طريقة GAUSS-SEIDEL: شرح ، تطبيقات ، أمثلة - رياضيات - 2026

و غاوس-سيدل الأسلوب هو إجراء متكررة لإيجاد الحلول التقريبية لنظام المعادلات الجبرية الخطية مع دقة اختيار تعسفي. يتم تطبيق الطريقة على المصفوفات المربعة التي تحتوي على عناصر غير صفرية في أقطارها ويتم ضمان التقارب إذا كانت المصفوفة مهيمنة قطريًا.

تم إنشاؤه بواسطة كارل فريدريش غاوس (1777-1855) ، الذي قدم عرضًا خاصًا لأحد طلابه في عام 1823. ونشره لاحقًا بشكل رسمي فيليب لودفيج فون سيدل (1821-1896) في عام 1874 ، ومن هنا جاء الاسم كلا علماء الرياضيات.

الشكل 1. تتقارب طريقة Gauss-Seidel بسرعة للحصول على حل لنظام المعادلات. المصدر: F. Zapata.

لفهم الطريقة بشكل كامل ، من الضروري معرفة أن المصفوفة هي المهيمنة قطريًا عندما تكون القيمة المطلقة للعنصر القطري لكل صف أكبر من أو تساوي مجموع القيم المطلقة للعناصر الأخرى من نفس الصف.

رياضيا يتم التعبير عنها على النحو التالي:

شرح باستخدام حالة بسيطة

لتوضيح ما تتكون منه طريقة Gauss-Seidel ، سنأخذ حالة بسيطة ، حيث يمكن العثور على قيم X و Y في نظام 2 × 2 من المعادلات الخطية الموضحة أدناه:

5 س + 2 ص = 1

س - 4 ص = 0

الخطوات لمتابعة

1- في المقام الأول ، من الضروري تحديد ما إذا كان التقارب آمنًا. يُلاحظ على الفور أنه ، في الواقع ، نظام مهيمن قطريًا ، لأنه في الصف الأول يكون للمعامل الأول قيمة مطلقة أعلى من المعامل الآخر في الصف الأول:

-5 -> - 2-

وبالمثل ، فإن المعامل الثاني في الصف الثاني هو أيضًا المسيطر قطريًا:

--4 -> - 1-

2- تم مسح المتغيرين X و Y:

X = (1 - 2Y) / 5

ص = س / 4

3- يتم وضع قيمة أولية عشوائية تسمى "بذرة": Xo = 1، I = 2.

4-يبدأ التكرار: للحصول على التقريب الأول X1 ، Y1 ، يتم استبدال البذرة في المعادلة الأولى من الخطوة 2 والنتيجة في المعادلة الثانية من الخطوة 2:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3/5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- نسير بطريقة مماثلة للحصول على التقريب الثاني لحل نظام المعادلات:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- التكرار الثالث:

X3 = (1-2 Y2) / 5 = (1-2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- التكرار الرابع كالتكرار النهائي لهذه الحالة التوضيحية:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1-2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

تتوافق هذه القيم تمامًا مع الحل الذي تم العثور عليه بواسطة طرق الدقة الأخرى. يمكن للقارئ التحقق من ذلك بسرعة بمساعدة برنامج الرياضيات عبر الإنترنت.

تحليل الطريقة

كما يتضح ، في طريقة Gauss-Seidel ، يجب استبدال القيم التقريبية التي تم الحصول عليها للمتغير السابق في نفس الخطوة في المتغير التالي. وهذا ما يميزها عن الطرق التكرارية الأخرى مثل طريقة جاكوبي ، حيث تتطلب كل خطوة تقديرات المرحلة السابقة.

طريقة Gauss-Seidel ليست إجراءً موازيًا ، بينما طريقة Gauss-Jordan كذلك. وهذا هو السبب أيضًا في أن طريقة Gauss-Seidel لها تقارب أسرع - بخطوات أقل - من طريقة Jordan.

أما بالنسبة لحالة المصفوفة السائدة قطريًا ، فلا يتم تحقيق ذلك دائمًا. ومع ذلك ، في معظم الحالات ، يكون مجرد تبديل الصفوف من النظام الأصلي كافياً لتحقيق الشرط. علاوة على ذلك ، تتقارب الطريقة دائمًا تقريبًا ، حتى عندما لا يتم استيفاء حالة الهيمنة القطرية.

يمكن كتابة النتيجة السابقة ، التي تم الحصول عليها بأربعة تكرارات من طريقة Gauss-Seidel ، في شكل عشري:

X4 = 0.1826

Y4 = 0.04565

الحل الدقيق لنظام المعادلات المقترح هو:

س = 2/11 = 0.1818

ص = 1/22 = 0.04545.

لذلك ، من خلال 4 تكرارات فقط ، تحصل على نتيجة بدقة لا تقل عن ألف (0.001).

يوضح الشكل 1 كيف تتقارب التكرارات المتتالية بسرعة مع الحل الدقيق.

