الأعداد المتعالية: ما هي ، الصيغ ، الأمثلة ، التمارين - رياضيات - 2026

و الأرقام المتعالي هي تلك التي لا يمكن أن يتم الحصول عليها على نتيجة المعادلة متعدد الحدود. عكس الرقم المتسامي هو رقم جبري ، وهو عبارة عن حلول لمعادلة متعددة الحدود من النوع:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

حيث المعامِلات a _n ، a _n-1 ،….. a ₂ ، a ₁ ، a ₀ هي أرقام منطقية ، تسمى معاملات كثير الحدود. إذا كان الرقم x حلاً للمعادلة السابقة ، فإن هذا الرقم ليس متسامياً.

الشكل 1. رقمان لهما أهمية كبيرة في العلم هما رقمان متساميان. المصدر: publicdomainpictures.net.

سنحلل عددًا قليلاً من الأرقام ونرى ما إذا كانت متجاوزة أم لا:

أ) 3 ليس متسامياً لأنه حل من x - 3 = 0.

ب) -2 لا يمكن أن يكون متسامياً لأنه حل x + 2 = 0.

ج) ⅓ هو حل 3x - 1 = 0

د) حل المعادلة x ² - 2x + 1 = 0 هو √2 -1 ، لذا فإن هذا الرقم بحكم التعريف ليس متسامياً.

هـ) لا يساوي أي منهما √2 لأنه نتيجة المعادلة × ² - 2 = 0. التربيع 2 يعطي النتيجة 2 ، التي تطرح من 2 تساوي صفرًا. إذن √2 عدد غير نسبي لكنه ليس متسامياً.

ما هي الأرقام المتعالية؟

تكمن المشكلة في عدم وجود قاعدة عامة للحصول عليها (سنقولها لاحقًا بطريقة ما) ، ولكن من أشهرها الرقم pi ورقم Neper ، ويُشار إليه على التوالي بالرمز: π و e.

الرقم π

يظهر الرقم π بشكل طبيعي من خلال ملاحظة أن الحاصل الرياضي بين المحيط P لدائرة وقطرها D ، بغض النظر عما إذا كانت دائرة صغيرة أو كبيرة ، يعطي دائمًا نفس الرقم ، يسمى pi:

π = P / D ≈ 3.14159 ……

هذا يعني أنه إذا تم أخذ قطر المحيط كوحدة قياس ، لكل منها ، كبيرة كانت أم صغيرة ، فسيكون المحيط دائمًا P = 3.14… = π ، كما يتضح من الرسوم المتحركة في الشكل 2.

الشكل 2. طول محيط الدائرة يساوي pi في طول القطر ، حيث تساوي pi 3.1416 تقريبًا.

من أجل تحديد المزيد من الكسور العشرية ، من الضروري قياس P و D بدقة أكبر ثم حساب حاصل القسمة ، وهو ما تم إجراؤه رياضيًا. الاستنتاج هو أن الكسور العشرية في حاصل القسمة ليس لها نهاية ولا تكرر نفسها أبدًا ، وبالتالي فإن الرقم π بالإضافة إلى كونه متسامًا هو أيضًا غير منطقي.

الرقم غير النسبي هو رقم لا يمكن التعبير عنه بقسمة عددين صحيحين.

من المعروف أن كل رقم متسامي غير منطقي ، لكن ليس صحيحًا أن جميع الأعداد غير المنطقية متجاوزة. على سبيل المثال ، √2 غير منطقي ، لكنه ليس متعاليًا.

الشكل 3. الأعداد المتعالية غير منطقية ، لكن العكس ليس صحيحًا.

الرقم هـ

الرقم المتعالي e هو أساس اللوغاريتمات الطبيعية وتقريبه العشري هو:

و ≈ 2.718281828459045235360….

إذا أراد المرء كتابة الرقم e بالضبط ، فسيكون من الضروري كتابة الكسور العشرية اللانهائية ، لأن كل رقم متعالي غير منطقي ، كما ذكر من قبل.

من السهل تذكر الأرقام العشرة الأولى من e:

2،7 1828 1828 وعلى الرغم من أنه يبدو أنه يتبع نمطًا متكررًا ، إلا أنه لم يتم تحقيقه في الكسور العشرية ذات الترتيب الأكبر من تسعة.

التعريف الأكثر رسمية لـ e هو كما يلي:

هذا يعني أنه يتم الحصول على القيمة الدقيقة لـ e بإجراء العملية الموضحة في هذه الصيغة ، عندما يميل العدد الطبيعي n إلى اللانهاية.

يفسر هذا سبب قدرتنا على الحصول على تقديرات تقريبية لـ e فقط ، لأنه بغض النظر عن حجم الرقم n ، يمكن دائمًا العثور على n أكبر.

دعنا نبحث عن بعض التقريبات بمفردنا:

-عندما يكون n = 100 ثم (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2.70481 والذي لا يكاد يتطابق في العلامة العشرية الأولى مع القيمة "الحقيقية" لـ e.

-إذا اخترت n = 10،000 ، فلديك (1 + 1 / 10،000) ^10،000 = 2،71815 ، والتي تتطابق مع القيمة "الدقيقة" لـ e في أول ثلاث منازل عشرية.

