تعد طريقة المربعات الصغرى من أهم التطبيقات في تقريب الوظائف. تكمن الفكرة في العثور على منحنى بحيث ، بالنظر إلى مجموعة الأزواج المرتبة ، تقارب هذه الوظيفة البيانات بشكل أفضل. يمكن أن تكون الوظيفة عبارة عن خط أو منحنى تربيعي أو مكعب ، إلخ.
تتكون فكرة الطريقة من تقليل مجموع مربعات الاختلافات في التنسيق (مكون Y) ، بين النقاط الناتجة عن الوظيفة المختارة والنقاط التي تنتمي إلى مجموعة البيانات.
طريقة المربعات الصغرى
قبل إعطاء الطريقة ، يجب أولاً أن نكون واضحين بشأن معنى "نهج أفضل". لنفترض أننا نبحث عن خط y = b + mx يمثل أفضل مجموعة من النقاط n ، أي {(x1، y1)، (x2، y2)…، (xn، yn)}.
كما هو مبين في الشكل السابق ، إذا كان المتغيران x و y مرتبطين بالخط y = b + mx ، فإن x = x1 تكون القيمة المقابلة لـ y هي b + mx1. ومع ذلك ، تختلف هذه القيمة عن القيمة الحقيقية لـ y ، وهي y = y1.
تذكر أنه في المستوى ، يتم الحصول على المسافة بين نقطتين بالصيغة التالية:
مع وضع ذلك في الاعتبار ، لتحديد طريقة اختيار الخط y = b + mx الذي يقترب بشكل أفضل من البيانات المعطاة ، يبدو من المنطقي استخدام معيار اختيار الخط الذي يقلل من مجموع مربعات المسافات بين النقاط وعلى التوالي.
نظرًا لأن المسافة بين النقطتين (x1، y1) و (x1، b + mx1) هي y1- (b + mx1) ، فإن مشكلتنا تقلل من إيجاد الأعداد m و b بحيث يكون المجموع التالي ضئيلًا:
يُعرف الخط الذي يحقق هذا الشرط باسم «تقريب خط المربعات الصغرى للنقاط (x1 ، y1) ، (x2 ، y2) ،… ، (xn ، yn)».
بمجرد الحصول على المشكلة ، يبقى فقط اختيار طريقة للعثور على تقريب المربعات الصغرى. إذا كانت النقاط (x1، y1) و (x2، y2)…
في هذا التعبير:
أخيرًا ، إذا لم تكن النقاط على خط واحد ، فعندئذٍ y-Au = 0 ويمكن ترجمة المشكلة إلى إيجاد متجه u بحيث تكون القاعدة الإقليدية في حدها الأدنى.
العثور على متجه التصغير u ليس بالأمر الصعب الذي قد تعتقده. نظرًا لأن A عبارة عن مصفوفة nx2 و u عبارة عن مصفوفة 2 × 1 ، فلدينا المتجه Au متجه في R n وينتمي إلى صورة A ، وهي مساحة فرعية لـ R n وبُعد لا يزيد عن اثنين.
سنفترض أن n = 3 لإظهار الإجراء الذي يجب اتباعه. إذا كان n = 3 ، فإن صورة A ستكون مستوية أو خطًا يمر عبر الأصل.
دع v يكون متجه التصغير. في الشكل ، نرى أن y-Au يتم تصغيره إلى أدنى حد عندما يكون متعامدًا مع صورة A. أي ، إذا كان v هو متجه التصغير ، فسيحدث ما يلي:
بعد ذلك ، يمكننا التعبير عن ما سبق بهذه الطريقة:
يمكن أن يحدث هذا فقط إذا:
أخيرًا ، لحل v ، لدينا:
من الممكن القيام بذلك لأن A t A قابل للعكس طالما أن n من النقاط المعطاة كبيانات ليست على علاقة خطية.
الآن ، إذا أردنا ، بدلاً من البحث عن خط ، العثور على القطع المكافئ (الذي سيكون تعبيره على الشكل y = a + bx + cx 2) والذي سيكون تقريبًا أفضل لنقاط البيانات n ، فسيكون الإجراء كما هو موضح أدناه.
