الزاوية الفارغة: التعريف والخصائص والأمثلة والتمارين - رياضيات - 2026

في زاوية باطل هو واحد الذي هو مقياس 0، على حد سواء في درجة وراديان أو نظام آخر من قياس زاوية. لذلك يفتقر إلى العرض أو الفتح ، مثل ذلك المتكون بين خطين متوازيين.

على الرغم من أن تعريفها يبدو بسيطًا بدرجة كافية ، إلا أن الزاوية الفارغة مفيدة جدًا في العديد من تطبيقات الفيزياء والهندسة ، وكذلك في التنقل والتصميم.

الشكل 1. توجد زاوية صفرية بين سرعة السيارة وتسارعها ، وبالتالي تتحرك السيارة أسرع وأسرع. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

هناك كميات مادية يجب أن تكون متوازية لتحقيق تأثيرات معينة: إذا تحركت السيارة في خط مستقيم على طريق سريع وبين متجه سرعتها v ومتجه التسارع a هناك 0º ، فإن السيارة تتحرك أسرع وأسرع ، ولكن إذا كانت السيارة الفرامل ، فإن تسارعها هو عكس سرعتها (انظر الشكل 1).

يوضح الشكل التالي أنواعًا مختلفة من الزوايا بما في ذلك الزاوية الفارغة إلى اليمين. كما يتضح ، تفتقر الزاوية 0º إلى العرض أو الفتح.

الشكل 2. أنواع الزوايا ، بما في ذلك الزاوية الفارغة. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز. أوراس.

أمثلة على الزوايا الفارغة

من المعروف أن الخطوط المتوازية تشكل زاوية صفرية مع بعضها البعض. عندما يكون لديك خط أفقي ، يكون موازيًا للمحور x في نظام الإحداثيات الديكارتية ، وبالتالي يكون ميله بالنسبة إليه هو 0. بمعنى آخر ، الخطوط الأفقية لها ميل صفري.

الشكل 3. ميل الخطوط الأفقية صفر. المصدر: F. Zapata.

كما أن النسب المثلثية للزاوية الفارغة هي 0 أو 1 أو ما لا نهاية. لذلك فإن الزاوية الفارغة موجودة في العديد من المواقف المادية التي تنطوي على عمليات ذات ناقلات. هذه الأسباب هي:

-sin 0º = 0

-cos 0º = 1

-tg 0º = 0

- ثانية 0º = 1

-cosec 0º → ∞

-ctg 0º → ∞

وستكون مفيدة في تحليل بعض الأمثلة على المواقف التي يلعب فيها وجود الزاوية الفارغة دورًا أساسيًا:

- تأثيرات الزاوية الفارغة على المقادير الفيزيائية

إضافة المتجه

عندما يكون متجهان متوازيان ، تكون الزاوية بينهما صفرًا ، كما هو موضح في الشكل 4 أ أعلاه. في هذه الحالة ، يتم تنفيذ مجموع كلاهما بوضع واحدًا تلو الآخر ويكون حجم متجه المجموع هو مجموع مقادير الإضافات (الشكل 4 ب).

الشكل 4. مجموع المتجهات المتوازية ، في هذه الحالة تكون الزاوية بينهما زاوية فارغة. المصدر: F. Zapata.

عندما يكون متجهان متوازيان ، تكون الزاوية بينهما صفرًا ، كما هو موضح في الشكل 4 أ أعلاه. في هذه الحالة ، يتم تنفيذ مجموع كليهما عن طريق وضع واحدًا تلو الآخر ويكون حجم متجه المجموع هو مجموع مقادير الإضافات (الشكل 4 ب)

عزم الدوران أو عزم الدوران

يتسبب عزم الدوران أو عزم الدوران في دوران الجسم. يعتمد ذلك على حجم القوة المطبقة وكيف يتم تطبيقها. مثال تمثيلي للغاية هو مفتاح الربط في الشكل.

للحصول على أفضل تأثير دوران ، يتم تطبيق القوة بشكل عمودي على مقبض مفتاح الربط ، إما لأعلى أو لأسفل ، ولكن لا يتوقع حدوث دوران إذا كانت القوة موازية للمقبض.

الشكل 5. عندما تكون الزاوية بين متجه الموضع والقوة صفراً ، لا ينتج عزم دوران وبالتالي لا يوجد تأثير دوران. المصدر: F. Zapata.

رياضيًا يُعرَّف عزم الدوران τ على أنه المنتج المتجه أو المنتج المتقاطع بين المتجهين r (متجه الموقع) و F (ناقل القوة) للشكل 5:

τ = ص × و

حجم عزم الدوران هو:

τ = r F sin θ

Θ يجري الزاوية بين ص و F. عندما تكون sin θ = 0 يكون العزم صفرًا ، في هذه الحالة θ = 0º (أو 180º أيضًا).

تدفق المجال الكهربائي

تدفق المجال الكهربائي هو كمية قياسية تعتمد على شدة المجال الكهربائي بالإضافة إلى اتجاه السطح الذي يمر من خلاله.

