الملكية النقابية: الجمع ، الضرب ، الأمثلة ، التمارين - رياضيات - 2026

تمثل الخاصية الترابطية للإضافة الصفة الترابطية لعملية الإضافة في مجموعات حسابية مختلفة. في ذلك ، ترتبط ثلاثة (أو أكثر) عناصر من المجموعات المذكورة ، تسمى أ ، ب ، ج ، بحيث تكون صحيحة دائمًا:

أ + (ب + ج) = (أ + ب) + ج

وبهذه الطريقة نضمن أنه بغض النظر عن طريقة التجمع لتنفيذ العملية ، فإن النتيجة واحدة.

الشكل 1. نستخدم الخاصية الترابطية للإضافة عدة مرات عند القيام بعمليات حسابية وجبرية. (الرسم: freepik Composition: F. Zapata)

ولكن تجدر الإشارة إلى أن الخاصية الترابطية ليست مرادفة للخاصية التبادلية. أي أننا نعلم أن ترتيب الإضافات لا يغير المجموع أو أن ترتيب العوامل لا يغير المنتج. لذلك يمكن كتابة المجموع على النحو التالي: أ + ب = ب + أ.

ومع ذلك ، فإن الأمر مختلف في الخاصية الترابطية ، حيث يتم الحفاظ على ترتيب العناصر المراد إضافتها والتغييرات هي العملية التي يتم تنفيذها أولاً. مما يعني أن إضافة (b + c) أولاً وإضافة a إلى هذه النتيجة لا يهم من بدء إضافة a إلى النتيجة بإضافة c.

العديد من العمليات المهمة مثل الإضافة ترابطية ، ولكن ليس كلها. على سبيل المثال ، في طرح الأرقام الحقيقية يحدث ما يلي:

أ - (ب - ج) ≠ (أ - ب) - ج

إذا كانت أ = 2 ، ب = 3 ، ج = 1 ، إذن:

2– (3-1) ≠ (2-3) - 1

0 ≠ -2

الخاصية الترابطية للضرب

كما تم القيام به للإضافة ، تنص الخاصية الترابطية للضرب على ما يلي:

أ ˟ (ب ˟ ج) = (أ ˟ ب) ˟ ج

في حالة مجموعة الأرقام الحقيقية ، من السهل التحقق من أن هذا هو الحال دائمًا. على سبيل المثال ، باستخدام القيم a = 2 ، b = 3 ، c = 1 ، لدينا:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

الأعداد الحقيقية تحقق الخاصية الترابطية لكل من الجمع والضرب. من ناحية أخرى ، في مجموعة أخرى ، مثل مجموعة المتجهات ، يكون المجموع ترابطيًا ، لكن المنتج المتقاطع أو المنتج المتجه ليس كذلك.

تطبيقات الخاصية الترابطية للضرب

تتمثل ميزة العمليات التي يتم فيها استيفاء الخاصية الترابطية في القدرة على التجميع بالطريقة الأكثر ملاءمة. هذا يجعل القرار أسهل بكثير.

على سبيل المثال ، افترض أنه يوجد في مكتبة صغيرة 3 أرفف كل منها 5 أرفف. يوجد في كل رف 8 كتب. كم عدد الكتب الموجودة في الكل؟

يمكننا تنفيذ العملية على النحو التالي: مجموع الكتب = (3 × 5) × 8 = 15 × 8 = 120 كتابًا.

أو مثل هذا: 3 × (5 × 8) = 3 × 40 = 120 كتابًا.

الشكل 2. تطبيق واحد للخاصية الترابطية للضرب هو حساب عدد الكتب على كل رف. صورة تم إنشاؤها بواسطة F. Zapata.

أمثلة

- في مجموعات من الأعداد الطبيعية والصحيحة والعقلانية والحقيقية والمعقدة ، تتحقق الخاصية الترابطية للجمع والضرب.

الشكل 3. بالنسبة للأرقام الحقيقية ، تتحقق الخاصية الترابطية للإضافة. المصدر: ويكيميديا ​​كومنز.

- بالنسبة لكثيرات الحدود تنطبق أيضًا في هذه العمليات

- في حالات عمليات الطرح والقسمة والأس ، لا تنطبق الخاصية الترابطية على الأرقام الحقيقية أو كثيرات الحدود.

