ما هي الحدود المثلثية؟ (تم حل التمارين) - رياضيات - 2026

في حدود المثلثية هي حدود المهام بحيث تتشكل هذه الوظائف عن طريق الدوال المثلثية.

هناك تعريفان يجب معرفتهما لفهم كيفية حساب الحد المثلثي.

هذه التعريفات هي:

- حد دالة «f» عندما تميل «x» إلى «b»: وهي تتكون من حساب القيمة التي تقترب f (x) إليها عندما تقترب «x» من «b» ، دون الوصول إلى «b» ».

- الدوال المثلثية: الدوال المثلثية هي دوال الجيب وجيب التمام والظل ، ويُرمز لها بـ sin (x) و cos (x) و tan (x) على التوالي.

يتم الحصول على الدوال المثلثية الأخرى من الوظائف الثلاث المذكورة أعلاه.

حدود الوظيفة

لتوضيح مفهوم حد الوظيفة ، سنشرع في عرض بعض الأمثلة بوظائف بسيطة.

- حد f (x) = 3 عندما يميل "x" إلى "8" يساوي "3" ، لأن الوظيفة ثابتة دائمًا. بغض النظر عن قيمة "x" ، فإن قيمة f (x) ستكون دائمًا "3".

- حد f (x) = x-2 عندما يميل «x» إلى «6» هو «4». منذ عندما تقترب "x" من "6" ثم تقترب "x-2" من "6-2 = 4".

- حد g (x) = x² عندما يميل "x" إلى "3" يساوي 9 ، لأنه عندما تقترب "x" من "3" ، فإن "x²" تقترب من "3² = 9".

كما يتضح من الأمثلة السابقة ، فإن حساب الحد يتكون من تقييم القيمة التي تميل إليها "x" في الوظيفة ، وستكون النتيجة هي قيمة الحد ، على الرغم من أن هذا ينطبق فقط على الوظائف المستمرة.

هل هناك حدود أكثر تعقيدًا؟

الجواب نعم. الأمثلة أعلاه هي أبسط أمثلة على الحدود. في كتب التفاضل والتكامل ، تمارين الحد الرئيسية هي تلك التي تولد عدم تحديد النوع 0/0 و / ∞ و ∞-∞ و 0 * ∞ و (1) ^ ∞ و (0) ^ 0 و () ^ 0.

تسمى هذه التعبيرات اللاحتمالية لأنها تعبيرات لا معنى لها رياضيًا.

بالإضافة إلى ذلك ، اعتمادًا على الوظائف المتضمنة في الحد الأصلي ، قد تكون النتيجة التي تم الحصول عليها عند حل اللاحتميات مختلفة في كل حالة.

أمثلة على الحدود المثلثية البسيطة

لحل الحدود ، من المفيد دائمًا معرفة الرسوم البيانية للوظائف المعنية. الرسوم البيانية لوظائف الجيب وجيب التمام والظل موضحة أدناه.

بعض الأمثلة على الحدود المثلثية البسيطة هي:

- احسب حد الخطيئة (x) عندما يميل «x» إلى «0».

عند النظر إلى الرسم البياني ، يمكن ملاحظة أنه إذا اقتربت "x" من "0" (كلاهما من اليسار واليمين) ، فإن الرسم البياني للجيب يقترب أيضًا من "0". لذلك ، حد الخطيئة (x) عندما تميل "x" إلى "0" تكون "0".

- احسب حد cos (x) عندما يميل «x» إلى «0».

من خلال مراقبة الرسم البياني لجيب التمام ، يمكن ملاحظة أنه عندما تكون "x" قريبة من "0" ، فإن الرسم البياني لجيب التمام يكون قريبًا من "1". هذا يعني أن حد cos (x) عندما يميل "x" إلى "0" يساوي "1".

يمكن أن يوجد حد (يكون رقمًا) ، كما في الأمثلة السابقة ، ولكن يمكن أيضًا أن يحدث أنه غير موجود كما هو موضح في المثال التالي.

- حد tan (x) عندما يميل «x» إلى «/ 2» من اليسار يساوي «+ ∞» كما يظهر في الرسم البياني. من ناحية أخرى ، فإن حد tan (x) عندما تميل "x" إلى "-/ 2" من اليمين تساوي "-∞".

متطابقات الحدود المثلثية

هويتان مفيدتان للغاية عند حساب الحدود المثلثية هما:

- حد «sin (x) / x» عندما يميل «x» إلى «0» يساوي «1».

- حد «(1-cos (x)) / x» عندما يميل «x» إلى «0» يساوي «0».

تُستخدم هذه الهويات كثيرًا عندما يكون لديك نوع من عدم التحديد.

تمارين محلولة

قم بحل الحدود التالية باستخدام الهويات الموضحة أعلاه.

- احسب حد «f (x) = sin (3x) / x» عندما يميل «x» إلى «0».

إذا تم تقييم الوظيفة "f" عند "0" ، فسيتم الحصول على عدم تحديد النوع 0/0. لذلك ، يجب أن نحاول حل هذا اللاحتمية باستخدام الهويات الموصوفة.

الاختلاف الوحيد بين هذا الحد والهوية هو الرقم 3 الذي يظهر داخل دالة الجيب. لتطبيق الهوية ، يجب إعادة كتابة الوظيفة «f (x)» بالطريقة التالية «3 * (sin (3x) / 3x)». الآن كل من وسيطة الجيب والمقام متساويان.

لذلك عندما تميل "x" إلى "0" ، فإن استخدام الهوية يعطي "3 * 1 = 3". لذلك ، فإن حد f (x) عندما يميل "x" إلى "0" يساوي "3".

- احسب حد «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» عندما يميل «x» إلى «0».

عندما يتم استبدال "x = 0" في g (x) ، يتم الحصول على عدم تحديد النوع ∞-∞. لحلها ، يتم طرح الكسور أولاً ، مما ينتج عنه "(1-cos (x)) / x".

الآن ، بتطبيق المتطابقة المثلثية الثانية لدينا أن حد g (x) عندما يميل «x» إلى «0» يساوي 0.

- احسب حد «h (x) = 4tan (5x) / 5x» عندما يميل «x» إلى «0».

مرة أخرى ، إذا تم تقييم h (x) عند "0" ، فسيتم الحصول على عدم تحديد النوع 0/0.

إعادة كتابة (5x) كـ sin (5x) / cos (5x) ينتج عنه h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

باستخدام هذا الحد 4 / cos (x) عندما يكون "x" يميل إلى "0" يساوي "4/1 = 4" ويتم الحصول على أول متطابقة مثلثية بحيث يكون حد h (x) عندما تميل "x" "0" يساوي "1 * 4 = 4".

الملاحظة

ليس من السهل دائمًا حل الحدود المثلثية. تم عرض الأمثلة الأساسية فقط في هذه المقالة.

المراجع

1. فليمينج ، دبليو ، وفاربرج ، دي (1989). الرياضيات المسبقة. برنتيس هول PTR.
2. فليمينج ، دبليو ، وفاربرج ، دي (1989). رياضيات حساب التفاضل والتكامل: نهج لحل المشكلات (2 ، إيضاح مصور). ميشيغان: برنتيس هول.
3. فليمينج ، دبليو ، وفاربرج ، د. (1991). الجبر وعلم المثلثات مع الهندسة التحليلية. تعليم بيرسون.
4. لارسون ، ر. (2010). Precalculus (8 ed.). سينجاج ليرنينج.
5. ليل ، جي إم ، وفيلوريا ، إن جي (2005). الهندسة التحليلية المستوية. ميريدا - فنزويلا: الافتتاحية فنزويلا CA
6. بيريز ، سي دي (2006). حساب مسبق. تعليم بيرسون.
7. بورسيل ، EJ ، Varberg ، D. ، & Rigdon ، SE (2007). حساب التفاضل والتكامل (الطبعة التاسعة). برنتيس هول.
8. ساينز ، ج. (2005). حساب التفاضل مع الدوال المتسامية المبكرة للعلوم والهندسة (الطبعة الثانية). الوتر.
9. سكوت ، كاليفورنيا (2009). هندسة الطائرة الديكارتية ، الجزء: المخروطات التحليلية (1907) (طبع ed.). مصدر البرق.
10. سوليفان ، م. (1997). حساب مسبق. تعليم بيرسون.