و الخطية هي الطريقة التي ينشأ الاستيفاء نيوتن العام وتقريب لتحديد لقيمة غير معروفة وهذا هو بين اثنين من الأرقام المعطاة. أي تم العثور على قيمة وسيطة. يتم تطبيقه أيضًا على الوظائف التقريبية ، حيث تُعرف القيمتان f (a) و f (b) ونريد معرفة وسيط f (x).
هناك أنواع مختلفة من الاستيفاء ، مثل الخطي والتربيعي والتكعيبي والدرجات الأعلى ، أبسطها هو التقريب الخطي. الثمن الذي يجب دفعه مع الاستيفاء الخطي هو أن النتيجة لن تكون دقيقة كما هو الحال مع التقديرات التقريبية باستخدام وظائف الدرجات الأعلى.
تعريف
الاستيفاء الخطي هو عملية تتيح لك استنتاج قيمة بين قيمتين محددتين جيدًا ، والتي يمكن أن تكون في جدول أو في رسم بياني خطي.
على سبيل المثال ، إذا كنت تعلم أن 3 لترات من الحليب تساوي 4 دولارات وأن 5 لترات تساوي 7 دولارات ، لكنك تريد معرفة قيمة 4 لترات من الحليب ، فأنت تقحم لتحديد تلك القيمة الوسيطة.
طريقة
لتقدير قيمة وسيطة لدالة ، يتم تقريب الدالة f (x) عن طريق خط r (x) ، مما يعني أن الوظيفة تختلف خطيًا مع «x» لقسم «x = a» و «x = ب "؛ أي بالنسبة للقيمة "x" في الفاصل الزمني (x 0 ، x 1) و (y 0 ، y 1) ، يتم إعطاء قيمة "y" بواسطة السطر بين النقاط ويتم التعبير عنها بالعلاقة التالية:
(ص - ص 0) ÷ (س - س 0) = (ص 1 - ص 0) ÷ (س 1 - س 0)
لكي يكون الاستيفاء خطيًا ، يجب أن يكون كثير الحدود من الدرجة الأولى (n = 1) ، بحيث يتناسب مع قيم x 0 و x 1.
يعتمد الاستيفاء الخطي على تشابه المثلثات ، بحيث يمكن الحصول على قيمة "y" ، المشتقة هندسيًا من التعبير السابق ، والتي تمثل القيمة غير المعروفة لـ "x".
بهذه الطريقة عليك أن:
أ = تان Ɵ = (الساق المقابلة 1 ÷ الساق المجاورة 1) = (الساق المقابلة 2 ÷ الساق المجاورة 2)
معبراً عنه بطريقة أخرى:
(ص - ص 0) ÷ (س - س 0) = (ص 1 - ص 0) ÷ (س 1 - س 0)
حل لـ «و» من التعبيرات ، لدينا:
(ص - ص 0) * (س 1 - س 0) = (س - س 0) * (ص 1 - ص 0)
(ص - ص 0) = (ص 1 - ص 0) *
وبالتالي ، يتم الحصول على المعادلة العامة للاستيفاء الخطي:
ص = ص 0 + (ص 1 - ص 0) *
بشكل عام ، يعطي الاستيفاء الخطي خطأً بسيطًا في القيمة الحقيقية للوظيفة الحقيقية ، على الرغم من أن الخطأ ضئيل مقارنةً إذا اخترت بشكل حدسي رقمًا قريبًا من الرقم الذي تريد البحث عنه.
يحدث هذا الخطأ عند محاولة تقريب قيمة المنحنى بخط مستقيم ؛ في هذه الحالات ، يجب تقليل حجم الفاصل الزمني لجعل التقريب أكثر دقة.
للحصول على نتائج أفضل فيما يتعلق بالتقريب ، يُنصح باستخدام وظائف الدرجة 2 أو 3 أو حتى درجات أعلى لإجراء الاستيفاء. بالنسبة لهذه الحالات ، تعتبر نظرية تايلور أداة مفيدة للغاية.
تمارين محلولة
التمرين 1
يتم عرض عدد البكتيريا لكل وحدة حجم موجودة في الحضانة بعد x ساعة في الجدول التالي. تريد معرفة حجم البكتيريا لمدة 3.5 ساعة.
المحلول
لا يحدد الجدول المرجعي قيمة تشير إلى كمية البكتيريا لمدة 3.5 ساعة ، ولكن لديه قيم عليا وسفلية تقابل وقت 3 و 4 ساعات ، على التوالي. من ذلك الطريق:
س 0 = 3 و 0 = 91
س = 3.5 ص =؟
س 1 = 4 و 1 = 135
الآن ، يتم تطبيق المعادلة الرياضية لإيجاد القيمة المحرفة ، وهي كالتالي:
ص = ص 0 + (ص 1 - ص 0) *.
ثم يتم استبدال القيم المقابلة:
ص = 91 + (135 - 91) *
ص = 91 + (44) *
ص = 91 + 44 * 0.5
ص = 113.
وبذلك يتضح أنه لمدة 3.5 ساعة ، يكون عدد البكتيريا 113 ، وهو ما يمثل مستوى متوسطًا بين حجم البكتيريا الموجودة في أوقات 3 و 4 ساعات.
تمرين 2
لويس لديه مصنع للآيس كريم ، ويريد إجراء دراسة لتحديد الدخل الذي حصل عليه في أغسطس بناءً على النفقات التي تم تكبدها. يقوم مدير الشركة بعمل رسم بياني يعبر عن هذه العلاقة ، لكن لويس يريد أن يعرف:
ما هو الدخل لشهر أغسطس إذا تم تكبد مصروفات قدرها 55000 دولار؟
المحلول
يتم إعطاء رسم بياني بقيم الدخل والمصروفات. يريد لويس معرفة الدخل لشهر آب (أغسطس) إذا كانت تكلفة المصنع 55 ألف دولار. لا تنعكس هذه القيمة مباشرة في الرسم البياني ، لكن القيم أعلى وأقل من ذلك.
أولاً ، يتم عمل جدول حيث يمكن ربط القيم بسهولة:
الآن ، يتم استخدام صيغة الاستيفاء لتحديد قيمة y
ص = ص 0 + (ص 1 - ص 0) *
ثم يتم استبدال القيم المقابلة:
ص = 56000 + (78000 - 56000) *
ص = 56000 + (22000) *
ص = 56000 + (22000) * (0.588)
ص = 56000 + 12936
ص = 68936 دولارًا.
إذا تم إجراء مصروف 55000 دولار في أغسطس ، كان الدخل 68936 دولارًا.
المراجع
- آرثر جودمان ، إل إتش (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.
- هاربي ، ب. د. (2000). موضوعات في نظرية المجموعة الهندسية. مطبعة جامعة شيكاغو.
- Hazewinkel ، M. (2001). الاستيفاء الخطي "، موسوعة الرياضيات.
- ، جم (1998). عناصر الطرق العددية للهندسة. UASLP.
- ، إي (2002). التسلسل الزمني للاستيفاء: من علم الفلك القديم إلى معالجة الإشارات والصور الحديثة. وقائع IEEE.
- عددية ، أ. (2006). كزافييه توماس ، جوردي كوادروس ، لوسينيو غونزاليس.