نقاط متحد المستوى: معادلة ، مثال وتمارين محلولة - رياضيات - 2026

و نقطة متحد المستوى تنتمي جميعا إلى نفس الطائرة. تكون نقطتان دائمًا متحد المستوى ، لأن هذه النقاط تحدد خطًا تمر عبره الطائرات اللانهائية. بعد ذلك ، تنتمي كلتا النقطتين إلى كل من المستويات التي تمر عبر الخط ، وبالتالي ، ستكونان دائمًا متحد المستوى.

من ناحية أخرى ، تحدد ثلاث نقاط مستوى واحدًا ، ويترتب على ذلك أن النقاط الثلاث ستكون دائمًا متحد المستوى مع المستوى الذي تحدده.

الشكل 1. A و B و C و D متحد المستوى بالنسبة للمستوى (Ω). E و F و G ليست مستوية لـ () ولكنها متحد المستوى مع المستوى الذي يحددونه. المصدر: F. Zapata.

يمكن أن تكون أكثر من ثلاث نقاط متحد المستوى أم لا. على سبيل المثال في الشكل 1 ، النقاط A و B و C و D متحد المستوى مع المستوى (Ω). لكن E و F و G ليست مستوية لـ () ، على الرغم من أنها متحد المستوى مع المستوى الذي تحدده.

معادلة مستوى معطى ثلاث نقاط

معادلة المستوى المحدد بثلاث نقاط معروفة A ، B ، C هي علاقة رياضية تضمن أن أي نقطة P ذات إحداثيات عامة (x ، y ، z) التي تحقق المعادلة تنتمي إلى المستوى المذكور.

العبارة السابقة تعادل القول أنه إذا كانت P من الإحداثيات (x ، y ، z) تفي بمعادلة المستوى ، فإن النقطة المذكورة ستكون متحد المستوى مع النقاط الثلاث A ، B ، C التي تحدد المستوى.

لإيجاد معادلة هذا المستوى ، لنبدأ بإيجاد المتجهين AB و AC:

AB =

AC =

ينتج عن منتج المتجه AB X AC متجه عمودي أو عادي على المستوى المحدد بالنقاط A ، B ، C.

أي نقطة P ذات إحداثيات (x ، y ، z) تنتمي إلى المستوى إذا كان المتجه AP عموديًا على المتجه AB X AC ، وهو مضمون إذا:

AP • (AB X AC) = 0

هذا يعادل القول بأن حاصل الضرب الثلاثي لـ AP و AB و AC يساوي صفرًا. يمكن كتابة المعادلة أعلاه في شكل مصفوفة:

مثال

دع النقاط أ (0 ، 1 ، 2) ؛ ب (1 ، 2 ، 3) ؛ ج (7 ، 2 ، 1) ود (أ ، 0 ، 1). ما هي القيمة التي يجب أن تمتلكها النقاط الأربع لتكون متحد المستوى؟

المحلول

للعثور على قيمة a ، يجب أن تكون النقطة D جزءًا من المستوى الذي تحدده A و B و C ، وهو أمر مضمون إذا كانت تفي بمعادلة المستوى.

تطوير المحدد لدينا:

تخبرنا المعادلة السابقة أن أ = -1 لتحقيق المساواة. بعبارة أخرى ، الطريقة الوحيدة التي تجعل النقطة D (أ ، 0،1) هي متحد المستوى مع النقاط A و B و C هي أن يكون a -1. وإلا فإنه لن يكون متحد المستوى.

تمارين محلولة

- التمرين 1

يتقاطع المستوى مع المحاور الديكارتية X و Y و Z عند 1 و 2 و 3 على التوالي. يحدد تقاطع هذا المستوى مع المحاور النقاط A و B و C. أوجد المكون Dz للنقطة D ، والتي تكون مكوناتها الديكارتية:

شريطة أن يكون D متحد المستوى مع النقاط A و B و C.

المحلول

عندما تُعرف اعتراضات المستوى بالمحاور الديكارتية ، يمكن استخدام الشكل المقطعي لمعادلة المستوى:

س / 1 + ص / 2 + ع / 3 = 1

نظرًا لأن النقطة D يجب أن تنتمي إلى المستوى السابق ، فيجب أن:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

ذلك بالقول:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

دز (-1 + ½ + ⅓) =

دز (-1 / 6⅙) =

Dz = -3

مما ورد أعلاه يتبع أن النقطة D (3 ، -2 ، -3) متحد المستوى مع النقاط A (1 ، 0 ، 0) ؛ ب (0 ، 2 ، 0) وج (0 ، 0 ، 3).

