القطع المكافئ الزائدي: التعريف والخصائص والأمثلة - رياضيات - 2026

A قطعية القطعي هو السطح الذي المعادلة العامة في الإحداثيات الديكارتية (س، ص، ض) يرضي المعادلة التالية:

(س / أ) ² - (ص / ب) ² - ع = 0.

يأتي الاسم "مكافئ" من حقيقة أن المتغير z يعتمد على مربعي المتغيرين x و y. في حين أن صفة "القطع الزائد" ترجع إلى حقيقة أنه عند القيم الثابتة لـ z لدينا معادلة القطع الزائد. يشبه شكل هذا السطح شكل سرج الحصان.

الشكل 1. القطع المكافئ القطعي z = x ² - y ². المصدر: F. Zapata باستخدام Wolfram Mathematica.

وصف القطع المكافئ

لفهم طبيعة القطع المكافئ القطعي ، سيتم إجراء التحليل التالي:

1.- سوف نأخذ الحالة الخاصة أ = 1 ، ب = 1 ، أي أن المعادلة الديكارتية للبارابولويد تظل كما يلي: z = x ² - y ².

2.- تعتبر المستويات موازية لمستوى ZX ، أي y = ctte.

3.- مع y = ctte تبقى z = x ² - C ، والتي تمثل القطع المكافئ مع الفروع لأعلى والرأس أسفل المستوى XY.

الشكل 2. عائلة المنحنيات z = x ² - C. المصدر: F. Zapata باستخدام Geogebra.

4.- مع x = ctte ، تظل z = C - y ² ، والتي تمثل القطع المكافئ مع الفروع لأسفل والرأس فوق المستوى XY.

الشكل 3. عائلة المنحنيات z = C - y ². المصدر: F. Zapata من خلال Geogebra.

5.- مع z = ctte يبقى C = x ² - y ² ، والتي تمثل القطوع الزائدة في المستويات الموازية للمستوى XY. عندما يكون C = 0 ، يوجد خطان (عند + 45 درجة و -45 درجة فيما يتعلق بالمحور X) يتقاطعان عند نقطة الأصل على المستوى XY.

الشكل 4. عائلة المنحنيات x ² - y ² = C. المصدر: F. Zapata باستخدام Geogebra..

خصائص مكافئ القطع القطعي

1.- أربع نقاط مختلفة في الفضاء ثلاثي الأبعاد تحدد شكل مكافئ قطعي واحد فقط.

2.- القطع المكافئ القطعي هو سطح ذو تسطير مزدوج. هذا يعني أنه على الرغم من كونه سطحًا منحنيًا ، إلا أن خطين مختلفين يمرون عبر كل نقطة من القطع المكافئ القطعي التي تنتمي بالكامل إلى القطع المكافئ القطعي. السطح الآخر الذي ليس مستويًا ومحكومًا بشكل مضاعف هو الجزء الزائد للثورة.

إنها على وجه التحديد الخاصية الثانية للمكافئ القطعي التي سمحت باستخدامها على نطاق واسع في الهندسة المعمارية حيث يمكن إنشاء السطح من حزم أو سلاسل مستقيمة.

الخاصية الثانية للقطع المكافئ تسمح بتعريف بديل له: إنه السطح الذي يمكن إنشاؤه بواسطة خط مستقيم متحرك موازٍ لمستوى ثابت ويقطع خطين ثابتين يعملان كدليل. يوضح الشكل التالي هذا التعريف البديل للقطع المكافئ:

الشكل 5. الشكل المكافئ القطعي هو سطح محكوم بشكل مضاعف. المصدر: F. Zapata.

أمثلة عملية

- مثال 1

بيّن أن المعادلة: z = xy تتوافق مع مكافئ قطعي.

المحلول

سيتم تطبيق تحويل على متغيري x و y المطابقين لتدوير المحاور الديكارتية فيما يتعلق بالمحور Z لـ + 45º. يتم تحويل إحداثيات x و y القديمة إلى x 'و y' الجديد وفقًا للعلاقات التالية:

س = س '- ص'

ص = س '+ ص'

بينما يظل إحداثيات z كما هو ، أي z = z '.

بالتعويض في المعادلة z = xy لدينا:

ض '= (س' - ص ') (س' + ص ')

بتطبيق حاصل الضرب الملحوظ للفرق بالمجموع الذي يساوي فرق المربعات ، لدينا:

ض '= س' ² - ص ' ²

والذي يتوافق بوضوح مع التعريف المعطى في البداية للقطع المكافئ القطعي.

يحدد اعتراض المستويات الموازية للمحور XY مع القطع المكافئ القطعي z = xy الأشكال الزائدة المتساوية الأضلاع التي لها خطوط مقاربة للمستويات x = 0 و y = 0.

- المثال 2

تحديد المعلمات أ و ب من القطع المكافئ الذي يمر عبر النقطتين A (0 ، 0 ، 0) ؛ ب (1 ، 1 ، 5/9) ؛ ج (-2 ، 1 ، 32/9) ود (2 ، -1 ، 32/9).

