مبدأ المضاعفة: تقنيات وأمثلة العد - رياضيات - 2026

و مبدأ المضاعف هو أسلوب يستخدم لحل مشاكل عد إلى إيجاد الحل دون الحاجة إلى إدراج عناصرها. يُعرف أيضًا باسم المبدأ الأساسي للتحليل التجميعي ؛ يعتمد على الضرب المتتالي لتحديد كيفية حدوث الحدث.

ينص هذا المبدأ على أنه إذا كان يمكن اتخاذ القرار (د ₁) بطرق n ويمكن اتخاذ قرار آخر (د ₂) بطرق m ، فإن العدد الإجمالي للطرق التي يمكن بها اتخاذ القرارين d ₁ و d ₂ سيكون متساويًا لتضرب من n _* m. وفقًا للمبدأ ، يتم اتخاذ كل قرار واحدًا تلو الآخر: عدد الطرق = N _{1 *} N ₂… _* طرق N _x.

أمثلة

مثال 1

تخطط باولا للذهاب إلى السينما مع صديقاتها ، واختيار الملابس التي سترتديها ، أفصل بين 3 بلوزات وتنورة. كم عدد الطرق التي يمكن أن ترتديها باولا؟

المحلول

في هذه الحالة ، يجب على باولا اتخاذ قرارين:

د ₁ = اختر من بين 3 بلوزات = n

د ₂ = اختر بين تنانيرتين = م

بهذه الطريقة بولا ديها ن _* القرارات م لصنع أو بطرق مختلفة من الملابس.

ن _* م = 3 _* 2 = 6 قرارات.

وُلد مبدأ الضرب من تقنية مخطط الشجرة ، وهو رسم بياني يربط جميع النتائج الممكنة ، بحيث يمكن أن يحدث كل منها عددًا محدودًا من المرات.

مثال 2

كان ماريو عطشانًا جدًا ، فذهب إلى المخبز لشراء العصير. يعتني به لويس ويخبره أنه يأتي بحجمين: كبير وصغير ؛ وأربع نكهات: تفاح ، برتقال ، ليمون وعنب. كم عدد الطرق التي يمكن أن يختار بها ماريو العصير؟

المحلول

في الرسم البياني ، يمكن ملاحظة أن ماريو لديه 8 طرق مختلفة لاختيار العصير وأنه ، كما هو الحال في مبدأ الضرب ، يتم الحصول على هذه النتيجة بضرب n _* m. الاختلاف الوحيد هو أنه من خلال هذا الرسم البياني يمكنك رؤية كيف يختار ماريو العصير.

من ناحية أخرى ، عندما يكون عدد النتائج المحتملة كبيرًا جدًا ، يكون استخدام مبدأ الضرب أكثر عملية.

تقنيات العد

تقنيات العد هي طرق تستخدم لإجراء عد مباشر ، وبالتالي معرفة عدد الترتيبات الممكنة التي يمكن أن تحتوي عليها عناصر مجموعة معينة. تستند هذه التقنيات إلى عدة مبادئ:

مبدأ الإضافة

ينص هذا المبدأ على أنه إذا تعذر حدوث حدثين m و n في نفس الوقت ، فسيكون عدد الطرق التي يمكن أن يحدث بها الحدث الأول أو الثاني هو مجموع m + n:

عدد الأشكال = m + n… + x أشكال مختلفة.

مثال

يريد أنطونيو القيام برحلة لكنه لا يقرر الوجهة ؛ في وكالة السياحة الجنوبية ، يقدمون لك عرضًا ترويجيًا للسفر إلى نيويورك أو لاس فيغاس ، بينما توصي وكالة السياحة الشرقية بالسفر إلى فرنسا أو إيطاليا أو إسبانيا. كم عدد بدائل السفر المختلفة التي يقدمها لك أنطونيو؟

المحلول

مع وكالة السياحة الجنوبية ، لدى أنطونيو بديلان (نيويورك أو لاس فيغاس) ، بينما مع وكالة السياحة الشرقية لديه 3 خيارات (فرنسا أو إيطاليا أو إسبانيا). عدد البدائل المختلفة هو:

عدد البدائل = م + ن = 2 + 3 = 5 بدائل.

مبدأ التقليب

يتعلق الأمر بترتيب كل أو بعض العناصر التي تشكل مجموعة على وجه التحديد ، لتسهيل حساب جميع الترتيبات الممكنة التي يمكن إجراؤها مع العناصر.

يتم تمثيل عدد التباديل لـ n من العناصر المختلفة ، المأخوذة دفعة واحدة ، على النحو التالي:

_ن ف _ن = ن!

مثال

أربعة أصدقاء يريدون التقاط صورة ويريدون معرفة عدد الطرق المختلفة التي يمكن ترتيبها بها.

المحلول

تريد معرفة مجموعة جميع الطرق الممكنة التي يمكن من خلالها وضع الأشخاص الأربعة لالتقاط الصورة. وبالتالي ، عليك أن:

₄ ف ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 شكل مختلف.