التطبيقات

لا تقتصر طريقة Gauss-Seidel على نظام 2 × 2 من المعادلات الخطية فقط. يمكن تعميم الإجراء السابق لحل نظام خطي من معادلات n مع n مجهولة ، والتي يتم تمثيلها في مصفوفة مثل هذا:

أ س = ب

حيث A هي مصفوفة nxn ، بينما X هي مكونات المتجه n للمتغيرات n التي يجب حسابها ؛ و b متجه يحتوي على قيم المصطلحات المستقلة.

لتعميم تسلسل التكرارات المطبق في الحالة التوضيحية على نظام nxn ، والذي يريد المتغير Xi حسابه ، سيتم تطبيق الصيغة التالية:

في هذه المعادلة:

- k هو مؤشر القيمة التي تم الحصول عليها في التكرار k.

-k + 1 يشير إلى القيمة الجديدة في ما يلي.

يتم تحديد العدد النهائي للتكرارات عندما تختلف القيمة التي تم الحصول عليها في التكرار k + 1 عن القيمة التي تم الحصول عليها من قبل مباشرةً ، بمقدار ε وهو بالضبط الدقة المطلوبة.

أمثلة على طريقة Gauss-Seidel

- مثال 1

اكتب خوارزمية عامة تسمح بحساب متجه الحلول التقريبية X لنظام خطي من المعادلات nxn ، بالنظر إلى مصفوفة المعاملات A ، ومتجه المصطلحات المستقلة b ، وعدد التكرارات (i ثالثًا) والقيمة الأولية أو "البداية "من ناقلات X.

المحلول

تتكون الخوارزمية من دورتين "إلى" ، واحدة لعدد التكرارات والأخرى لعدد المتغيرات. سيكون على النحو التالي:

ل k ∊

لأني ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- المثال 2

تحقق من تشغيل الخوارزمية السابقة من خلال تطبيقها في البرنامج الرياضي المجاني والمجاني SMath Studio المتاح لنظامي التشغيل Windows و Android. خذ مثالا حالة المصفوفة 2 × 2 التي ساعدتنا في توضيح طريقة Gauss-Seidel.

المحلول

الشكل 2. حل نظام المعادلات للمثال 2 × 2 ، باستخدام برنامج SMath Studio. المصدر: F. Zapata.

- مثال 3

تطبيق خوارزمية Gauss-Seidel لنظام المعادلات 3 × 3 التالي ، والتي تم ترتيبها مسبقًا بطريقة تسود فيها معاملات القطر (أي ذات قيمة مطلقة أكبر من القيم المطلقة لمعاملات نفس الصف):

9 × 1 + 2 × 2 - × 3 = -2

7 × 1 + 8 × 2 + 5 × 3 = 3

3 × 1 + 4 × 2 - 10 × 3 = 6

استخدم المتجه الصفري كبذرة واعتبر خمس تكرارات. التعليق على النتيجة.

المحلول

الشكل 3. حل نظام المعادلات للمثال 3 محلول باستخدام SMath Studio. المصدر: F. Zapata.

يتم الحصول على النتائج التالية لنفس النظام مع 10 تكرارات بدلاً من 5: X1 = -0.485؛ X2 = 1.0123 ؛ X3 = -0.3406

يخبرنا هذا أن خمس تكرارات كافية للحصول على ثلاثة منازل عشرية من الدقة وأن الطريقة تتقارب بسرعة مع الحل.

- مثال 4

باستخدام خوارزمية Gauss-Seidel المذكورة أعلاه ، أوجد الحل لنظام 4 × 4 من المعادلات الواردة أدناه:

10 × 1 - × 2 + 2 × 3 + 0 × 4 = 6

-1 × 1 + 11 × 2 - 1 × 3 + 3 × 4 = 25

2 × 1 - 1 × 2 + 10 × 3 - 1 × 4 = -11

0 × 1 + 3 × 2 - 1 × 3 + 8 × 4 = 15

لبدء الطريقة ، استخدم هذه البذرة:

x1 = 0 ، x2 = 0 ، x3 = 0 ، x4 = 0

ضع في اعتبارك 10 تكرارات وقم بتقدير خطأ النتيجة ، مقارنةً برقم التكرار 11.

المحلول

الشكل 4. حل نظام المعادلات للمثال الذي تم حله 4 ، باستخدام SMath Studio. المصدر: F. Zapata.

عند المقارنة مع التكرار التالي (رقم 11) ، تكون النتيجة متطابقة. أكبر الفروق بين التكرارين تكون في حدود 2 × 10 ^-8 ، مما يعني أن الحل المعروض لديه دقة لا تقل عن سبع منازل عشرية.

المراجع

1. طرق الحل التكراري. غاوس سيدل. تم الاسترجاع من: cimat.mx
2. الطرق العددية. غاوس سيدل. تم الاسترجاع من: test.cua.uam.mx
3. العددية: طريقة Gauss-Seidel. تم الاسترجاع من: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. ويكيبيديا. طريقة Gauss-Seidel. تعافى من: en. wikipedia.com
5. ويكيبيديا. طريقة Gauss-Seidel. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com