يجب اتباع هذه العملية بلا حدود من أجل الحصول على القيمة "الحقيقية" لـ e. لا أعتقد أن لدينا الوقت للقيام بذلك ، ولكن دعونا نجرب واحدة أخرى:

لنستخدم n = 100،000:

(1 + 1 / 100،000) ^100،000 = 2.7182682372

هذا يحتوي فقط على أربعة منازل عشرية تطابق القيمة التي تعتبر تامة.

الشيء المهم هو أن نفهم أنه كلما زادت قيمة n المختارة لحساب e _n ، كلما اقتربت من القيمة الحقيقية. لكن هذه القيمة الحقيقية لن يكون لها إلا عندما تكون n لانهائية.

الشكل 4. يظهر بيانياً كيف أنه كلما زادت قيمة n ، كلما اقتربنا من e ، ولكن للوصول إلى القيمة الدقيقة n يجب أن يكون لانهائي.

أرقام مهمة أخرى

بصرف النظر عن هذه الأرقام الشهيرة ، هناك أرقام أخرى متسامية ، على سبيل المثال:

- 2 ^√2

-رقم Champernowne في الأساس 10:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-رقم Champernowne في الأساس 2:

C_2 = 0.1101110010110111….

- رقم جاما γ أو ثابت أويلر-ماشيروني:

γ 0.577215664901532860606

والتي يتم الحصول عليها بإجراء الحساب التالي:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

لأنه عندما يكون n كبيرًا جدًا. للحصول على القيمة الدقيقة لرقم جاما ، سيكون من الضروري إجراء الحساب باستخدام n ما لا نهاية. شيء مشابه لما فعلناه أعلاه.

وهناك العديد من الأعداد المتجاوزة. أظهر عالم الرياضيات العظيم جورج كانتور ، المولود في روسيا وعاش بين عامي 1845 و 1918 ، أن مجموعة الأعداد المتسامية أكبر بكثير من مجموعة الأعداد الجبرية.

الصيغ حيث يظهر الرقم المتعالي π

محيط المحيط

P = π D = 2 π R ، حيث P هو المحيط ، D القطر ، R نصف قطر المحيط. يجب أن نتذكر ما يلي:

- قطر المحيط هو أطول جزء يربط بين نقطتين متماثلتين ويمر دائمًا عبر مركزه ،

- نصف القطر هو نصف القطر وهو الجزء الذي يمتد من المركز إلى الحافة.

مساحة الدائرة

أ = π ر ² = ¼ π د ²

سطح الكرة

S = 4 π R ^2.

نعم ، على الرغم من أن سطح الكرة قد لا يبدو كذلك ، إلا أن سطح الكرة يماثل سطح أربع دوائر لها نفس نصف قطر الكرة.

حجم الكرة

V = 4/3 π R ³

تمارين

- التمرين 1

يبيع مطعم بيتزا “EXÓTICA” بيتزا بثلاثة أقطار: صغيرة 30 سم ومتوسطة 37 سم وكبيرة 45 سم. كان الصبي جائعًا جدًا وأدرك أن كلفتين بيتزا صغيرتين تساوي تكلفة واحدة كبيرة. ما الأفضل له أن يشتري بيتزا صغيرة أم كبيرة؟

الشكل 5.- مساحة البيتزا متناسبة مع مربع نصف القطر ، pi هو ثابت التناسب. المصدر: Pixabay.

المحلول

كلما كبرت المساحة ، زادت كمية البيتزا ، ولهذا السبب سيتم حساب مساحة البيتزا الكبيرة ومقارنتها بمساحة بيتزا صغيرة:

مساحة البيتزا الكبيرة = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 سم ²

مساحة البيتزا الصغيرة = ¼ π د ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706.86 سم ²

لذلك سيكون حجم اثنين من البيتزا الصغيرة

2 × 706.86 = 1413.72 سم ².

من الواضح أنك ستحصل على كمية أكبر من البيتزا عند شراء واحدة كبيرة مقارنة ببيتزا صغيرة.

- تمرين 2

يبيع مطعم البيتزا "EXÓTICA" أيضًا بيتزا نصف كروية نصف قطرها 30 سم بنفس سعر البيتزا المستطيلة بقياس 30 × 40 سم على كل جانب. أي واحد سوف تختار؟

الشكل 6 - سطح نصف الكرة هو ضعف السطح الدائري للقاعدة. المصدر: F. Zapata.

المحلول

كما ذكرنا في القسم السابق ، فإن سطح الكرة يساوي أربعة أضعاف سطح دائرة من نفس القطر ، لذلك فإن نصف الكرة التي يبلغ قطرها 30 سم سيكون لها:

بيتزا نصف كروية 30 سم: 1413.72 سم ² (مرتين دائري من نفس القطر)

بيتزا مستطيلة: (30 سم) × (40 سم) = 1200 سم ².

مساحة بيتزا نصف كروية أكبر.

المراجع

1. فرنانديز ج. الرقم هـ. الأصل والفضول. تم الاسترجاع من: soymatematicas.com
2. استمتع بالرياضيات. رقم أويلر. تم الاسترجاع من: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera، J. 2000. الرياضيات 1. متنوع. إصدارات CO-BO.
4. García، M. العدد e في حساب التفاضل والتكامل الأولي. تم الاسترجاع من: matematica.ciens.ucv.ve.
5. ويكيبيديا. رقم PI. تم الاسترجاع من: wikipedia.com
6. ويكيبيديا. الأعداد المتسامية. تم الاسترجاع من: wikipedia.com