إذا تم أخذ عدد التباديل لـ n من العناصر المتاحة بواسطة أجزاء من مجموعة مكونة من عناصر r ، فسيتم تمثيلها على النحو التالي:

_ن ف _{ص =} ن! ÷ (ن - ص)!

مثال

يوجد في الفصل 10 مقاعد. إذا حضر 4 طلاب الفصل ، ما عدد الطرق المختلفة التي يمكن للطلاب من خلالها ملء المناصب؟

المحلول

لدينا أن العدد الإجمالي لمجموعة الكراسي هو 10 ، وسيتم استخدام 4 منها فقط. يتم تطبيق الصيغة المحددة لتحديد عدد التباديل:

_ن ف _ص = ن! ÷ (ن - ص)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ ف ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 ÷ 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 5040 طريقة لملء المراكز.

هناك حالات يتم فيها تكرار بعض العناصر المتاحة للمجموعة (هي نفسها). لحساب عدد المصفوفات التي تأخذ كل العناصر في نفس الوقت ، يتم استخدام الصيغة التالية:

_ن ف _ص = ن! ÷ ن ₁ ! _* ن ₂ !… ن _ص !

مثال

كم عدد الكلمات الأربعة المختلفة التي يمكن تكوينها من كلمة "الذئب"؟

المحلول

في هذه الحالة ، هناك 4 عناصر (أحرف) ، اثنان منهم متماثلان تمامًا. عند تطبيق الصيغة المحددة ، من المعروف عدد الكلمات المختلفة الناتجة:

_ن ف _ص = ن! ÷ ن ₁ ! _* ن ₂ !… ن _ص !

₄ P _{2، 1،1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ ص _{2 ، 1 ، 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2، 1، 1} = 24 ÷ 2 = 12 كلمات مختلفة.

مبدأ الجمع

يتعلق الأمر بترتيب كل أو بعض العناصر التي تشكل مجموعة بدون ترتيب معين. على سبيل المثال ، إذا كان لديك ترتيب XYZ ، فسيكون مطابقًا لترتيبات ZXY و YZX و ZYX وغيرها ؛ هذا لأنه ، على الرغم من عدم وجودها بنفس الترتيب ، فإن عناصر كل ترتيب هي نفسها.

عندما يتم أخذ بعض العناصر (r) من المجموعة (n) ، يتم إعطاء مبدأ الدمج بالصيغة التالية:

_ن ج _{ص =} ن! ÷ (ن - ص)! R!

مثال

يبيعون في المتجر 5 أنواع مختلفة من الشوكولاتة. كم عدد الطرق المختلفة التي يمكن بها اختيار 4 شوكولاتة؟

المحلول

في هذه الحالة ، يجب اختيار 4 شوكولاتة من الأنواع الخمسة التي يبيعونها في المتجر. لا يهم الترتيب الذي يتم اختيارهم به ، وبالإضافة إلى ذلك ، يمكن اختيار نوع من الشوكولاتة أكثر من مرتين. عند تطبيق الصيغة ، يجب عليك:

_ن ج _ص = ن! ÷ (ن - ص)! R!

₅ ج ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ ج ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ ج ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ ج ₄ = 120 24 = 5 طرق مختلفة لاختيار 4 شوكولاتة.

عندما يتم أخذ جميع العناصر (r) من المجموعة (n) ، يتم إعطاء مبدأ الدمج بالصيغة التالية:

_ن C _{ن =} ن!

تمارين محلولة

التمرين 1

يوجد فريق بيسبول مكون من 14 عضوًا. ما عدد الطرق التي يمكن بها تخصيص 5 وظائف للعبة؟

المحلول

تتكون المجموعة من 14 عنصرًا وتريد تعيين 5 وظائف محددة ؛ وهذا هو الأمر المهم. يتم تطبيق معادلة التقليب حيث يتم أخذ n من العناصر المتاحة بواسطة أجزاء من مجموعة مكونة من r.

_ن ف _{ص =} ن! ÷ (ن - ص)!

حيث n = 14 و r = 5. يتم استبدالها بالصيغة:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14-5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 240 طريقة لتخصيص 9 مواضع للعبة.

تمرين 2

إذا ذهبت عائلة مكونة من 9 أفراد في رحلة واشترت تذاكرها بمقاعد متتالية ، فكم عدد الطرق المختلفة التي يمكنهم بها الجلوس؟

المحلول

حوالي 9 عناصر ستشغل 9 مقاعد على التوالي.

ف ₉ = 9!

ف ₉ = 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 362880 طريقة جلوس مختلفة.

المراجع

1. هوبكنز ، ب. (2009). موارد لتدريس الرياضيات المتقطعة: مشاريع الفصول الدراسية ووحدات التاريخ والمقالات.
2. جونسونباو ، ر. (2005). الرياضيات المتقطعة. تعليم بيرسون ،.
3. لطفية ، لوس أنجلوس (2012). حل مسائل الرياضيات المحددة والمتقطعة. محرري جمعية البحث والتعليم.
4. بادرو ، إف سي (2001). الرياضيات المتقطعة. بوليتيك. كاتالونيا.
5. شتاينر ، إي (2005). الرياضيات للعلوم التطبيقية. العودة.