- المنتجات والأمثلة البارزة
- تربيع ذات الحدين
- منتج ذو الحدين المترافق
- منتج ذو حدين بمصطلح مشترك
- كثيرة الحدود التربيعية
- ذات الحدين تكعيب
- مكعب ثلاثي الحدود
- تمارين محلولة للمنتجات البارزة
- التمرين 1
- المحلول
- تمرين 2
- المحلول
- المراجع
على المنتجات الرائعة والعمليات الجبرية، حيث يتم التعبير عن الضرب من متعددو الحدود، والتي لا تحتاج إلى حل تقليديا، ولكن مع مساعدة من قواعد معينة يمكن العثور على نتائج نفسه.
يتم ضرب كثيرات الحدود بنعم ، لذلك من الممكن أن يكون لديهم عدد كبير من المصطلحات والمتغيرات. لجعل العملية أقصر ، يتم استخدام قواعد المنتجات البارزة ، والتي تسمح بالضرب دون الحاجة إلى الانتقال من مصطلح إلى آخر.
المنتجات والأمثلة البارزة
كل منتج ملحوظ هو صيغة ناتجة عن عامل ، يتكون من كثيرات الحدود من عدة مصطلحات ، مثل ذات الحدين أو ثلاثي الحدود ، تسمى العوامل.
العوامل هي أساس قوة ولها أس. عند ضرب العوامل ، يجب إضافة الأس.
هناك العديد من صيغ المنتجات الرائعة ، بعضها أكثر استخدامًا من البعض الآخر ، اعتمادًا على كثير الحدود ، وهي كالتالي:
تربيع ذات الحدين
إنه مضاعفة ذات الحدين من تلقاء نفسها ، معبراً عنها كقوة ، حيث تتم إضافة المصطلحات أو طرحها:
إلى. مجموع الحدين التربيعي: يساوي مربع الحد الأول ، زائد ضعف حاصل ضرب الحدين ، زائد مربع الحد الثاني. يتم التعبير عنها على النحو التالي:
(أ + ب) 2 = (أ + ب) * (أ + ب).
في الشكل التالي يمكنك أن ترى كيف يتطور المنتج وفقًا للقاعدة المذكورة أعلاه. والنتيجة تسمى ثلاثي حدود المربع الكامل.
مثال 1
(س + 5) ² = س² + 2 (س * 5) + 5²
(س + 5) ² = س² + 2 (5 س) + 25
(س + 5) ² = س² + 10x + 25.
مثال 2
(4 أ + 2 ب) = (4 أ) 2 + 2 (4 أ * 2 ب) + (2 ب) 2
(4 أ + 2 ب) = 8 أ 2 + 2 (8 أ ب) + 4 ب 2
(4 أ + 2 ب) = 8 أ 2 + 16 أب + 4 ب 2.
ب. ذات الحدين للطرح التربيعي: تنطبق نفس قاعدة ذات الحدين للمبلغ ، فقط في هذه الحالة يكون الحد الثاني سالبًا. صيغته هي كما يلي:
(أ - ب) 2 = 2
(أ - ب) 2 = أ 2 + 2 أ * (-ب) + (-ب) 2
(أ - ب) 2 = أ 2 - 2 أب + ب 2.
مثال 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2 س - 6) 2 = 4 س 2 - 2 (12 س) + 36
(2X - 6) 2 = 4X 2 - 24X + 36.
منتج ذو الحدين المترافق
يتم تصريف حدين عندما يكون لكل من المصطلحين الثانيين إشارات مختلفة ، أي أن الأولى موجبة والثانية سلبية أو العكس. يتم حلها عن طريق تربيع كل أحادية وطرح. صيغته هي كما يلي:
(أ + ب) * (أ - ب)
في الشكل التالي ، تم تطوير ناتج حدين مترافقين ، حيث لوحظ أن النتيجة هي اختلاف المربعات.
مثال 1
(2 أ + 3 ب) (2 أ - 3 ب) = 4 أ 2 + (-6 أ ب) + (6 أب) + (-9 ب 2)
(2 أ + 3 ب) (2 أ - 3 ب) = 4 أ 2 - 9 ب 2.
منتج ذو حدين بمصطلح مشترك
إنها واحدة من أكثر المنتجات البارزة تعقيدًا ونادرًا ما تستخدم لأنها مضاعفة ذات حدين لهما مصطلح مشترك. تنص القاعدة على ما يلي:
- مربع المصطلح الشائع.
- زائد مجموع المصطلحات غير الشائعة ثم اضربها في المصطلح المشترك.
- بالإضافة إلى مجموع ضرب المصطلحات غير الشائعة.
وهي ممثلة بالصيغة: (x + a) * (x + b) ويتم تطويرها كما هو موضح في الصورة. والنتيجة هي ثلاثي الحدود المربع غير الكامل.
(س + 6) * (س + 9) = س 2 + (6 + 9) * س + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
هناك احتمال أن يكون المصطلح الثاني (المصطلح المختلف) سالبًا وأن تكون صيغته كما يلي: (x + a) * (x - b).
مثال 2
(7 س + 4) * (7 س - 2) = (7 س * 7 س) + (4-2) * 7 س + (4 * -2)
(7 س + 4) * (7 س - 2) = 49 س 2 + (2) * 7 س - 8
(7 س + 4) * (7 س - 2) = 49 س 2 + 14 س - 8.
يمكن أيضًا أن يكون كلا المصطلحين المختلفين سلبيين. ستكون صيغته: (س - أ) * (س - ب).
