حد فيرمات: ما يتكون منه وتمارين حلها - رياضيات - 2026

على حد فيرما هو طريقة عددية تستخدم للحصول على قيمة المنحدر من خط، والذي هو الظل الى وظيفة عند نقطة معينة في المجال الخاص به. يتم استخدامه أيضًا للحصول على النقاط الحرجة للدالة. يتم تعريف تعبيرها على النحو التالي:

من الواضح أن فيرما لم يكن يعرف أساسيات الاشتقاق ، لكن دراساته هي التي دفعت مجموعة من علماء الرياضيات إلى الاستفسار عن خطوط الظل وتطبيقاتها في حساب التفاضل والتكامل.

ما هو حد فيرما؟

يتكون من نهج من نقطتين ، والتي في الظروف السابقة تشكل خطًا قاطعًا للوظيفة مع تقاطع في أزواج من القيم.

من خلال الاقتراب من المتغير إلى القيمة "أ" ، يتم إجبار زوج النقاط على الالتقاء. بهذه الطريقة ، يصبح الخط القاطع السابق مماسًا للنقطة (أ ؛ و (أ)).

قيمة حاصل القسمة (x - a) ، عند تقييمها عند النقطة "a" ، ينتج عنها عدم تحديد حدود النوع K بين الصفر (K / 0). حيث يمكن كسر هذه اللاحتميات من خلال تقنيات العوملة المختلفة.

تقنيات التشغيل الأكثر استخدامًا هي:

-الفرق بين المربعات (أ ² - ب ²) = (أ + ب) (أ - ب) ؛ يشير وجود العنصر (أ - ب) في معظم الحالات إلى العامل الذي يبسط التعبير (س - أ) في حاصل قسمة حد فيرما.

- استكمال المربعات (فأس ² + ب س) ؛ بعد إكمال المربعات ، يتم الحصول على نيوتن ذي الحدين ، حيث يتم تبسيط أحد عامليها بالتعبير (س - أ) ، وكسر عدم التحديد.

- المتقارن (أ + ب) / (أ + ب) ؛ يمكن أن يساعد ضرب التعبير وتقسيمه على اقتران عامل ما في كسر عدم التعيين.

- عامل مشترك؛ في كثير من الحالات ، تخفي نتيجة تشغيل بسط حد فيرمات f (x) - f (a) العامل (x - a) اللازم للعامل. لهذا ، يتم ملاحظة العناصر التي تتكرر في كل عامل من عوامل التعبير بعناية.

تطبيق حد فيرما على الحدود القصوى والدنيا

على الرغم من أن حد Fermat لا يفرق بين الحدود القصوى والدنيا ، لأنه لا يمكنه تحديد النقاط الحرجة إلا وفقًا لتعريفه ، فإنه يُستخدم بشكل شائع في حساب قمم أو طوابق الوظائف في المستوى.

قد تكون المعرفة الأساسية للنظرية الرسومية للوظائف بالاقتران مع هذه النظرية كافية لإنشاء القيم القصوى والدنيا بين الوظائف. في الواقع ، يمكن تحديد نقاط الانعطاف من خلال نظرية القيمة المتوسطة بالإضافة إلى نظرية فيرما.

المثل المكعب

جاءت أهم مفارقة بالنسبة لفيرمات من دراسة القطع المكافئ المكعب. نظرًا لأنه تم توجيه انتباهه إلى الخطوط المماس للدالة لنقطة معينة ، فقد واجه مشكلة تحديد خط الظل المذكور عند نقطة الانعطاف في الوظيفة.

بدا من المستحيل تحديد خط المماس إلى نقطة ما. وهكذا يبدأ التحقيق الذي من شأنه أن يؤدي إلى حساب التفاضل. تم تعريفه لاحقًا من قبل دعاة الرياضيات المهمين.

مكسيموس و مينيموس

كانت دراسة الحدود القصوى والدنيا لوظيفة ما تحديًا للرياضيات الكلاسيكية ، حيث كانت هناك حاجة إلى طريقة عملية لا لبس فيها لتحديدها.

أنشأ فيرما طريقة تعتمد على تشغيل القيم التفاضلية الصغيرة ، والتي يتم التخلص منها بعد عمليات العوملة ، مما يفسح المجال لأقصى وأدنى قيمة مطلوبة.