إذا كانت نقاط البيانات n في هذا القطع المكافئ ، فسنحصل على:
ثم:
وبالمثل يمكننا كتابة y = Au. إذا لم تكن جميع النقاط في القطع المكافئ ، فلدينا أن y-Au يختلف عن الصفر لأي متجه u ومشكلتنا مرة أخرى: ابحث عن المتجه u في R3 بحيث يكون معياره --y-Au - صغيرًا قدر الإمكان.
بتكرار الإجراء السابق ، يمكننا الوصول إلى أن المتجه المطلوب هو:
تمارين محلولة
التمرين 1
أوجد الخط الأنسب للنقاط (1،4) و (-2،5) و (3، -1) و (4،1).
المحلول
علينا أن:
ثم:
لذلك ، نستنتج أن السطر الذي يناسب النقاط يتم تقديمه من خلال:
تمرين 2
افترض أن جسمًا قد سقط من ارتفاع 200 متر. عند سقوطه ، يتم اتخاذ الخطوات التالية:
نعلم أن ارتفاع الجسم المذكور ، بعد انقضاء فترة زمنية t ، يُعطى بواسطة:
إذا كنا نرغب في الحصول على قيمة g ، فيمكننا العثور على القطع المكافئ الذي يعد تقريبًا أفضل للنقاط الخمس الواردة في الجدول ، وبالتالي سيكون لدينا المعامل الذي يصاحب t 2 سيكون تقريبًا معقولاً لـ (-1/2) g إذا كان القياسات دقيقة.
علينا أن:
و لاحقا:
لذا فإن نقاط البيانات تتلاءم مع التعبير التربيعي التالي:
لذلك عليك أن:
هذه قيمة قريبة بشكل معقول من التصحيح ، وهي g = 9.81 m / s 2. من أجل الحصول على تقريب أكثر دقة لـ g ، سيكون من الضروري البدء من ملاحظات أكثر دقة.
لما هذا؟
في المشكلات التي تحدث في العلوم الطبيعية أو الاجتماعية ، من المناسب كتابة العلاقات الموجودة بين المتغيرات المختلفة عن طريق بعض التعبيرات الرياضية.
على سبيل المثال ، في علم الاقتصاد يمكننا ربط التكلفة (C) والدخل (I) والأرباح (U) من خلال صيغة بسيطة:
في الفيزياء ، يمكننا ربط التسارع الناتج عن الجاذبية ، والوقت الذي يسقط فيه الجسم ، وارتفاع الجسم بالقانون:
في التعبير السابق ، s o هو الارتفاع الأولي للجسم المذكور و v o هي سرعته الابتدائية.
ومع ذلك ، فإن العثور على صيغ مثل هذه ليس مهمة سهلة ؛ عادة ما يكون الأمر متروكًا للمحترف المناوب للعمل مع الكثير من البيانات وإجراء العديد من التجارب بشكل متكرر (من أجل التحقق من أن النتائج التي تم الحصول عليها ثابتة) للعثور على العلاقات بين البيانات المختلفة.
الطريقة الشائعة لتحقيق ذلك هي تمثيل البيانات التي تم الحصول عليها في المستوى كنقاط والبحث عن وظيفة مستمرة تقارب هذه النقاط على النحو الأمثل.
إحدى طرق العثور على الوظيفة التي "تقرب بشكل أفضل" البيانات المعطاة هي طريقة المربعات الصغرى.
بالإضافة إلى ذلك ، كما رأينا أيضًا في التمرين ، فبفضل هذه الطريقة يمكننا الحصول على تقديرات قريبة إلى حد ما من الثوابت الفيزيائية.
المراجع
- تشارلز دبليو كورتيس الجبر الخطي. سبرينغر فيلارج
- كاي لاي تشونغ. نظرية الاحتمال الأولية مع العمليات العشوائية. Springer-Verlag نيويورك إنك
- ريتشار إل بوردن وجيه دوغلاس فيريس. التحليل العددي (7ed). طومسون التعلم.
- ستانلي آي غروسمان. تطبيقات الجبر الخطي. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- ستانلي آي غروسمان. الجبر الخطي. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO