. الدائرة المذكورة مركزها في أصل الإحداثيات O.

تُقاس الزوايا من المحور شبه الموجب لـ Xs ، على سبيل المثال الزاوية α في الشكل 2 (انظر أدناه). عكس اتجاه عقارب الساعة إذا كانت الزاوية موجبة واتجاه عقارب الساعة إذا كانت زاوية سالبة.

يُرسم الشعاع ذو الأصل O والزاوية α ، والذي يعترض دائرة الوحدة عند النقطة P. تُسقط النقطة P بشكل متعامد على المحور الأفقي X مما يؤدي إلى ارتفاع النقطة C. وبالمثل ، يُسقط P عموديًا على المحور الرأسي Y مما يعطي مكان للإشارة S.

لدينا المثلث الأيمن OCP في C.

الجيب وجيب التمام

يجب أن نتذكر أن نسبة الجيب المثلثية يتم تعريفها على مثلث قائم الزاوية على النحو التالي:

جيب الزاوية في المثلث هو النسبة أو حاصل القسمة بين الضلع المقابل للزاوية ووتر المثلث.

عند تطبيقه على مثلث OCP في الشكل 2 ، سيبدو كما يلي:

سين (α) = CP / OP

لكن CP = OS و OP = 1 ، بحيث:

سين (α) = OS

مما يعني أن نظام تشغيل العرض على المحور Y له قيمة مساوية لجيب الزاوية المعروضة. وتجدر الإشارة إلى أن القيمة القصوى لجيب الزاوية (+1) تحدث عندما تكون α = 90º والحد الأدنى (-1) عندما تكون α = -90º أو α = 270º.

الشكل 2. تظهر الدائرة المثلثية العلاقة بين نظرية فيثاغورس والمتطابقة المثلثية الأساسية. (تفصيل خاص)

وبالمثل ، فإن جيب تمام الزاوية هو خارج القسمة بين الساق المجاورة للزاوية ووتر المثلث.

عند تطبيقه على مثلث OCP في الشكل 2 ، سيبدو كما يلي:

كوس (α) = OC / OP

لكن OP = 1 ، بحيث:

كوس (α) = OC

هذا يعني أن الإسقاط OC على المحور X له قيمة مساوية لجيب الزاوية الموضحة. وتجدر الإشارة إلى أن الحد الأقصى لقيمة جيب التمام (+1) يحدث عندما تكون α = 0º أو α = 360º ، بينما الحد الأدنى لقيمة جيب التمام هو (-1) عندما تكون α = 180º.

الهوية الأساسية

بالنسبة للمثلث القائم الزاوية OCP في C ، يتم تطبيق نظرية فيثاغورس ، والتي تنص على أن مجموع مربع الساقين يساوي مربع الوتر:

CP ² + OC ² = OP ²

لكن قيل بالفعل أن CP = OS = Sen (α) ، وأن OC = Cos (α) وأن OP = 1 ، لذلك يمكن إعادة كتابة التعبير السابق كدالة لجيب وجيب الزاوية:

الخطيئة ² (α) + كوس ² (α) = 1

محور الظل

تمامًا كما أن المحور X في الدائرة المثلثية هو محور جيب التمام والمحور Y هو محور الجيب ، بنفس الطريقة يوجد محور المماس (انظر الشكل 3) وهو بالضبط خط المماس لدائرة الوحدة عند النقطة الإحداثيات ب (1 ، 0).

إذا كنت تريد معرفة قيمة ظل الزاوية ، فأنت ترسم الزاوية من المحور شبه الموجب لـ X ، ويحدد تقاطع الزاوية مع محور المماس النقطة Q ، وطول المقطع OQ هو مماس زاوية.

هذا لأنه بحكم التعريف ، ظل الزاوية α هو الضلع المقابل QB بين الضلع المجاور OB. أي تان (α) = QB / OB = QB / 1 = QB.

