توجد مصفوفة متعامدة عندما يتم ضرب المصفوفة المذكورة في مدورها في مصفوفة الوحدة. إذا كان معكوس المصفوفة يساوي مدور المصفوفة فإن المصفوفة الأصلية تكون متعامدة.
تتميز المصفوفات المتعامدة بخاصية أن عدد الصفوف يساوي عدد الأعمدة. علاوة على ذلك ، فإن نواقل الصف هي متجهات متعامدة للوحدة كما أن متجهات الصف المقلوبة هي أيضًا.
الشكل 1. مثال على المصفوفة المتعامدة وكيف تقوم بتحويل الأشياء الهندسية. (من إعداد ريكاردو بيريز)
عندما تُضرب المصفوفة المتعامدة في متجهات فضاء متجه ، فإنها تنتج تحويلًا متساوي القياس ، أي تحويل لا يغير المسافات ويحافظ على الزوايا.
الممثل النموذجي للمصفوفات المتعامدة هي مصفوفات الدوران. تسمى تحولات المصفوفات المتعامدة على فضاء متجه التحولات المتعامدة.
تتم التحولات الهندسية للدوران وانعكاس النقاط التي تمثلها متجهاتها الديكارتية من خلال تطبيق المصفوفات المتعامدة على المتجهات الأصلية للحصول على إحداثيات المتجهات المحولة. ولهذا السبب تُستخدم المصفوفات المتعامدة على نطاق واسع في معالجة رسومات الكمبيوتر.
الخصائص
مصفوفة M هو متعامد إذا مضروبا تبديل لها M T يعطي نتيجة لذلك مصفوفة الوحدة I. وبالمثل ، ينتج عن حاصل ضرب تبديل المصفوفة المتعامدة بواسطة المصفوفة الأصلية مصفوفة الهوية:
MM T = M T M = أنا
كنتيجة للبيان السابق ، لدينا أن تبديل المصفوفة المتعامدة يساوي معكوس المصفوفة:
م تي = م -1 .
تشكل مجموعة المصفوفات المتعامدة ذات البعد nxn المجموعة المتعامدة O (n). والمجموعة الفرعية من O (n) من المصفوفات المتعامدة ذات المحدد +1 تشكل مجموعة المصفوفات الخاصة الوحدوية SU (n). مصفوفات المجموعة SU (n) عبارة عن مصفوفات تنتج تحويلات خطية للدوران ، تُعرف أيضًا باسم مجموعة التدويرات.
برهنة
نريد أن نبين أن المصفوفة متعامدة إذا ، وفقط إذا ، كانت متجهات الصف (أو متجهات العمود) متعامدة مع بعضها البعض ومعيارية 1.
افترض أن صفوف المصفوفة المتعامدة nxn هي ن متجهات متعامدة ذات أبعاد n. إذا تم الإشارة إليه بواسطة v 1 ، v 2 ،…. ، V n إلى n ناقلات تحمل:
حيث من الواضح أن مجموعة متجهات الصف هي مجموعة من النواقل المتعامدة مع القاعدة الأولى.
أمثلة
مثال 1
بيّن أن المصفوفة 2 × 2 في صفها الأول بها المتجه v1 = (-1 0) وفي صفها الثاني المتجه v2 = (0 1) عبارة عن مصفوفة متعامدة.
الحل: يتم إنشاء المصفوفة M ويتم حساب تبديلها M T:
في هذا المثال ، المصفوفة M هي منقول ذاتيًا ، أي أن المصفوفة وتدويرها متطابقان. اضرب M في تبديلها M T:
تم التحقق من أن MM T يساوي مصفوفة الهوية:
عندما يتم ضرب المصفوفة M بإحداثيات متجه أو نقطة ، يتم الحصول على إحداثيات جديدة تتوافق مع التحويل الذي تقوم به المصفوفة على المتجه أو النقطة.
يوضح الشكل 1 كيف يحول M المتجه u إلى u وكذلك كيف يحول M المضلع الأزرق إلى مضلع أحمر. نظرًا لأن M متعامد ، فهو إذن تحول متعامد يحافظ على المسافات والزوايا.
مثال 2
افترض أن لديك مصفوفة 2 × 2 محددة في القيم الحقيقية المعطاة بالتعبير التالي:
أوجد القيم الحقيقية لـ a و b و c و d بحيث تكون المصفوفة M مصفوفة متعامدة.