- تمرين 2

حدد ما إذا كانت النقاط أ (0 ، 5 ، 3) ؛ ب (0 ، 6 ، 4) ؛ C (2 ، 4 ، 2) و D (2 ، 3 ، 1) متحد المستوى.

المحلول

نشكل المصفوفة التي تكون صفوفها إحداثيات DA و BA و CA. ثم يتم حساب المحدد ويتم التحقق مما إذا كان صفرًا أم لا.

بعد إجراء جميع الحسابات ، استنتج أنها متحد المستوى.

- التمرين 3

هناك سطرين في الفضاء. واحد منهم هو الخط (R) الذي معادلته البارامترية:

والآخر هو الخط (S) الذي تكون معادلته:

أظهر أن (R) و (S) خطان متحدان المستوى ، أي أنهما يقعان في نفس المستوى.

المحلول

لنبدأ بأخذ نقطتين بشكل تعسفي على الخط (R) ونقطتين على الخط (S):

الخط (R): λ = 0 ؛ أ (1 ، 1 ، 1) و λ = 1 ؛ ب (3 ، 0 ، 1)

دع x = 0 على الخط (S) => y = ½ ؛ ج (0 ، ½ ، -1). ومن ناحية أخرى ، إذا جعلنا y = 0 => x = 1 ؛ د (1 ، 0 ، -1).

أي أننا أخذنا النقطتين A و B التي تنتمي إلى الخط (R) والنقطتين C و D التي تنتمي إلى الخط (S). إذا كانت هذه النقاط متحد المستوى ، فسيكون الخطان أيضًا.

نختار الآن النقطة A كمحور ثم نحدد إحداثيات المتجهات AB و AC و AD. بهذه الطريقة تحصل على:

ب - أ: (3-1 ، 0-1 ، 1-1) => أب = (2 ، -1 ، 0)

ج - أ: (0-1 ، 1/2 -1 ، -1-1) => أس = (-1 ، -1/2 ، -2)

د - أ: (1-1 ، 0-1 ، -1-1) => م = (0 ، -1 ، -2)

الخطوة التالية هي بناء وحساب المحدد الذي يكون صفه الأول هو معاملات المتجه AB ، والصف الثاني هو معامل AC والصف الثالث من المتجه AD:

نظرًا لأن المحدد اتضح أنه فارغ ، فيمكننا إذن أن نستنتج أن النقاط الأربع متحد المستوى. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن القول أن الخطين (R) و (S) هما أيضًا متحد المستوى.

- التمرين 4

الخطان (R) و (S) متحدان المستوى ، كما هو موضح في التمرين 3. ابحث عن معادلة المستوى الذي يحتوي عليهما.

المحلول

تحدد النقاط A و B و C هذا المستوى تمامًا ، لكننا نريد أن نفرض أن أي نقطة X من الإحداثيات (x ، y ، z) تنتمي إليها.

لكي ينتمي X إلى المستوى المحدد بواسطة A و B و C وفيه يتم احتواء الخطوط (R) و (S) ، من الضروري أن يكون المحدد في صفه الأول بواسطة مكونات AX ، في الصف الثاني من قبل أولئك من AB وفي الثالثة من قبل أولئك من AC:

بعد هذه النتيجة ، نقوم بالتجميع بهذه الطريقة:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

وعلى الفور ترى أنه يمكن إعادة كتابته على النحو التالي:

س - 1 + 2 ص - 2 - ع + 1 = 0

لذلك فإن x + 2y - z = 2 هي معادلة المستوى الذي يحتوي على الخطين (R) و (S).

المراجع

1. فليمينج ، دبليو 1989. الرياضيات المسبقة. برنتيس هول PTR.
2. كولمان ، ب. 2006. الجبر الخطي. تعليم بيرسون.
3. Leal، JM 2005. الهندسة التحليلية المسطحة. ميريدا - فنزويلا: الافتتاحية فنزويلا CA
4. نافارو ، روسيو. ثلاثة أبعاد. تم الاسترجاع من: books.google.co.ve.
5. بيريز ، قرص مضغوط 2006. حساب مسبق. تعليم بيرسون.
6. Prenowitz، W. 2012. مفاهيم أساسية للهندسة. رومان وليتلفيلد.
7. سوليفان ، م. 1997. Precalculus. تعليم بيرسون.