الشكل 3. تظهر الدائرة المثلثية محور المماس وهوية فيثاغورس للماس. (تفصيل خاص)

مطابقة فيثاغورس للماس

يمكن إثبات هوية فيثاغورس للماس من خلال النظر في المثلث الأيمن OBQ عند B (الشكل 3). بتطبيق نظرية فيثاغورس على هذا المثلث ، لدينا BQ ² + OB ² = OQ ². ولكن قيل بالفعل أن BQ = Tan (α) ، وأن OB = 1 وأن ​​OQ = Sec (α) ، بحيث يتم استبدال المساواة فيثاغورس بالمثلث الأيمن OBQ لدينا:

تان ² (α) + 1 = ثانية ² (α).

مثال

تحقق مما إذا كانت متطابقات فيثاغورس قد تحققت في المثلث الأيمن من الأرجل AB = 4 و BC = 3.

الحل: الأرجل معروفة ، الوتر يحتاج إلى تحديد ، وهو:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5.

ستسمى الزاوية ∡BAC α ، ∡BAC = α. الآن يتم تحديد النسب المثلثية:

سين α = BC / AC = 3/5

كوس α = AB / AC = 4/5

إذن α = BC / AB = 3/4

كوتان α = AB / BC = 4/3

ثانية α = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

يبدأ بالهوية المثلثية الأساسية:

الخطيئة ² (α) + كوس ² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

يستنتج أنه تم الوفاء به.

- الهوية التالية فيثاغورس هي هوية الظل:

تان ² (α) + 1 = ثانية ² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

وخلص إلى التحقق من هوية الظل.

- بطريقة مماثلة للظل:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

وخلص إلى أنه تم تحقيقه أيضًا ، حيث تم إكمال مهمة التحقق من هويات فيثاغورس للمثلث المحدد.

تمارين محلولة

إثبات الهويات التالية ، بناءً على تعريفات النسب المثلثية وهويات فيثاغورس.

التمرين 1

اثبت أن كوس ² س = (1 + سين س) (1 - سين س).

الحل: في الجانب الأيمن ، نتعرف على المنتج الرائع لضرب ذات الحدين بمرافقه ، كما نعلم ، فرق المربعات:

كوس ² س = 1 ² - سين ² س

ثم يمر المصطلح الذي يحتوي على جيب على الجانب الأيمن إلى الجانب الأيسر مع تغيير العلامة:

كوس ² س + سين ² س = 1

مع ملاحظة أنه قد تم الوصول إلى المتطابقة المثلثية الأساسية ، لذلك استنتج أن التعبير المعطى متطابقة ، أي أنه ينطبق على أي قيمة لـ x.

تمرين 2

بدءًا من الهوية المثلثية الأساسية وباستخدام تعريفات النسب المثلثية ، أظهر هوية فيثاغورس لقاطع التمام.

الحل: الهوية الأساسية هي:

الخطيئة ² (س) + كوس ² (س) = 1

يتم تقسيم كلا العضوين على Sen ² (x) ويتم توزيع المقام في العضو الأول:

الخطيئة ² (س) / الخطيئة ² (س) + كوس ² (س) / الخطيئة ² (س) = 1 / الخطيئة ² (س)

إنه مبسط:

1 + (Cos (x) / Sen (x)) ^ 2 = (1 / Sen (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) هي هوية (غير فيثاغورس) يتم التحقق منها من خلال تعريف النسب المثلثية. يحدث الشيء نفسه مع الهوية التالية: 1 / Sen (x) = Csc (x).

أخيرًا عليك:

1 + Ctg ² (x) = Csc ² (x)

المراجع

1. بالدور ج. (1973). هندسة الطائرة والفضاء مع مقدمة في علم المثلثات. ثقافة أمريكا الوسطى. تكييف
2. CEA (2003). عناصر الهندسة: مع التدريبات وهندسة البوصلة. جامعة ميديلين.
3. Campos ، F. ، Cerecedo ، FJ (2014). الرياضيات 2. افتتاحية Grupo باتريا.
4. IGER. (سادس). الرياضيات الفصل الدراسي الأول تاكانا. IGER.
5. هندسة الابن. (2014). المضلعات. لولو برس ، إنك.
6. ميلر ، هيرين ، وهورنسبي. (2006). الرياضيات: التفكير والتطبيقات (الإصدار العاشر). تعليم بيرسون.
7. باتينيو ، م. (2006). الرياضيات 5. الافتتاحية Progreso.
8. ويكيبيديا. هويات وصيغ علم المثلثات. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com