في الشكل (6) هناك سطح دائري من منطقة والتي من خلالها الكهربائية خطوط المجال تمريرة E. يتم تحديد اتجاه السطح بواسطة المتجه الطبيعي n. على اليسار ، يشكل الحقل والمتجه الطبيعي زاوية حادة تعسفية θ ، وفي الوسط يشكلان زاوية فارغة مع بعضهما البعض ، وعلى اليمين يكونان عموديين.

عندما تكون E و n متعامدين ، لا تعبر خطوط المجال السطح وبالتالي يكون التدفق صفراً ، بينما عندما تكون الزاوية بين E و n صفراً ، فإن الخطوط تعبر السطح تمامًا.

دلالة على تدفق المجال الكهربائي بالحرف اليوناني Φ (اقرأ "fi") ، يبدو تعريفه للحقل المنتظم كما في الشكل كما يلي:

Φ = E • n A

تشير النقطة الموجودة في منتصف المتجهين إلى المنتج النقطي أو المنتج القياسي ، والذي يتم تعريفه بدلاً من ذلك على النحو التالي:

Φ = E • n A = EAcosθ

الخط الغامق والأسهم الموجودة أعلى الحرف هي موارد للتمييز بين المتجه وحجمه ، والذي يُشار إليه بالحروف العادية. بما أن cos 0 = 1 ، يكون التدفق الأقصى عندما يكون E و n متوازيين.

الشكل 6. يعتمد تدفق المجال الكهربائي على الاتجاه بين السطح والمجال الكهربائي. المصدر: F. Zapata.

تمارين

- التمرين 1

تعمل قوتان P و Q في وقت واحد على كائن نقطي X ، وتشكل القوتان في البداية زاوية θ بينهما. ماذا يحدث لمقدار القوة المحصلة عندما تنخفض إلى صفر؟

الشكل 7. تتناقص الزاوية الواقعة بين قوتين تؤثران على الجسم حتى يتم إلغاؤها ، وفي هذه الحالة يكتسب مقدار القوة الناتجة أقصى قيمته. المصدر: F. Zapata.

المحلول

يزداد حجم القوة المحصلة Q + P تدريجيًا حتى يصل إلى الحد الأقصى عندما يكون Q و P متوازيين تمامًا (الشكل 7 على اليمين).

- تمرين 2

أشر إلى ما إذا كانت الزاوية الخالية هي حل للمعادلة المثلثية التالية:

المحلول

المعادلة المثلثية هي المعادلة التي يكون فيها المجهول جزءًا من حجة النسبة المثلثية. لحل المعادلة المقترحة ، من الملائم استخدام صيغة جيب تمام الزاوية المزدوجة:

cos 2x = cos ² x - sin ² x

لأنه بهذه الطريقة ، تصبح السعة في الطرف الأيسر x بدلاً من 2x. وبالتالي:

cos ² x - sin ² x = 1 + 4 sin x

من ناحية أخرى ، cos ² x + sin ² x = 1 ، لذلك:

cos ² x - sin ² x = cos ² x + sin ² x + 4 sin x

المصطلح cos ² x يلغي ويبقى:

- sin ² x = sin ² x + 4 sin x → - ² sin ² x - 4 sinx = 0 → ² sin ² x + 4 sinx = 0

الآن تم إجراء التغيير المتغير التالي: sinx = u وتصبح المعادلة:

2u ² + 4u = 0

2u (u + 4) = 0

لمن الحلول: u = 0 و u = -4. وبإعادة التغيير سيكون لدينا احتمالان: sin x = 0 و sinx = -4. هذا الحل الأخير غير قابل للتطبيق ، لأن جيب أي زاوية يقع بين -1 و 1 ، لذلك يتبقى لنا البديل الأول:

الخطيئة س = 0

لذلك ، فإن x = 0º هو حل ، ولكن أي زاوية يكون جيبها 0 تعمل أيضًا ، والتي يمكن أن تكون أيضًا 180 درجة (π راديان) ، 360 درجة (2 π راديان) وكذلك السلبيات ذات الصلة.

الحل الأكثر عمومية للمعادلة المثلثية هو: x = kπ حيث k = 0، ± 1، ± 2، ± 3،…. ك عدد صحيح.

المراجع

1. Baldor، A. 2004. هندسة الطائرة والفضاء مع علم المثلثات. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. فيغيروا ، د. (2005). السلسلة: فيزياء العلوم والهندسة. المجلد 3. نظم الجسيمات. حرره دوغلاس فيغيروا (USB).
3. فيغيروا ، د. (2005). السلسلة: فيزياء العلوم والهندسة. المجلد 5. التفاعل الكهربائي. حرره دوغلاس فيغيروا (USB).
4. OnlineMathLearning. أنواع الزوايا. تم الاسترجاع من: onlinemathlearning.com.
5. زيل ، د. 2012. الجبر وعلم المثلثات والهندسة التحليلية. ماكجرو هيل Interamericana.