عبر المنتج: الخصائص والتطبيقات والتمارين - رياضيات - 2026

و عبر المنتج أو ناقلات المنتج هو وسيلة لضرب اثنين أو أكثر من ناقلات. توجد ثلاث طرق لمضاعفة المتجهات ، لكن لا أحد من هذه الطرق هو الضرب بالمعنى المعتاد للكلمة. يُعرف أحد هذه الأشكال بالمنتج المتجه ، والذي ينتج عنه ناقل ثالث.

حاصل الضرب التبادلي ، والذي يسمى أيضًا حاصل الضرب التبادلي أو الضرب الخارجي ، له خصائص جبرية وهندسية مختلفة. هذه الخواص مفيدة جدا وخاصة من ناحية دراسة الفيزياء.

تعريف

التعريف الرسمي للمنتج المتجه هو التالي: إذا كان A = (a1، a2، a3) و B = (b1، b2، b3) متجهين ، فإن منتج المتجه لـ A و B ، والذي سنشير إليه كـ AxB ، هو:

AxB = (a2b3 - a3b2، a3b1 - a1b3، a1b2 - a2b1)

نظرًا لترميز AxB ، يُقرأ على أنه "A cross B".

مثال على كيفية استخدام المنتج الخارجي هو أنه إذا كانت A = (1 ، 2 ، 3) و B = (3 ، -2 ، 4) متجهات ، فعندئذٍ باستخدام تعريف منتج المتجه لدينا:

المحور B = (1 ، 2 ، 3) × (3 ، -2 ، 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2) ، 3 * 3 - 1 * 4 ، 1 * (- 2) - 2 * 3)

المحور B = (8 + 6 ، 9-4 ، - 2-6) = (14 ، 5 ، - 8).

يتم إعطاء طريقة أخرى للتعبير عن منتج المتجه من خلال تدوين المحددات.

يتم حساب محدد الدرجة الثانية من خلال:

لذلك ، يمكن إعادة كتابة صيغة حاصل الضرب التبادلي الوارد في التعريف على النحو التالي:

عادة ما يتم تبسيط هذا إلى محدد من الدرجة الثالثة على النحو التالي:

حيث i ، j ، k تمثل المتجهات التي تشكل أساس R ³.

باستخدام هذه الطريقة للتعبير عن حاصل الضرب الاتجاهي ، لدينا أنه يمكن إعادة كتابة المثال السابق على النحو التالي:

الخصائص

بعض الخصائص التي يمتلكها المنتج المتجه هي التالية:

خاصية 1

إذا كان A أي متجه في R ³ ، فلدينا:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

من السهل التحقق من هذه الخصائص باستخدام التعريف فقط. إذا كان A = (a1، a2، a3) لدينا:

AxA = (a2a3 - a3a2، a3a1 - a1a3، a1a2 - a2a1) = (0، 0، 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0، a3 * 0 - a1 * 0، a1 * 0 - a2 * 0) = (0، 0، 0) = 0.

إذا كانت i ، j ، k تمثل قاعدة الوحدة لـ R ³ ، فيمكننا كتابتها على النحو التالي:

أنا = (1 ، 0 ، 0)

ي = (0 ، 1 ، 0)

ك = (0 ، 0 ، 1)

إذن ، لدينا أن الخصائص التالية صحيحة:

كقاعدة للذاكرة ، غالبًا ما تُستخدم الدائرة التالية لتذكر هذه الخصائص:

هناك يجب أن نلاحظ أن أي متجه مع نفسه يعطي المتجه 0 نتيجة لذلك ، ويمكن الحصول على باقي المنتجات بالقاعدة التالية:

يعطي الناتج العرضي لمتجهين متتاليين في اتجاه عقارب الساعة المتجه التالي ؛ وعند النظر في عكس اتجاه عقارب الساعة ، تكون النتيجة هي المتجه التالي بعلامة سالبة.

بفضل هذه الخصائص يمكننا أن نرى أن منتج المتجه ليس تبادليًا ؛ على سبيل المثال ، لاحظ فقط أن ixj ≠ jx i. تخبرنا الخاصية التالية بكيفية ارتباط AxB و BxA بشكل عام.

خاصية 2

إذا كان A و B متجهين لـ R ³ ، فلدينا:

AxB = - (BxA).

برهنة

إذا كان A = (a1، a2، a3) و B = (b1، b2، b3) ، حسب تعريف المنتج الخارجي لدينا:

AxB = (a2b3 - a3b2، a3b1 - a1b3، a1b2 - a2b1)

= (- 1) (a3b2 - a2b3، a1b3 - a3b1، a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

يمكننا أيضًا أن نرى أن هذا المنتج لا يرتبط بالمثال التالي:

ix (ixj) = ixk = - j لكن (ixi) xj = 0xj = 0

من هذا يمكننا أن نرى أن:

التاسع (ixj) ≠ (ixi) xj

الملكية 3

إذا كانت A و B و C متجهات لـ R ³ و r رقم حقيقي ، فإن ما يلي يكون صحيحًا:

- الفأس (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

بفضل هذه الخصائص يمكننا حساب حاصل الضرب المتجه باستخدام قوانين الجبر ، بشرط احترام الترتيب. فمثلا:

إذا كانت A = (1، 2، 3) و B = (3، -2، 4) ، فيمكننا إعادة كتابتها من حيث الأساس القانوني لـ R ³.

وبالتالي ، A = i + 2j + 3k و B = 3i - 2j + 4k. ثم يتم تطبيق الخصائص السابقة:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (ك) + 4 (- ي) + 6 (- ك) - 4 (0) + 8 (أنا) + 9 (ي) - 6 (- أنا) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14 ، 5 ، - 8).

الخاصية 4 (منتج ثلاثي النقاط)

كما ذكرنا في البداية ، هناك طرق أخرى لمضاعفة المتجهات بجانب منتج المتجه. إحدى هذه الطرق هي المنتج القياسي أو المنتج الداخلي ، والذي يُشار إليه على أنه A ∙ B وتعريفه هو:

إذا كان A = (a1، a2، a3) و B = (b1، b2، b3) ، إذن A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

تُعرف الخاصية التي تتعلق بالمنتجين بالمنتج القياسي الثلاثي.

إذا كانت A و B و C متجهات لـ R ³ ، فإن A ∙ BxC = AxB ∙ C

كمثال ، دعنا نرى أنه ، بالنظر إلى A = (1 ، 1 ، - 2) ، B = (- 3 ، 4 ، 2) و C = (- 5 ، 1 ، - 4) ، هذه الخاصية راضية.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

أ ∙ BxC = (1 ، 1 ، - 2) ∙ (- 18 ، - 22 ، 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

من ناحية أخرى:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

المحور B ∙ C = (10 ، 4 ، 7) ∙ (- 5 ، 1 ، - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

منتج ثلاثي آخر هو Ax (BxC) ، والذي يُعرف باسم المنتج المتجه الثلاثي.

الخاصية 5 (منتج المتجه الثلاثي)

إذا كانت A و B و C نواقل لـ R ³ ، إذن:

الفأس (BxC) = (أ ، ج) ب - (أ ، ب) ج

كمثال ، دعنا نرى أنه ، بالنظر إلى A = (1 ، 1 ، - 2) ، B = (- 3 ، 4 ، 2) و C = (- 5 ، 1 ، - 4) ، هذه الخاصية راضية.

من المثال السابق نعلم أن BxC = (- 18 ، - 22 ، 17). دعنا نحسب Ax (BxC):

الفأس (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

من ناحية أخرى ، علينا:

أ ∙ ج = (1 ، 1 ، - 2) ∙ (- 5 ، 1 ، - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

أ ∙ ب ​​= (1 ، 1 ، - 2) ∙ (- 3 ، 4 ، 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

لذلك علينا أن:

(أ ، ج) ب - (أ ، ب) ج = 4 (- 3 ، 4 ، 2) + 3 (- 5 ، 1 ، - 4) = (- 12 ، 16 ، 8) + (- 15 ، 3 ، - 12) = (- 27،19، –4)

الملكية 6

إنها إحدى الخصائص الهندسية للناقلات. إذا كان A و B متجهين في R ³ و هي الزاوية التي تشكلت بينهما ، إذن:

--AxB - = --A ---- B - الخطيئة (ϴ) ، حيث - ∙ - تشير إلى معامل أو حجم المتجه.

التفسير الهندسي لهذه الخاصية هو كما يلي:

دع A = PR و B = PQ. إذن ، الزاوية المكونة من المتجهين A و B هي الزاوية P للمثلث RQP ، كما هو موضح في الشكل التالي.

لذلك ، فإن مساحة متوازي الأضلاع التي تحتوي على PR و PQ كأضلاع متجاورة هي - A ---- B - sin (ϴ) ، حيث يمكننا أن نأخذ - A - كقاعدة ويعطى ارتفاعها بواسطة - ب - الخطيئة (ϴ).

لذلك ، يمكننا أن نستنتج أن --AxB - هي مساحة متوازي الأضلاع المذكور.

مثال

بالنظر إلى الرؤوس التالية للرباع P (1، –2،3)، Q (4، 3، –1)، R (2، 2،1) and S (5،7، -3) ، أوضح أن الشكل الرباعي المذكور هو متوازي أضلاع ويوجد مساحته.

لهذا نحدد أولاً المتجهات التي تحدد اتجاه أضلاع الشكل الرباعي. هذا هو:

أ = PQ = (1-4 ، 3 + 2 ، - 1-3) = (3 ، 5 ، - 4)

ب = العلاقات العامة = (2-1 ، 2 + 2 ، 1-3) = (1 ، 4 ، - 2)

C = RS = (5-2 ، 7-2 ، - 3-1) = (3 ، 5 ، - 4)

د = QS = (5-4 ، 7-3 ، - 3 + 1) = (1 ، 4 ، - 2)

كما نرى ، A و C لهما نفس متجه المخرج ، وكلاهما متوازيان ؛ يحدث الشيء نفسه مع B و D. لذلك ، نستنتج أن PQRS متوازي أضلاع.

للحصول على مساحة متوازي الأضلاع هذا ، نحسب BxA:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5 ك + 4 ي - 12 ك - 16 ط - 6 ي + 10 ط

= - 6i - 2j - 7k.

لذلك ستكون المساحة المربعة:

--BxA-- ² = (- 6) ² + (- 2) ² + (- 7) ² = 36 + 4 + 49 = 89.

يمكن استنتاج أن مساحة متوازي الأضلاع ستكون الجذر التربيعي لـ 89.

الملكية 7

متجهان A و B متوازيان في R ³ إذا وفقط إذا كان AxB = 0

برهنة

من الواضح أنه إذا كان A أو B متجهًا فارغًا ، فإنه يتحقق أن AxB = 0. نظرًا لأن المتجه الصفري موازي لأي متجه آخر ، فإن الخاصية تكون صالحة.

إذا لم يكن أي من المتجهين متجهًا صفريًا ، فلدينا أن مقاديرهما تختلف عن الصفر ؛ أي ، كلاً من - أ - ≠ 0 و - ب - ≠ 0 ، لذلك سيكون لدينا --AxB - = 0 إذا وفقط إذا كانت الخطيئة (ϴ) = 0 ، وهذا يحدث فقط إذا وفقط إذا ϴ = π أو ϴ = 0.

لذلك ، يمكننا استنتاج AxB = 0 إذا وفقط إذا كانت ϴ = π أو ϴ = 0 ، وهذا يحدث فقط عندما يكون كلا المتجهين متوازيين مع بعضهما البعض.

الملكية 8

إذا كان A و B متجهين في R ³ ، فإن المحور B يكون عموديًا على كل من A و B.

برهنة

في هذا الدليل ، لنتذكر أن متجهين متعامدين إذا كان A ∙ B يساوي صفرًا. علاوة على ذلك ، نحن نعلم أن:

A ∙ AxB = AxA ∙ B ، لكن AxA يساوي 0. لذلك ، لدينا:

أ ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

من خلال هذا يمكننا أن نستنتج أن A و AxB متعامدان مع بعضهما البعض. وبالمثل ، علينا أن:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

منذ BxB = 0 ، لدينا:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

لذلك ، فإن AxB و B متعامدان مع بعضهما البعض وبهذه الخاصية تظهر الخاصية. هذا مفيد جدًا لنا ، لأنه يسمح لنا بتحديد معادلة المستوى.

مثال 1

احصل على معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط P (1 ، 3 ، 2) ، Q (3 ، - 2 ، 2) و R (2 ، 1 ، 3).

دع A = QR = (2 - 3.1 + 2، 3 - 2) و B = PR = (2 - 1.1 - 3، 3 - 2). ثم A = - i + 3j + k و B = i - 2j + k. لإيجاد المستوى المكون من هذه النقاط الثلاث ، ابحث عن المتجه الطبيعي للمستوى ، وهو AxB.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

باستخدام هذا المتجه ، وأخذ النقطة P (1 ، 3 ، 2) ، يمكننا تحديد معادلة المستوى على النحو التالي:

(5 ، 2 ، - 1) ∙ (س - 1 ، ص - 3 ، ض - 2) = 5 (س - 1) + 2 (ص - 3) - (ض - 2) = 0

وبالتالي ، لدينا أن معادلة المستوى هي 5x + 2y - z - 9 = 0.

مثال 2

أوجد معادلة المستوى الذي يحتوي على النقطة P (4 ، 0 ، - 2) والتي تكون عمودية على كل من المستويين x - y + z = 0 و 2x + y - 4z - 5 = 0.

مع العلم أن المتجه الطبيعي للفأس المستوي + بواسطة + cz + d = 0 هو (أ ، ب ، ج) ، لدينا أن (1 ، -1،1) متجه عادي لـ x - y + z = 0 y (2 ، 1 ، - 4) متجه عادي لـ 2x + y - 4z - 5 = 0.

لذلك يجب أن يكون المتجه العادي على المستوى المطلوب عموديًا على (1 ، -1 ، 1) وعلى (2 ، 1 ، - 4). هذا المتجه هو:

(1، -1،1) x (2،1، - 4) = 3i + 6j + 3k.

بعد ذلك ، لدينا أن المستوى المطلوب هو المستوى الذي يحتوي على النقطة P (4،0 ، - 2) والمتجه (3،6،3) كمتجه عادي.

3 (س - 4) + 6 (ص - 0) + 3 (ض + 2) = 0

س + 2 ص + ع - 2 = 0.

التطبيقات

حساب حجم خط الموازي

التطبيق الذي يحتوي على المنتج القياسي الثلاثي هو أن يكون قادرًا على حساب حجم متوازي السطوح التي يتم تحديد حوافها بواسطة المتجهات A و B و C ، كما هو موضح في الشكل:

يمكننا استنتاج هذا التطبيق بالطريقة التالية: كما قلنا من قبل ، فإن المتجه AxB هو متجه طبيعي لمستوى A و B. ولدينا أيضًا أن المتجه - (AxB) هو متجه آخر عادي بالنسبة للمستوى المذكور.

نختار المتجه العادي الذي يشكل أصغر زاوية بالمتجه C ؛ بدون فقدان التعميم ، اجعل المحور AxB هو المتجه الذي تكون زاويته مع C هي الأصغر.

لدينا أن كلا من AxB و C لهما نفس نقطة البداية. علاوة على ذلك ، نعلم أن مساحة متوازي الأضلاع التي تشكل قاعدة خط الموازي هي --AxB -. لذلك ، إذا كان ارتفاع خط الموازي يساوي h ، فإن حجمه سيكون:

V = --AxB - ح.

من ناحية أخرى ، دعنا نفكر في المنتج النقطي بين AxB و C ، والذي يمكن وصفه على النحو التالي:

ومع ذلك ، من خلال الخصائص المثلثية ، لدينا h = --C - cos () ، لذلك لدينا:

بهذه الطريقة ، لدينا ما يلي:

بشكل عام ، لدينا حجم متوازي السطوح معطى بالقيمة المطلقة للمنتج العددي الثلاثي AxB ∙ C.

تمارين محلولة

التمرين 1

بالنظر إلى النقاط P = (5 ، 4 ، 5) ، Q = (4 ، 10 ، 6) ، R = (1 ، 8 ، 7) و S = (2 ، 6 ، 9) ، هذه النقاط تشكل خط متوازي حوافه هم PQ و PR و PS. تحديد حجم متوازي السطوح المذكورة.

المحلول

إذا أخذنا:

- أ = PQ = (-1 ، 6 ، 1)

- ب = العلاقات العامة = (-4 ، 4 ، 2)

- C = PS = (-3، 2، 2)

باستخدام خاصية المنتج العددية الثلاثية ، لدينا:

المحور B = (-1 ، 6 ، 1) × (-4 ، 4 ، 2) = (8 ، -2 ، 20).

AxB ∙ C = (8، -2، 20) ∙ (-3، 2، 2) = -24 -4 +80 = 52.

إذن ، حجم خط الموازي المذكور هو 52.

تمرين 2

أوجد حجم خط الموازي الذي تُعطى حوافه من خلال A = PQ و B = PR و C = PS ، حيث تكون النقاط P و Q و R و S هي (1 ، 3 ، 4) ، (3 ، 5 ، 3) ، (2 ، 1 ، 6) و (2 ، 2 ، 5) ، على التوالي.

المحلول

أولًا لدينا أ = (2 ، 2 ، -1) ، ب = (1 ، -2 ، 2) ، ج = (1 ، -1 ، 1).

نحسب AxB = (2، 2، -1) x (1، -2، 2) = (2، -5، -6).

ثم نحسب AxB ∙ C:

AxB ∙ C = (2، -5، -6) ∙ (1، -1، 1) = 2 + 5-6 = 1.

وهكذا نستنتج أن حجم خط الموازي المذكور هو وحدة مكعبة واحدة.

المراجع

1. ليثولد ، إل (1992). الحساب مع الهندسة التحليلية. HARLA، SA
2. ريسنيك ، ر. ، هاليداي ، د. ، وكرين ، ك. (2001). الفيزياء المجلد. 1. المكسيك: كونتيننتال.
3. ساينز ، ج. (بدون تاريخ). متجه حساب التفاضل والتكامل 1ed. الوتر.
4. شبيجل ، إم آر (2011). التحليل الاتجاهي 2ed. ماك جراو هيل.
5. زيل ، دي جي ، ورايت ، دبليو (2011). حساب عدة متغيرات 4ed. ماك جراو هيل.