مثال 3
(3 ب - 6) * (3 ب - 5) = (3 ب * 3 ب) + (-6-5) * (3 ب) + (-6 * -5)
(3 ب - 6) * (3 ب - 5) = 9 ب 2 + (-11) * (3 ب) + (30)
(3B - 6) * (3B - 5) = 9B 2 - 33B + 30.
كثيرة الحدود التربيعية
في هذه الحالة ، يوجد أكثر من حدين ، ولتطويرها ، يتم تربيع كل واحد ويتم جمعه مع ضعف مضاعفة حد واحد مع الآخر ؛ صيغتها هي: (أ + ب + ج) 2 ونتيجة العملية مربعة ثلاثية الحدود.
مثال 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
ذات الحدين تكعيب
إنه منتج معقد بشكل ملحوظ. ولتطويرها يتم ضرب ذات الحدين بمربعها على النحو التالي:
إلى. لمجموع الحدين تكعيب:
- مكعب الحد الأول ، زائد ثلاثة أضعاف مربع الحد الأول في الثاني.
- زائد ثلاثة أضعاف الحد الأول ، مضروبًا في مربع الثاني.
- زائد مكعب الحد الثاني.
(أ + ب) 3 = (أ + ب) * (أ + ب) 2
(أ + ب) 3 = (أ + ب) * (أ 2 + 2 أب + ب 2)
(أ + ب) 3 = أ 3 + 2 أ 2 ب + أب 2 + با 2 + 2 أب 2 + ب 3
(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + ب 3.
مثال 1
(أ + 3) 3 = أ 3 + 3 (أ) 2 * (3) + 3 (أ) * (3) 2 + (3) 3
(أ + 3) 3 = أ 3 + 3 (أ) 2 * (3) + 3 (أ) * (9) + 27
(أ + 3) 3 = أ 3 + 9 أ 2 + 27 أ + 27.
ب. بالنسبة للحدين تكعيب الطرح:
- مكعب الحد الأول ، ناقص ثلاثة في مربع الحد الأول مضروبًا في الثاني.
- زائد ثلاثة أضعاف الحد الأول ، مضروبًا في مربع الثاني.
- ناقص مكعب الحد الثاني.
(أ - ب) 3 = (أ - ب) * (أ - ب) 2
(أ - ب) 3 = (أ - ب) * (أ 2 - 2 أب + ب 2)
(أ ب) 3 = ل 3 - 2A 2 ب + أ ب 2 - با 2 + 2AB 2 - ب 3
(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أب 2 - ب 3.
مثال 2
(ب - 5) 3 = ب 3 + 3 (ب) 2 * (-5) + 3 (ب) * (-5) 2 + (-5) 3
(ب - 5) 3 = ب 3 + 3 (ب) 2 * (-5) + 3 (ب) * (25) -125
(ب - 5) 3 = ب 3 - 15 ب 2 + 75 ب - 125.
مكعب ثلاثي الحدود
تم تطويره بضربه في مربعه. إنه منتج رائع للغاية لأن لديك 3 حدود تكعيب ، زائد ثلاثة أضعاف كل حد تربيع ، مضروبًا في كل حد ، زائد ستة أضعاف حاصل ضرب المصطلحات الثلاثة. شوهدت بطريقة أفضل:
(أ + ب + ج) 3 = (أ + ب + ج) * (أ + ب + ج) 2
(أ + ب + ج) 3 = (أ + ب + ج) * (أ 2 + ب 2 + ص 2 + 2 أب + 2 أك + 2 بي سي)
(أ + ب + ج) 3 = أ 3 + ب 3 + ص 3 + 3 أ 2 ب + 3 أب 2 + 3 أ 2 ج + 3 أ 2 + 3 ب 2 ج + 3 بي سي 2 + 6 أبك.
مثال 1
تمارين محلولة للمنتجات البارزة
التمرين 1
قم بفك تكعيب ذي الحدين التالي: (4x - 6) 3.
المحلول
تذكر أن ذات الحدين تكعيب يساوي الحد الأول تكعيب ، ناقص ثلاثة في مربع الحد الأول مضروبًا في الثاني ؛ زائد ثلاثية الحد الأول ، مضروبة في المربع الثاني ، ناقص مكعب الحد الثاني.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4X - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16X 2) (6) + 3 (4X) * (36) - 36
(4X - 6) 3 = 64x 3 - إلى 288x 2 + 432x - 36.
تمرين 2
تطوير ذات الحدين التالية: (س + 3) (س + 8).
المحلول
توجد ذات الحدين حيث يوجد مصطلح شائع وهو x والمصطلح الثاني موجب. لتطويره ، عليك فقط تربيع المصطلح المشترك ، بالإضافة إلى مجموع المصطلحات غير الشائعة (3 و 8) ثم ضربها في المصطلح المشترك ، بالإضافة إلى مجموع مضاعفة المصطلحات غير الشائعة.
(س + 3) (س + 8) = س 2 + (3 + 8) س + (3 * 8)
(س + 3) (س + 8) = س 2 + 11 س + 24.
المراجع
- أنجل ، أركنساس (2007). الجبر الابتدائي. تعليم بيرسون ،.
- آرثر جودمان ، إل إتش (1996). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.
- داس ، س. (بدون تاريخ). Maths Plus 8. المملكة المتحدة: Ratna Sagar.
- جيروم إي كوفمان ، كوالالمبور (2011). الجبر الابتدائي والمتوسط: نهج مشترك. فلوريدا: Cengage Learning.
- بيريز ، سي دي (2010). تعليم بيرسون.