- تعريف
- الخصائص
- خاصية 1
- خاصية 2
- برهنة
- الملكية 3
- الخاصية 4 (منتج ثلاثي النقاط)
- الخاصية 5 (منتج المتجه الثلاثي)
- الملكية 6
- مثال
- الملكية 7
- برهنة
- الملكية 8
- برهنة
- مثال 1
- مثال 2
- التطبيقات
- حساب حجم خط الموازي
- تمارين محلولة
- التمرين 1
- المحلول
- تمرين 2
- المحلول
- المراجع
و عبر المنتج أو ناقلات المنتج هو وسيلة لضرب اثنين أو أكثر من ناقلات. توجد ثلاث طرق لمضاعفة المتجهات ، لكن لا أحد من هذه الطرق هو الضرب بالمعنى المعتاد للكلمة. يُعرف أحد هذه الأشكال بالمنتج المتجه ، والذي ينتج عنه ناقل ثالث.
حاصل الضرب التبادلي ، والذي يسمى أيضًا حاصل الضرب التبادلي أو الضرب الخارجي ، له خصائص جبرية وهندسية مختلفة. هذه الخواص مفيدة جدا وخاصة من ناحية دراسة الفيزياء.

تعريف
التعريف الرسمي للمنتج المتجه هو التالي: إذا كان A = (a1، a2، a3) و B = (b1، b2، b3) متجهين ، فإن منتج المتجه لـ A و B ، والذي سنشير إليه كـ AxB ، هو:
AxB = (a2b3 - a3b2، a3b1 - a1b3، a1b2 - a2b1)
نظرًا لترميز AxB ، يُقرأ على أنه "A cross B".
مثال على كيفية استخدام المنتج الخارجي هو أنه إذا كانت A = (1 ، 2 ، 3) و B = (3 ، -2 ، 4) متجهات ، فعندئذٍ باستخدام تعريف منتج المتجه لدينا:
المحور B = (1 ، 2 ، 3) × (3 ، -2 ، 4) = (2 * 4 - 3 * (- 2) ، 3 * 3 - 1 * 4 ، 1 * (- 2) - 2 * 3)
المحور B = (8 + 6 ، 9-4 ، - 2-6) = (14 ، 5 ، - 8).
يتم إعطاء طريقة أخرى للتعبير عن منتج المتجه من خلال تدوين المحددات.
يتم حساب محدد الدرجة الثانية من خلال:

لذلك ، يمكن إعادة كتابة صيغة حاصل الضرب التبادلي الوارد في التعريف على النحو التالي:

عادة ما يتم تبسيط هذا إلى محدد من الدرجة الثالثة على النحو التالي:

حيث i ، j ، k تمثل المتجهات التي تشكل أساس R 3.
باستخدام هذه الطريقة للتعبير عن حاصل الضرب الاتجاهي ، لدينا أنه يمكن إعادة كتابة المثال السابق على النحو التالي:

الخصائص
بعض الخصائص التي يمتلكها المنتج المتجه هي التالية:
خاصية 1
إذا كان A أي متجه في R 3 ، فلدينا:
- AxA = 0
- Ax0 = 0
- 0xA = 0
من السهل التحقق من هذه الخصائص باستخدام التعريف فقط. إذا كان A = (a1، a2، a3) لدينا:
AxA = (a2a3 - a3a2، a3a1 - a1a3، a1a2 - a2a1) = (0، 0، 0) = 0.
Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0، a3 * 0 - a1 * 0، a1 * 0 - a2 * 0) = (0، 0، 0) = 0.
إذا كانت i ، j ، k تمثل قاعدة الوحدة لـ R 3 ، فيمكننا كتابتها على النحو التالي:
أنا = (1 ، 0 ، 0)
ي = (0 ، 1 ، 0)
ك = (0 ، 0 ، 1)
إذن ، لدينا أن الخصائص التالية صحيحة:

كقاعدة للذاكرة ، غالبًا ما تُستخدم الدائرة التالية لتذكر هذه الخصائص:

