أرقام خيالية: خصائص ، تطبيقات ، أمثلة - رياضيات - 2026

ل أرقام خيالية هي تلك التي حل المعادلة التي المجهول، ارتقى إلى مربع يساوي العدد الحقيقي السلبي. الوحدة التخيلية هي i = √ (-1).

في المعادلة: z ² = - a ، z هو رقم تخيلي يتم التعبير عنه على النحو التالي:

ض = √ (-a) = أنا (أ)

كونه رقم حقيقي موجب. إذا كانت a = 1 ، إذن z = i ، حيث i هي الوحدة التخيلية.

الشكل 1. مستوي مركب يظهر بعض الأعداد الحقيقية وبعض الأعداد التخيلية وبعض الأعداد المركبة. المصدر: F. Zapata.

بشكل عام ، يتم دائمًا التعبير عن رقم وهمي نقي z بالشكل:

ض = yi

حيث y عدد حقيقي و i هي الوحدة التخيلية.

تمامًا كما يتم تمثيل الأرقام الحقيقية على خط ، يسمى الخط الحقيقي ، يتم تمثيل الأرقام التخيلية بطريقة مماثلة على الخط التخيلي.

يكون الخط التخيلي دائمًا متعامدًا (شكل 90 درجة) للخط الحقيقي ويحدد الخطان المستوى الديكارتي المسمى بالمستوى المركب.

في الشكل 1 ، يظهر المستوى المركب وعليه يتم تمثيل بعض الأرقام الحقيقية وبعض الأرقام التخيلية وكذلك بعض الأرقام المركبة:

X ₁ ، X ₂ ، X ₃ أرقام حقيقية

Y ₁ ، Y ₂ ، Y ₃ أعداد تخيلية

Z ₂ و Z ₃ عددان مركبان

الرقم O هو الصفر الحقيقي وهو أيضًا الصفر التخيلي ، لذا فإن الأصل O هو الصفر المركب المعبر عنه بـ:

0 + 0 ط

الخصائص

يتم الإشارة إلى مجموعة الأرقام التخيلية من خلال:

أنا = {……

ويمكنك تحديد بعض العمليات على هذه المجموعة العددية. لا يتم الحصول على رقم وهمي دائمًا من هذه العمليات ، لذلك دعونا نلقي نظرة عليها بمزيد من التفصيل:

الجمع والطرح التخيلي

يمكن إضافة الأرقام التخيلية وطرحها من بعضها البعض ، مما ينتج عنه رقم وهمي جديد. فمثلا:

3 ط + 2 ط = 5 ط

4i - 7i = -3i

منتج خيالي

عندما يتم عمل حاصل ضرب رقم وهمي مع آخر ، تكون النتيجة رقمًا حقيقيًا. لنقم بالعملية التالية للتحقق من ذلك:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

وكما نرى ، -6 هو رقم حقيقي ، على الرغم من أنه تم الحصول عليه بضرب رقمين وهميين خالصين.

حاصل ضرب رقم حقيقي بواسطة تخيلي آخر

إذا تم ضرب رقم حقيقي بـ i ، فستكون النتيجة رقمًا وهميًا ، والذي يتوافق مع دوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة.

وهذا يعني أن i ² تقابل دورتين متتاليتين بمقدار 90 درجة ، وهو ما يعادل الضرب في -1 ، أي ، i ² = -1. يمكن رؤيته في الرسم البياني التالي:

الشكل 2. الضرب في الوحدة التخيلية i يتوافق مع دوران 90 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة. المصدر: wikimedia commons.

فمثلا:

-3 × 5 ط = -15 ط

-3 xi = -3i.

التمكين الخيالي

يمكنك تحديد تقوية رقم وهمي لأس صحيح:

أنا ¹ = أنا

أنا ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

أنا ³ = ixi ² = -i

أنا ⁴ = أنا ² xi ² = -1 x -1 = 1

أنا ⁵ = ixi ⁴ = أنا

بشكل عام ، لدينا i ⁿ = i ^ (n mod 4) ، حيث mod هو باقي القسمة بين n و 4.

يمكن أيضًا إجراء تقوية الأعداد الصحيحة السالبة:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹) = i / (i ²) = i / (-1) = -i

ط- ² = 1 / أنا ² = 1 / (-1) = -1

ط- ³ = 1 / أنا ³ = 1 / (- أنا) = (-1) / أنا = -1 × ^-1 = (-1) × (-i) = أنا

بشكل عام ، الرقم التخيلي b⋅i المرفوع إلى الأس n هو:

(ب) أنا ^ن = ب ^ن أنا ^ن = ب ^ن أنا ^ (ن تعديل 4)

فيما يلي بعض الأمثلة:

(5 ط) ¹² = 5 ¹² ط ¹² = 5 ¹² ط ⁰ = 5 ¹² × 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 ط) ¹⁰ = -2 ¹⁰ ط ¹⁰ = 2 ¹⁰ أنا ² = 1024 × (-1) = -1024

مجموع عدد حقيقي ورقم تخيلي

عندما تضيف رقمًا حقيقيًا برقم وهمي ، فإن النتيجة ليست حقيقية ولا خيالية ، إنها نوع جديد من الأرقام يسمى رقمًا مركبًا.