- في حالة المصفوفات ، يتم استيفاء الخاصية الترابطية للجمع والضرب ، على الرغم من أنه في الحالة الأخيرة ، لا يتم استيفاء التبديل. هذا يعني أنه بالنظر إلى المصفوفات A و B و C ، فمن الصحيح أن:

(أ × ب) × ج = أ × (ب × ج)

لكن… أ س ب ≠ ب س أ

الملكية الترابطية في النواقل

تشكل المتجهات مجموعة مختلفة عن الأعداد الحقيقية أو الأعداد المركبة. تختلف العمليات المحددة لمجموعة المتجهات إلى حد ما: هناك إضافة وطرح وثلاثة أنواع من المنتجات.

مجموع المتجهات يفي بالخاصية الترابطية ، كما هو الحال مع الأرقام ومتعددة الحدود والمصفوفات. أما بالنسبة للمنتجات العددية ، المتجهية والمتقاطعة التي يتم إجراؤها بين المتجهات ، فإن هذا الأخير لا يفي بها ، ولكن المنتج القياسي ، وهو نوع آخر من العمليات بين المتجهات ، يحقق ذلك ، مع مراعاة ما يلي:

- ينتج عن حاصل ضرب الحجم والمتجه متجه.

-وعند الضرب التدريجي لمتجهين ، ينتج عن ذلك عدد قياسي.

لذلك ، بالنظر إلى المتجهات v و u و w ، بالإضافة إلى العدد القياسي ، يمكن كتابة:

- مجموع المتجهات: v + (u + w) = (v + u) + w

-منتج السكالار: λ (v • u) = (λ v) • u

هذا الأخير ممكن بفضل حقيقة أن v • u عددي ، و v متجه.

ومع ذلك:

ت × (ش × ث) ≠ (ت × ش) × ث

تحليل كثيرات الحدود إلى عوامل من خلال تجميع المصطلحات

هذا التطبيق ممتع للغاية ، لأنه كما قيل من قبل ، تساعد الخاصية الترابطية في حل بعض المشكلات. مجموع مونومال هو ترابطي ويمكن استخدامه في التحليل عندما لا يظهر عامل مشترك واضح للوهلة الأولى.

على سبيل المثال ، افترض أنه طُلب منك تحليل: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. لا يوجد عامل مشترك لهذه كثيرة الحدود ، لكن دعنا نرى ما يحدث إذا تم تجميعها على النحو التالي:

القوس الأول له عامل مشترك في المحور ²:

العامل المشترك الثاني هو 3:

تمارين

- التمرين 1

يتكون مبنى المدرسة من 4 طوابق ولكل منها 12 فصلاً دراسيًا مع 30 مكتبًا بالداخل. كم عدد المكاتب التي تمتلكها المدرسة إجمالاً؟

المحلول

يتم حل هذه المشكلة عن طريق تطبيق الخاصية الترابطية للضرب ، دعنا نرى:

إجمالي عدد المكاتب = 4 طوابق × 12 فصلاً دراسيًا / أرضية × 30 مكتبًا / حجرة دراسية = (4 × 12) × 30 مكتبًا = 48 × 30 = 1440 مكتبًا.

أو إذا كنت تفضل: 4 × (12 × 30) = 4 × 360 = 1440 مكتبًا

- تمرين 2

بالنظر إلى كثيرات الحدود:

أ (س) = 5 س ³ + ² س ² -7 س + 1

B (س) = س ⁴ + 6X ³ -5x

ج (س) = -8 س ² + 3 س -7

طبق الخاصية الترابطية للجمع لإيجاد A (x) + B (x) + C (x).

المحلول

يمكنك تجميع الأولين وإضافة الثالث إلى النتيجة:

أ (س) + ب (س) = + = س ⁴ + ¹¹ س ³ + ² س 2-12 س +1

تمت إضافة كثير الحدود C (x) على الفور:

+ = س ⁴ + 11x ³ - 6X ² -9x -6

يمكن للقارئ التحقق من أن النتيجة متطابقة إذا تم حلها بواسطة الخيار A (x) +.

المراجع

1. Jiménez، R. 2008. الجبر. برنتيس هول.
2. الرياضيات ممتعة ، قوانين تبادلية وترابطية وتوزيعية. تم الاسترجاع من: mathisfun.com.
3. مستودع الرياضيات. تعريف الملكية النقابية. تم الاسترجاع من: mathwarehouse.com.
4. علم. الخاصية الترابطية والتبادلية للجمع والضرب (مع أمثلة). تم الاسترجاع من: sciencing.com.
5. ويكيبيديا. ملكية مشتركة. تم الاسترجاع من: en.wikipedia.org.