هناك يجب أن نلاحظ أن أي متجه مع نفسه يعطي المتجه 0 نتيجة لذلك ، ويمكن الحصول على باقي المنتجات بالقاعدة التالية:
يعطي الناتج العرضي لمتجهين متتاليين في اتجاه عقارب الساعة المتجه التالي ؛ وعند النظر في عكس اتجاه عقارب الساعة ، تكون النتيجة هي المتجه التالي بعلامة سالبة.
بفضل هذه الخصائص يمكننا أن نرى أن منتج المتجه ليس تبادليًا ؛ على سبيل المثال ، لاحظ فقط أن ixj ≠ jx i. تخبرنا الخاصية التالية بكيفية ارتباط AxB و BxA بشكل عام.
خاصية 2
إذا كان A و B متجهين لـ R 3 ، فلدينا:
AxB = - (BxA).
برهنة
إذا كان A = (a1، a2، a3) و B = (b1، b2، b3) ، حسب تعريف المنتج الخارجي لدينا:
AxB = (a2b3 - a3b2، a3b1 - a1b3، a1b2 - a2b1)
= (- 1) (a3b2 - a2b3، a1b3 - a3b1، a2b1 - a1b2)
= (- 1) (BxA).
يمكننا أيضًا أن نرى أن هذا المنتج لا يرتبط بالمثال التالي:
ix (ixj) = ixk = - j لكن (ixi) xj = 0xj = 0
من هذا يمكننا أن نرى أن:
التاسع (ixj) ≠ (ixi) xj
الملكية 3
إذا كانت A و B و C متجهات لـ R 3 و r رقم حقيقي ، فإن ما يلي يكون صحيحًا:
- الفأس (B + C) = AxB + AxC
- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)
بفضل هذه الخصائص يمكننا حساب حاصل الضرب المتجه باستخدام قوانين الجبر ، بشرط احترام الترتيب. فمثلا:
إذا كانت A = (1، 2، 3) و B = (3، -2، 4) ، فيمكننا إعادة كتابتها من حيث الأساس القانوني لـ R 3.
وبالتالي ، A = i + 2j + 3k و B = 3i - 2j + 4k. ثم يتم تطبيق الخصائص السابقة:
AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)
= 3 (ixi) - 2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)
= 3 (0) - 2 (ك) + 4 (- ي) + 6 (- ك) - 4 (0) + 8 (أنا) + 9 (ي) - 6 (- أنا) +12 (0)
= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k
= (14 ، 5 ، - 8).
الخاصية 4 (منتج ثلاثي النقاط)
كما ذكرنا في البداية ، هناك طرق أخرى لمضاعفة المتجهات بجانب منتج المتجه. إحدى هذه الطرق هي المنتج القياسي أو المنتج الداخلي ، والذي يُشار إليه على أنه A ∙ B وتعريفه هو:
إذا كان A = (a1، a2، a3) و B = (b1، b2، b3) ، إذن A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3
تُعرف الخاصية التي تتعلق بالمنتجين بالمنتج القياسي الثلاثي.
إذا كانت A و B و C متجهات لـ R 3 ، فإن A ∙ BxC = AxB ∙ C
كمثال ، دعنا نرى أنه ، بالنظر إلى A = (1 ، 1 ، - 2) ، B = (- 3 ، 4 ، 2) و C = (- 5 ، 1 ، - 4) ، هذه الخاصية راضية.
BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k
أ ∙ BxC = (1 ، 1 ، - 2) ∙ (- 18 ، - 22 ، 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74
من ناحية أخرى:
AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k
المحور B ∙ C = (10 ، 4 ، 7) ∙ (- 5 ، 1 ، - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74
منتج ثلاثي آخر هو Ax (BxC) ، والذي يُعرف باسم المنتج المتجه الثلاثي.
الخاصية 5 (منتج المتجه الثلاثي)
إذا كانت A و B و C نواقل لـ R 3 ، إذن:
الفأس (BxC) = (أ ، ج) ب - (أ ، ب) ج
كمثال ، دعنا نرى أنه ، بالنظر إلى A = (1 ، 1 ، - 2) ، B = (- 3 ، 4 ، 2) و C = (- 5 ، 1 ، - 4) ، هذه الخاصية راضية.
من المثال السابق نعلم أن BxC = (- 18 ، - 22 ، 17). دعنا نحسب Ax (BxC):
الفأس (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k
من ناحية أخرى ، علينا:
أ ∙ ج = (1 ، 1 ، - 2) ∙ (- 5 ، 1 ، - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4
أ ∙ ب = (1 ، 1 ، - 2) ∙ (- 3 ، 4 ، 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3
لذلك علينا أن:
(أ ، ج) ب - (أ ، ب) ج = 4 (- 3 ، 4 ، 2) + 3 (- 5 ، 1 ، - 4) = (- 12 ، 16 ، 8) + (- 15 ، 3 ، - 12) = (- 27،19، –4)
الملكية 6
إنها إحدى الخصائص الهندسية للناقلات. إذا كان A و B متجهين في R 3 و هي الزاوية التي تشكلت بينهما ، إذن:
--AxB - = --A ---- B - الخطيئة (ϴ) ، حيث - ∙ - تشير إلى معامل أو حجم المتجه.
التفسير الهندسي لهذه الخاصية هو كما يلي:
دع A = PR و B = PQ. إذن ، الزاوية المكونة من المتجهين A و B هي الزاوية P للمثلث RQP ، كما هو موضح في الشكل التالي.