على سبيل المثال ، إذا كانت X = 3.5 و Y = 3.75i ​​، فإن النتيجة هي الرقم المركب:

Z = X + Y = 3.5 + 3.75 أنا

لاحظ أنه في المجموع ، لا يمكن تجميع الجزأين الحقيقي والخيالي معًا ، لذلك سيكون للرقم المركب دائمًا جزء حقيقي وجزء تخيلي.

تمد هذه العملية مجموعة الأعداد الحقيقية إلى أكبر الأعداد المركبة.

التطبيقات

تم اقتراح اسم الأرقام الخيالية من قبل عالم الرياضيات الفرنسي رينيه ديكارت (1596-1650) كمهزأة أو خلاف مع اقتراح نفس الشيء الذي قدمه عالم الرياضيات الإيطالي في القرن رافاييل بومبيلي.

أيد علماء رياضيات عظماء آخرون ، مثل أويلر وليبنيز ، ديكارت في هذا الخلاف وأطلقوا على الأرقام الخيالية أرقامًا برمائية ، والتي كانت ممزقة بين الوجود والشيء.

لا يزال اسم الأعداد التخيلية قائمًا حتى يومنا هذا ، ولكن وجودها وأهميتها حقيقيان وملموسان جدًا ، حيث تظهر بشكل طبيعي في العديد من مجالات الفيزياء مثل:

- نظرية النسبية.

- في الكهرومغناطيسية.

-ميكانيكا الكم.

تمارين بأرقام خيالية

- التمرين 1

أوجد حلول المعادلة التالية:

ض ² + 16 = 0

المحلول

ض ² = -16

أخذ الجذر التربيعي في كلا العضوين لدينا:

√ (ض ²) = √ (-16)

± ض = √ (-1 × 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

بمعنى آخر ، حلول المعادلة الأصلية هي:

ض = + 4 أوقية = -4 ط.

- تمرين 2

أوجد نتيجة رفع الوحدة التخيلية للقوة 5 مطروحًا منها طرح الوحدة التخيلية المرفوعة للقوة -5.

المحلول

ط ⁵ - أولا: ⁵ = ط ⁵ - 1 / ط ⁵ = ط - 1 / ط = ط - (ط) / (IXI) = ط - ط / (- 1) = ط + ط = 2I

- التمرين 3

ابحث عن نتيجة العملية التالية:

(3i) ³ + 9i

المحلول

3 ³ ط ³ - 9 = 9 (-i) + 9I = -9i + 9I = 0I

- التمرين 4

أوجد حلول المعادلة التربيعية التالية:

(-2x) ² + 2 = 0

المحلول

يتم إعادة ترتيب المعادلة على النحو التالي:

(-2x) ² = -2

ثم يتم أخذ الجذر التربيعي لكلا العضوين

√ ((- 2x) ²) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 × 2) = √ (-1) √ (2) = أنا √ (2) = √2 أنا

ثم نحل قيمة x لنحصل أخيرًا على:

س = ± √2 / 2 ط

أي أن هناك حلان محتملان:

س = (2/2) أنا

أو هذا الآخر:

س = - (2/2) أنا

- تمرين 5

أوجد قيمة Z المحددة من خلال:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

المحلول

نعلم أن الجذر التربيعي لعدد حقيقي سالب هو رقم تخيلي ، على سبيل المثال √ (-9) يساوي √ (9) x √ (-1) = 3i.

من ناحية أخرى ، √ (-4) تساوي √ (4) x √ (-1) = 2i.

لذلك يمكن استبدال المعادلة الأصلية بما يلي:

3I س 2I - 7 = 6 ط ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- تمرين 6

أوجد قيمة Z الناتجة عن القسمة التالية لرقمين مركبين:

Z = (9 - i ²) / (3 + i)

المحلول

يمكن تحليل بسط التعبير باستخدام الخاصية التالية:

وبالتالي:

Z = / (3 + ط)

يتم تبسيط التعبير الناتج أدناه ، وترك

Z = (3 - ط)

المراجع

1. إيرل ، ر. الأعداد المركبة. تم الاسترجاع من: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera، J. 2000. الرياضيات 1. متنوع. إصدارات CO-BO.
3. هوفمان ، ج. 2005. اختيار موضوعات الرياضيات. منشورات مونفورت.
4. Jiménez، R. 2008. الجبر. برنتيس هول.
5. ويكيبيديا. رقم خيالي. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org