الحل: بحكم التعريف ، تكون المصفوفة متعامدة إذا تم ضربها بمدورها يتم الحصول على مصفوفة الهوية. تذكر أنه تم الحصول على المصفوفة المنقولة من الصفوف الأصلية المتبادلة للأعمدة ، يتم الحصول على المساواة التالية:
نقوم بضرب المصفوفة لدينا:
بموازنة عناصر المصفوفة اليسرى بعناصر مصفوفة الوحدة على اليمين ، نحصل على نظام مكون من أربع معادلات بأربعة مجاهيل a و b و c و d.
نقترح لـ a و b و c و d التعبيرات التالية من حيث النسب المثلثية الجيب وجيب التمام:
مع هذا الاقتراح وبسبب الهوية المثلثية الأساسية ، يتم إرضاء المعادلتين الأولى والثالثة تلقائيًا في مساواة عناصر المصفوفة. المعادلتان الثالثة والرابعة هي نفسها وفي مساواة المصفوفة بعد استبدال القيم المقترحة تبدو كما يلي:
مما يؤدي إلى الحل التالي:
أخيرًا ، يتم الحصول على الحلول التالية للمصفوفة المتعامدة M:
لاحظ أن أول الحلول له محدد +1 لذا فهو ينتمي إلى المجموعة SU (2) ، بينما الحل الثاني له المحدد -1 وبالتالي لا ينتمي إلى هذه المجموعة.
مثال 3
بالنظر إلى المصفوفة التالية ، أوجد قيمتي a و b حتى يكون لدينا مصفوفة متعامدة.
الحل: لكي تكون مصفوفة معينة متعامدة ، يجب أن يكون المنتج مع مدور مصفوفة الهوية. بعد ذلك ، يتم تنفيذ حاصل ضرب المصفوفة للمصفوفة المعطاة مع مصفوفة منقولها ، مع إعطاء النتيجة التالية:
بعد ذلك ، يتم معادلة النتيجة بمصفوفة الهوية 3 × 3:
في الصف الثاني ، يحتوي العمود الثالث (ab = 0) ، ولكن لا يمكن أن يكون a صفرًا ، وإلا فلن تتحقق المساواة بين عناصر الصف الثاني والعمود الثاني. ثم بالضرورة ب = 0. استبدال b بالقيمة 0 لدينا:
ثم تحل المعادلة: 2 أ ^ 2 = 1 ، حلولها هي: + 2 و -2.
بأخذ الحل الإيجابي لـ a ، يتم الحصول على المصفوفة المتعامدة التالية:
يمكن للقارئ أن يتحقق بسهولة من أن متجهات الصف (وكذلك متجهات العمود) متعامدة ووحدة ، أي متعامدة.
مثال 4
بيّن أن المصفوفة A التي يكون متجه صفها v1 = (0 ، -1 0) ، v2 = (1 ، 0 ، 0) و v3 = (0 0-1) هي مصفوفة متعامدة. بالإضافة إلى ذلك ، يمكنك العثور على المتجهات يتم تحويلها من الأساس المتعارف عليه i و j و k إلى المتجهات u1 و u2 و u3.
الحل: يجب أن نتذكر أن العنصر (i، j) من المصفوفة مضروبًا في منقولها ، هو حاصل الضرب النقطي لمتجه الصف (i) في العمود (j) من المدور. علاوة على ذلك ، هذا المنتج يساوي دلتا كرونيكر في حالة أن المصفوفة متعامدة:
في حالتنا يبدو كالتالي:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0 x0 + (-1) x (0) + 0 x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
التي تبين أنها مصفوفة متعامدة.
علاوة على ذلك ، u1 = A i = (0 ، 1 ، 0) ؛ u2 = A j = (-1، 0، 0) وأخيراً u3 = A k = (0، 0، -1)
المراجع
- أنتوني نيكولايدس (1994) المحددات والمصفوفات. تمرير النشر.
- بيركوف وماكلين. (1980). الجبر الحديث ، أد. Vicens-Vives ، مدريد.
- Casteleiro Villalba M. (2004) مقدمة في الجبر الخطي. افتتاحية ESIC.
- ديف كيركبي (2004) Maths Connect. هاينمان.
- جيني أوليف (1998) الرياضيات: دليل بقاء الطالب. صحافة جامعة كامبرج.
- ريتشارد ج.براون (2012) رياضيات 30 ثانية: أكثر 50 نظرية توسعًا للعقل في الرياضيات. آيفي برس المحدودة.
- ويكيبيديا. مصفوفة متعامدة. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
- ويكيبيديا. مصفوفة متعامدة. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com