يجب تقييم هذا المتغير في التعبير الأصلي لتحديد تنسيق النقطة المذكورة ، والتي سيتم تحديدها مع المعايير التحليلية على أنها الحد الأقصى أو الحد الأدنى للتعبير.

طريقة

في طريقته ، يستخدم Fermat الرمزية الحرفية لـ Vieta ، والتي تتكون من الاستخدام الحصري للأحرف الكبيرة: حروف العلة ، للمجهول ، والحروف الساكنة للكميات المعروفة.

في حالة القيم الراديكالية ، نفذ فيرما عملية معينة ، والتي سيتم استخدامها لاحقًا في تحليل عوامل حدود اللامحدودة اللانهائية بين اللانهاية.

تتكون هذه العملية من قسمة كل تعبير على قيمة التفاضل المستخدم. في حالة Fermat ، استخدم الحرف E ، حيث بعد القسمة على أعلى قوة لـ E ، تصبح القيمة المطلوبة للنقطة الحرجة واضحة.

التاريخ

حد فيرما هو في الواقع أحد أقل المساهمات شهرة في القائمة الطويلة لعالم الرياضيات. انتقلت دراساته من الأعداد الأولية إلى إنشاء أساس الحساب.

في المقابل ، كان فيرمات معروفًا بغرابة الأطوار فيما يتعلق بفرضياته. كان من الشائع بالنسبة له أن يترك نوعًا من التحدي لعلماء الرياضيات الآخرين في ذلك الوقت ، عندما كان لديه بالفعل الحل أو الدليل.

كان لديه مجموعة كبيرة ومتنوعة من الخلافات والتحالفات مع علماء رياضيات مختلفين في ذلك الوقت ، الذين يحبون العمل معه أو يكرهونه.

كانت نظريته الأخيرة هي المسؤولة الرئيسية عن شهرته في جميع أنحاء العالم ، حيث ذكر أن تعميم نظرية فيثاغورس لأي درجة "n" أمر مستحيل. ادعى أن لديه دليلًا صالحًا على ذلك ، لكنه توفي قبل نشره.

كان على هذه المظاهرة أن تنتظر ما يقرب من 350 عامًا. في عام 1995 ، وضع عالما الرياضيات أندرو وايلز وريتشارد تايلور حدًا للقلق الذي خلفه فيرمات ، وأثبتا أنه كان محقًا من خلال إثبات صالح لنظريته الأخيرة.

تمارين

التمرين 1

حدد ميل خط المماس للمنحنى f (x) = x ² عند النقطة (4 ، 16)

الاستبدال في التعبير عن حد فيرما لدينا:

تم تبسيط العوامل (x - 4)

عند التقييم لديك

م = 4 + 4 = 8

تمرين 2

حدد النقطة الحرجة للتعبير f (x) = x ² + 4x باستخدام حد Fermat

يتم تنفيذ تجميع استراتيجي للعناصر ، سعياً لتجميع الأزواج XX ₀

تم تطوير المربعات الصغرى

لاحظ العامل المشترك XX _{0 واستخرجه}

يمكن الآن تبسيط التعبير وكسر عدم التحديد

عند الحد الأدنى من النقاط ، من المعروف أن ميل خط المماس يساوي صفرًا. بهذه الطريقة يمكننا معادلة المقدار الموجود بالصفر وإيجاد القيمة X ₀

2 × ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

للحصول على الإحداثي المفقود ، من الضروري فقط تقييم النقطة في الوظيفة الأصلية

و (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4-8 = - 4

النقطة الحرجة هي P (-2، -4).

المراجع

1. تحليل حقيقي. نهج تاريخي ، Sauhl Stahl ، John Wiley & Sons ، 5 أغسطس. 1999.
2. المهنة الرياضية لبيير دي فيرما ، 1601-1665: الطبعة الثانية. مايكل شون ماهوني. مطبعة جامعة برينستون ، 5 يونيو. 2018
3. من فيرمات إلى مينكوفسكي: محاضرات حول نظرية الأعداد وتطورها التاريخي. W. Scharlau، H. Opolka، Springer Science & Business Media، 1985
4. نظرية فيرما الأخيرة: مقدمة وراثية لنظرية الأعداد الجبرية. هارولد إم إدواردز. Springer Science & Business Media ، 14 يناير 2000
5. أيام فيرما 85: الرياضيات من أجل التحسين. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier ، 1 يناير. 1986