المحلول

وفقًا لخصائصه ، تحدد أربع نقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد مكافئًا قطعيًا واحدًا. المعادلة العامة هي:

ض = (س / أ) ² - (ص / ب) ²

نستبدل القيم المعطاة:

بالنسبة للنقطة أ ، لدينا 0 = (0 / أ) ² - (0 / ب) ² ، وهي معادلة تتحقق مهما كانت قيم المعلمات أ وب.

استبدال النقطة B ، نحصل على:

5/9 = 1 / أ ^2-1 / ب ²

بينما بالنسبة للنقطة C يبقى:

32/9 = 4 / أ ^2-1 / ب ²

أخيرًا ، بالنسبة للنقطة D ، نحصل على:

32/9 = 4 / أ ^2-1 / ب ²

وهو مطابق للمعادلة السابقة. في النهاية ، يجب حل نظام المعادلات:

5/9 = 1 / أ ^2-1 / ب ²

32/9 = 4 / أ ^2-1 / ب ²

بطرح المعادلة الثانية من الأولى يعطي:

27/9 = 3 / a ² مما يعني أن ² = 1.

بطريقة مماثلة ، يتم طرح المعادلة الثانية من رباعي الأول ، والحصول على:

(32-20) / 9 = 4 / أ ² - 4 / أ ² -1 / ب ² + 4 / ب ²

وهو مبسط على النحو التالي:

12/9 = 3 / ب ² ب ² = 9/4.

باختصار ، فإن الشكل المكافئ القطعي الذي يمر عبر النقاط المعينة A و B و C و D له معادلة ديكارتية مقدمة من:

ض = س ² - (4/9) ص ²

- مثال 3

وفقًا لخصائص القطع المكافئ القطعي ، يمر خطان عبر كل نقطة متضمنة فيه بالكامل. بالنسبة للحالة z = x ^ 2 - y ^ 2 ، ابحث عن معادلة الخطين اللذين يمران عبر النقطة P (0 ، 1 ، -1) ينتميان بوضوح إلى القطع المكافئ القطعي ، بحيث تنتمي جميع نقاط هذه الخطوط أيضًا إلى نفسه.

المحلول

باستخدام المنتج الرائع لاختلاف المربعات ، يمكن كتابة معادلة المكافئ القطعي على النحو التالي:

(س + ص) (س - ص) = تشيكوسلوفاكيا (1 / ج)

حيث c هو ثابت غير صفري.

المعادلة x + y = cz والمعادلة x - y = 1 / c تتوافق مع مستويين مع المتجهات العادية n = <1،1، -c> و m = <1، -1،0>. حاصل الضرب المتجه mxn = <- c، -c، -2> يعطينا اتجاه خط التقاطع للمستويين. ثم أحد الخطوط التي تمر عبر النقطة P وينتمي إلى القطع المكافئ القطعي له معادلة بارامترية:

= <0، 1، -1> + t <-c، -c، -2>

لتحديد c ، عوضنا بالنقطة P في المعادلة x + y = cz ، ونحصل على:

ج = -1

بطريقة مماثلة ، ولكن بالنظر إلى المعادلات (x - y = kz) و (x + y = 1 / k) لدينا المعادلة البارامترية للخط:

= <0، 1، -1> + s مع k = 1.

باختصار ، السطران:

= <0 ، 1 ، -1> + t <1 ، 1 ، -2> و = <0، 1، -1> + s <1، -1، 2>

يتم احتواؤها بالكامل في القطع المكافئ z = x ² - y ² مرورًا بالنقطة (0 ، 1 ، -1).

كتحقق ، افترض أن t = 1 وهو ما يعطينا النقطة (1،2 ، -3) في السطر الأول. يجب عليك التحقق مما إذا كان موجودًا أيضًا على مكافئ z = x ² - y ²:

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

مما يؤكد أنه بالفعل ينتمي إلى سطح القطع المكافئ القطعي.

القطع المكافئ القطعي في العمارة

الشكل 6. أوقيانوغرافيا فالنسيا (إسبانيا) المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

تم استخدام القطع المكافئ الزائدي في الهندسة المعمارية من قبل المهندسين المعماريين الطليعيين العظماء ، ومن بينهم أسماء المهندس المعماري الإسباني أنتوني غاودي (1852-1926) وبشكل خاص أيضًا الإسباني فيليكس كانديلا (1910-1997).

فيما يلي بعض الأعمال المبنية على القطع المكافئ القطعي:

- مصلى مدينة كويرنافاكا (المكسيك) عمل للمهندس المعماري فيليكس كانديلا.

- علم المحيطات في فالنسيا (إسبانيا) ، أيضًا بقلم فيليكس كانديلا.

المراجع

1. موسوعة الرياضيات. سطح محكم. تم الاسترجاع من: encyclopediaofmath.org
2. ليرا روبين. القطع المكافئ الزائدي. تم الاسترجاع من: rubenllera.wordpress.com
3. وايسشتاين ، إريك دبليو "القطع المكافئ القطعي." من MathWorld - مورد ويب Wolfram. تم الاسترجاع من: mathworld.wolfram.com
4. ويكيبيديا. الجسم المكافئ الدوراني. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com
5. ويكيبيديا. الجسم المكافئ الدوراني. تم الاسترجاع من: es.wikipedia.com
6. ويكيبيديا. سطح محكم. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.com