لذلك ، فإن مساحة متوازي الأضلاع التي تحتوي على PR و PQ كأضلاع متجاورة هي - A ---- B - sin (ϴ) ، حيث يمكننا أن نأخذ - A - كقاعدة ويعطى ارتفاعها بواسطة - ب - الخطيئة (ϴ).
لذلك ، يمكننا أن نستنتج أن --AxB - هي مساحة متوازي الأضلاع المذكور.
مثال
بالنظر إلى الرؤوس التالية للرباع P (1، –2،3)، Q (4، 3، –1)، R (2، 2،1) and S (5،7، -3) ، أوضح أن الشكل الرباعي المذكور هو متوازي أضلاع ويوجد مساحته.

لهذا نحدد أولاً المتجهات التي تحدد اتجاه أضلاع الشكل الرباعي. هذا هو:
أ = PQ = (1-4 ، 3 + 2 ، - 1-3) = (3 ، 5 ، - 4)
ب = العلاقات العامة = (2-1 ، 2 + 2 ، 1-3) = (1 ، 4 ، - 2)
C = RS = (5-2 ، 7-2 ، - 3-1) = (3 ، 5 ، - 4)
د = QS = (5-4 ، 7-3 ، - 3 + 1) = (1 ، 4 ، - 2)
كما نرى ، A و C لهما نفس متجه المخرج ، وكلاهما متوازيان ؛ يحدث الشيء نفسه مع B و D. لذلك ، نستنتج أن PQRS متوازي أضلاع.

للحصول على مساحة متوازي الأضلاع هذا ، نحسب BxA:
BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)
= 5 ك + 4 ي - 12 ك - 16 ط - 6 ي + 10 ط
= - 6i - 2j - 7k.
لذلك ستكون المساحة المربعة:
--BxA-- 2 = (- 6) 2 + (- 2) 2 + (- 7) 2 = 36 + 4 + 49 = 89.
يمكن استنتاج أن مساحة متوازي الأضلاع ستكون الجذر التربيعي لـ 89.
الملكية 7
متجهان A و B متوازيان في R 3 إذا وفقط إذا كان AxB = 0
برهنة
من الواضح أنه إذا كان A أو B متجهًا فارغًا ، فإنه يتحقق أن AxB = 0. نظرًا لأن المتجه الصفري موازي لأي متجه آخر ، فإن الخاصية تكون صالحة.
إذا لم يكن أي من المتجهين متجهًا صفريًا ، فلدينا أن مقاديرهما تختلف عن الصفر ؛ أي ، كلاً من - أ - ≠ 0 و - ب - ≠ 0 ، لذلك سيكون لدينا --AxB - = 0 إذا وفقط إذا كانت الخطيئة (ϴ) = 0 ، وهذا يحدث فقط إذا وفقط إذا ϴ = π أو ϴ = 0.
لذلك ، يمكننا استنتاج AxB = 0 إذا وفقط إذا كانت ϴ = π أو ϴ = 0 ، وهذا يحدث فقط عندما يكون كلا المتجهين متوازيين مع بعضهما البعض.
الملكية 8
إذا كان A و B متجهين في R 3 ، فإن المحور B يكون عموديًا على كل من A و B.
برهنة
في هذا الدليل ، لنتذكر أن متجهين متعامدين إذا كان A ∙ B يساوي صفرًا. علاوة على ذلك ، نحن نعلم أن:
A ∙ AxB = AxA ∙ B ، لكن AxA يساوي 0. لذلك ، لدينا:
أ ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.
من خلال هذا يمكننا أن نستنتج أن A و AxB متعامدان مع بعضهما البعض. وبالمثل ، علينا أن:
AxB ∙ B = A ∙ BxB.
منذ BxB = 0 ، لدينا:
AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.
لذلك ، فإن AxB و B متعامدان مع بعضهما البعض وبهذه الخاصية تظهر الخاصية. هذا مفيد جدًا لنا ، لأنه يسمح لنا بتحديد معادلة المستوى.
مثال 1
احصل على معادلة المستوى الذي يمر عبر النقاط P (1 ، 3 ، 2) ، Q (3 ، - 2 ، 2) و R (2 ، 1 ، 3).
دع A = QR = (2 - 3.1 + 2، 3 - 2) و B = PR = (2 - 1.1 - 3، 3 - 2). ثم A = - i + 3j + k و B = i - 2j + k. لإيجاد المستوى المكون من هذه النقاط الثلاث ، ابحث عن المتجه الطبيعي للمستوى ، وهو AxB.
AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.
باستخدام هذا المتجه ، وأخذ النقطة P (1 ، 3 ، 2) ، يمكننا تحديد معادلة المستوى على النحو التالي:
(5 ، 2 ، - 1) ∙ (س - 1 ، ص - 3 ، ض - 2) = 5 (س - 1) + 2 (ص - 3) - (ض - 2) = 0
وبالتالي ، لدينا أن معادلة المستوى هي 5x + 2y - z - 9 = 0.
مثال 2
أوجد معادلة المستوى الذي يحتوي على النقطة P (4 ، 0 ، - 2) والتي تكون عمودية على كل من المستويين x - y + z = 0 و 2x + y - 4z - 5 = 0.
مع العلم أن المتجه الطبيعي للفأس المستوي + بواسطة + cz + d = 0 هو (أ ، ب ، ج) ، لدينا أن (1 ، -1،1) متجه عادي لـ x - y + z = 0 y (2 ، 1 ، - 4) متجه عادي لـ 2x + y - 4z - 5 = 0.
لذلك يجب أن يكون المتجه العادي على المستوى المطلوب عموديًا على (1 ، -1 ، 1) وعلى (2 ، 1 ، - 4). هذا المتجه هو:
(1، -1،1) x (2،1، - 4) = 3i + 6j + 3k.
بعد ذلك ، لدينا أن المستوى المطلوب هو المستوى الذي يحتوي على النقطة P (4،0 ، - 2) والمتجه (3،6،3) كمتجه عادي.
3 (س - 4) + 6 (ص - 0) + 3 (ض + 2) = 0
س + 2 ص + ع - 2 = 0.
التطبيقات
حساب حجم خط الموازي
التطبيق الذي يحتوي على المنتج القياسي الثلاثي هو أن يكون قادرًا على حساب حجم متوازي السطوح التي يتم تحديد حوافها بواسطة المتجهات A و B و C ، كما هو موضح في الشكل:

يمكننا استنتاج هذا التطبيق بالطريقة التالية: كما قلنا من قبل ، فإن المتجه AxB هو متجه طبيعي لمستوى A و B. ولدينا أيضًا أن المتجه - (AxB) هو متجه آخر عادي بالنسبة للمستوى المذكور.
نختار المتجه العادي الذي يشكل أصغر زاوية بالمتجه C ؛ بدون فقدان التعميم ، اجعل المحور AxB هو المتجه الذي تكون زاويته مع C هي الأصغر.
لدينا أن كلا من AxB و C لهما نفس نقطة البداية. علاوة على ذلك ، نعلم أن مساحة متوازي الأضلاع التي تشكل قاعدة خط الموازي هي --AxB -. لذلك ، إذا كان ارتفاع خط الموازي يساوي h ، فإن حجمه سيكون:
V = --AxB - ح.
من ناحية أخرى ، دعنا نفكر في المنتج النقطي بين AxB و C ، والذي يمكن وصفه على النحو التالي:

ومع ذلك ، من خلال الخصائص المثلثية ، لدينا h = --C - cos () ، لذلك لدينا:

بهذه الطريقة ، لدينا ما يلي:

بشكل عام ، لدينا حجم متوازي السطوح معطى بالقيمة المطلقة للمنتج العددي الثلاثي AxB ∙ C.
تمارين محلولة
التمرين 1
بالنظر إلى النقاط P = (5 ، 4 ، 5) ، Q = (4 ، 10 ، 6) ، R = (1 ، 8 ، 7) و S = (2 ، 6 ، 9) ، هذه النقاط تشكل خط متوازي حوافه هم PQ و PR و PS. تحديد حجم متوازي السطوح المذكورة.

المحلول
إذا أخذنا:
- أ = PQ = (-1 ، 6 ، 1)
- ب = العلاقات العامة = (-4 ، 4 ، 2)
- C = PS = (-3، 2، 2)
باستخدام خاصية المنتج العددية الثلاثية ، لدينا:
المحور B = (-1 ، 6 ، 1) × (-4 ، 4 ، 2) = (8 ، -2 ، 20).
AxB ∙ C = (8، -2، 20) ∙ (-3، 2، 2) = -24 -4 +80 = 52.
إذن ، حجم خط الموازي المذكور هو 52.
تمرين 2
أوجد حجم خط الموازي الذي تُعطى حوافه من خلال A = PQ و B = PR و C = PS ، حيث تكون النقاط P و Q و R و S هي (1 ، 3 ، 4) ، (3 ، 5 ، 3) ، (2 ، 1 ، 6) و (2 ، 2 ، 5) ، على التوالي.
المحلول
أولًا لدينا أ = (2 ، 2 ، -1) ، ب = (1 ، -2 ، 2) ، ج = (1 ، -1 ، 1).
نحسب AxB = (2، 2، -1) x (1، -2، 2) = (2، -5، -6).
ثم نحسب AxB ∙ C:
AxB ∙ C = (2، -5، -6) ∙ (1، -1، 1) = 2 + 5-6 = 1.
وهكذا نستنتج أن حجم خط الموازي المذكور هو وحدة مكعبة واحدة.
المراجع
- ليثولد ، إل (1992). الحساب مع الهندسة التحليلية. HARLA، SA
- ريسنيك ، ر. ، هاليداي ، د. ، وكرين ، ك. (2001). الفيزياء المجلد. 1. المكسيك: كونتيننتال.
- ساينز ، ج. (بدون تاريخ). متجه حساب التفاضل والتكامل 1ed. الوتر.
- شبيجل ، إم آر (2011). التحليل الاتجاهي 2ed. ماك جراو هيل.
- زيل ، دي جي ، ورايت ، دبليو (2011). حساب عدة متغيرات 4ed. ماك جراو هيل.
